梯形存在性问题解析
模型一：梯形
例1：如图，Ａ（10，0），B （4，-3）
（1）求经过O 、B 、A 三点的抛物线的函数表达式；
（2）抛物线上是否存在一点P ，使以P 、O 、B 、A 为顶点的四边形为梯形？若存在，求出
梯形存在性问题分析思路
定结果：三种情况汇总； 解法1： （1）x x y 4
5812-=
情形一：B P ∥OA;四边形OBPA 为梯形。
B 、P 关于对称轴对称得：P （6，-3） 情形二：B A ∥OP;四边形OBAP 为梯形。
易证：△PO
C ∽△BAD
OC AD
PC BD =
OC
PC 6
3=
；PC OC 2= 则设P （2a ，a ）
a a a 24
5
4812⋅-⋅=
7),(021==a a 舍去
P （14，7）
情形三：PA ∥OB;四边形OBAP 为梯形。
易证：△PA C ∽△BOD
AC OD
PC BD
= AC PC
43=；PC AC 34= 则设P （b 34
，b ）
3
445)34(812b b b ⋅-⋅=
12),(021==b b 舍去
P （-6，12）
综上所述：P （6，-3）、（14，7）、（-6，12解法2：
情形三：PA ∥OB;四边形OBAP 为梯形。
直线OB 的解析式：x y 43-= 所以设PA 解析式：b x y +-=4
3
直线PA 经过A （10，0）
2
1543+-=x y
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+-=-=215434
5812x y x x y ⎩
⎨⎧=-=126
y x )(102舍去=x P （-6，12）
模型二：直角梯形
例2：二次函数y =﹣x 2 + ax + b 与x 轴交于A （-2
1
，0），B （2，0）两点，与y 轴交点C ． （1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC 的形状；
（2）在此抛物线上是否存在点P ，使得以A 、C 、B 、P 四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由．
答案：（1）y （2）解法1情形一：B C 易证：△PAD OB AD
OC PD
= 2
1
AD
PD
=；则设P （a ，)412(=+-a (211-=a P 为53,22⎛- ⎝P 5,92⎛⎫-- ⎪⎝⎭
综上所述:P 解法2：
情形一：B C ∥AP;四边形CAPB 为梯形。
B （2，0）、C （0，1） 则直线BC 解析式：12
1
+-=x y A （0,2
1
-
） B C ∥则直线AP 解析式：y ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
++-=--=1
234
1212x x y x y
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-==23
2
5y x )(212
舍去-=x P 为53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
情形二：类似可得：P 5,92⎛⎫-- ⎪⎝⎭
.
综上所述:P 为53,22⎛⎫-
⎪⎝⎭或5,92⎛⎫-- ⎪⎝⎭
. 点睛：（1）如果条件改为“A 、C 、B 、P 四点为顶点的四边形是梯形”就有三种情况，还要
加上过点C 作AB 的平行线这种构造梯形的情况。
但是本题在梯形的基础上，加强为直角梯形。
所以要依托∠ACB=90°进行构造梯形。
因而只有两种。
（2）代数法联立方程求解和几何法构造相似求解都可以解决本题。
不妨都尝试一下。
练习2：Rt △ABC ，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE ⊥ PQ ，且交PQ 于点D ，交BC 于点E ．点P 、Q 同时出发，设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由；
答案： ①当DE ∥QB 时，如图4．
∵DE ⊥PQ ，∴PQ ⊥QB ，四边形QBED 是直角梯形． 此时∠AQP =90°． 由△APQ ∽△ABC ，得AQ AP AC AB =
， 即335t t -=． 解得98
t =． ②如图5，当PQ ∥BC 时，DE ⊥BC ，四边形QBED 是直角梯形． 此时∠APQ =90°． 由△AQP ∽△ABC ，得
AQ AP
AB AC
=
，
P
图16
P
图
4
x
即353t t -=． 解得158
t =．
模型三：等腰梯形
例3：函数y ＝2x ＋12的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点．C （0，6）。
在坐标平面内是否存在这样的点D ，使以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，请直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
x
AB
解析式：y ＝2x ＋12
则过C （0，6）的直线：y ＝2x ＋6 设D （a ,2 a +6）
∴2
2
2
2
()62(++=+=a a AE DE AD ∵BC=A D
∴2
2
2
6)6()62(=+++a a
)(6,5
6
21舍去-=-=a a
D(－65 ，185
)
综上所述：Ｄ（-6，18）（-12，0）(－65 点睛：线，都需要掌握。
（２）情形三也可以运用对角线相等建立方程，本质都是用代数法建立方程求解。
本题用几何法，难以构造相似三角形。
练习３：抛物线经过B （3，0）和顶点（2，-1），在第一象限内，直线y=x 上是否存在一点
直线BC 解析式：3-=x y ；则直线O D ∥BC;以B 为圆心，OC 长为半径画弧得到等腰梯形OCBD 。
解法一：利用BD=OB 建立方程；（通法） 解法二：利用OB=CD 建立方程；（通法） D （2，2）。