梯形存在性问题解析（二）
（1）定方向：梯形；直角梯形；等腰梯形； （2）定分类：过确定的三点构造梯形，即过每个顶点做对边的平行线；直角梯形要围绕直角做平行线,等腰梯形在平行线的基础上要利用圆规截取两腰相等。
（2）定解法：代数法求解联立两个解析式求交点，几何法寻找代求点的横纵坐标之间的关系。
（4）定结果：将结果汇总。
【典型例题】 【例1】如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的边OA 、OC 分别与x 轴、
y 轴重合，OC AB //,,21245,90==∠=∠BC BCO AOC 点C 的坐标为()018-，
. （1）求点B 的坐标；
（2）若直线DE 交梯形对角线BO 于点D,交y 轴于点E ,且.2,4BD OD OE ==求直线DE 的解析式；
（3）若点P 是（2）中直线DE 上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q ,使以Q P E O 、、、为顶点的四边形是菱形?若存在请写出点Q 的坐标，若不存在请说明理由。
解：(1)过点B 作x BF ⊥轴交于点F. 12,212,45==∴==∠︒BF CF BC BCO
C 的坐标为()0,18-，
B ∴的坐标为()12,6-.
(2) .
560,6).12,6(),12,0(22=+==∴-AB OA B AB B A .543
2,2==∴=OB OD BD OD OB 的解析式为∴-=.2x y 设D 的坐标为()x x 2,-.即可求出点D 的坐标为)8,4(-D .所以直线DE 的解析式为4+-=x y 。
(3) 结论：存在．
设直线y=﹣x+4分别与x 轴、y 轴交于点E 、点F ，
则E （0，4），F （4，0），
OE=OF=4，EF=4．
如答图2所示，有四个菱形满足题意．
①菱形OEP1Q1，此时OE 为菱形一边．
则有P1E=P1Q1=OE=4，P1F=EF ﹣P1E= 4
﹣4．
易知△P1NF 为等腰直角三角形， ∴P1N=NF=P1F=4﹣2；
设P1Q1交x 轴于点N ，
则NQ1=P1Q1﹣P1N=4﹣（4﹣2
）=2，
又ON=OF ﹣NF= 2
， ∴Q1（2，﹣2）； ②菱形OEP2Q2，此时OE 为菱形一边．
此时Q2与Q1关于原点对称，
∴Q2（﹣2，2）；
③菱形OEQ3P3，此时OE 为菱形一边．
此时P3与点F 重合，菱形OEQ3P3为正方形，
∴Q3（4，4）；
④菱形OP4EQ4，此时OE 为菱形对角线．
由菱形性质可知，P4Q4为OE 的垂直平分线，
由OE=4，得P4纵坐标为2，
代入直线解析式y=﹣x+4，得P4横坐标为2，
则P4（2，2），
由菱形性质可知，P4、Q4关于OE 或x 轴对称，
∴Q4（﹣2，2）．
综上所述，存在点Q ，使以O 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形；
点Q 的坐标为：Q1（2，﹣2），
Q2（﹣2，2），
Q3（4，4），Q4（﹣2，2）． 【例2】如图1-1
，四边形ABCD 是直角梯形，.28cm 24AD ,90,cm BC B BC AD ===∠︒，∥点P 从点A 出发以1cm/s 的速度向点D 运动；点Q 从点C 同时出发，以3cm/s 的速度向点B 运动，其中一个动点到达终点后，另一个点也随之停止运动。
从运动开始，经过多长时间，四边形PQCD 成为平行四边形？成为梯形？
解析：这道题目中蕴含了一个经典的判断题：一组对边平行，另一组对边相等的四边形是不是平行四边形？答案是否定的。
它可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，区别在于另一组对边是否平行。
如图1-2，如果四边形PQCD 是平行四边形，那么PD=QC.
所以24-t=3t.解得t=6.
如图1-3,如果四边形PQCD 是等腰梯形，作BC DN BC PM ⊥⊥,,垂足分别为M,N ，那么QM=CN.所以
t-(28-3t)=4.解得t=8.
【例3】如图3-1A,B 是双曲线x
y 2=上的两点，A,B 的
横坐标分别为2和-1，x BC ⊥轴，垂足为C.在双曲线
上是否存在点D ，使得以A,B,C,D 为顶点的四边形是梯
形？如果存在，求出点D 的坐标，如果不存在，请说
明理由。
解析：ABC ∆确定的，过每个顶点画对边的平行线，
与双曲线的交点就是要求的点 D.已知
A(2,1）,B(-2,-1),C(-1,0).
①过点A 作BC 的平行线，则不存在点D 。
②过点B 作AC 的平行线交双曲线与点1D ，因为直线AC 的解析式为3
131+=x y ，所以直线1BD 的解析式为3131-=x y ，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x
y x y 23131解得3,(221=-=x x 舍去）.所以)32
,3(1D
③过点C 作AB 的平行线交双曲线与32,D D 两点。
同理)417
1,217
1(),4171,2171(32--+-+--D D。