高一数学期末专题复习（1）——集合及其运算
一、知识梳理
1．集合与元素
(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法．
(4)常用数集：自然数集N；正整数集N*(或N＋)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.
(5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集．2．集合间的基本关系
(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)．
(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A B(或B A)．
(3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即∅⊆A，∅B(B≠∅)．
(4)若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有2n－1个．
(5)集合相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.
3．集合的基本运算
(1)并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．
(2)交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
(3)补集：∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．
(4)集合的运算性质
①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B；
②A∩A＝A，A∩∅＝∅；
③A∪A＝A，A∪∅＝A；
④A∩∁U A＝∅，A∪∁U A＝U，∁U(∁U A)＝A.
二、典型例题
类型一集合的基本概念
【例1】(1)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．（2）设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋2}，A∩B＝{1，3}，则实数a的值
为________．
【训练1】（1）若集合A ＝{x ∈R |ax 2＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，则a ＝( )．
A ．4
B ．2
C ．0
D ．0或4
(2)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( )．
A ．1
B ．3
C ．5
D ．9
（3）已知a ∈R ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a
，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 016＋b 2 016＝________.
类型二 集合间的基本关系
【例2】 (1)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．
(2)设U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}．若(∁U A )∩B ＝∅，求m 的值．
【训练2】(1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
(2)已知集合A ＝{－1,1}，B ＝{x |ax ＋1＝0}，若B ⊆A ，则实数a 的所有可能取值的集合为( )．
A ．{－1}
B ．{1}
C ．{－1,1}
D ．{－1,0,1}
类型三 集合的基本运算
【例3】(1)已知全集为R ，集合
A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤1，
B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}，则A ∩
∁R B ＝( )．
A ．{x |x ≤0}
B ．{x |2≤x ≤4}
C ．{x |0≤x ＜2，或x ＞4}
D ．{x |0＜x ≤2，或x ≥4}
(2)若集合M ＝{y |y ＝3x }，集合S ＝{x |y ＝lg(x －1)}，则下列各式正确的是( )．
A ．M ∪S ＝M
B ．M ∪S ＝S
C ．M ＝S
D ．M ∩S ＝∅
【训练3】(1)已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁U A)∪B 为()．
A．{1,2,4} B．{2,3,4} C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}
(2)已知全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x≤3}，集合B＝{x|log2(x－2)＜1}，则A∩(∁U B)＝________.
备选例题
例1.已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为()．
A．3 B．6 C．8 D．10
例2．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一个“好元素”．给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有()．
A．6个B．12个C．9个D．5个
学生训练
一、选择题
1．已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－5＜x＜5}，则()．
A．A∩B＝∅B．A∪B＝R C．B⊆A D．A⊆B
2．设集合S＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，T＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则S∩T＝()．A．{0} B．{0,2} C．{－2,0} D．{－2,0,2}
3．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有()．A．2个B．4个C．6个D．8个
4．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B＝()．
A．(0,1) B．(0,2] C．(1,2) D．(1,2]
5．设集合A＝{x|x2＋2x－8＜0}，B＝{x|x＜1}，则图中阴影部分表示的
集合为()．
A．{x|x≥1} B．{x|－4＜x＜2} C．{x|－8＜x＜1} D．{x|1≤x＜2}
6．设全集U＝R，集合M＝{x|y＝lg(x2－1)}，N＝{x|0＜x＜2}，则N∩(∁U M)＝()．
A．{x|－2≤x＜1} B．{x|0＜x≤1} C．{x|－1≤x≤1} D．{x|x＜1}
二、填空题
7．集合{－1,0,1}共有________个子集．
8．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为________．9．集合A＝{x∈R||x－2|≤5}中的最小整数为________．
10．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.
三、解答题
11．已知集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3，a－2，a2＋1}，若A∩B＝{－3}，求A∪B.
12．设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，
(1)若B⊆A，求a的值；
(2)若A⊆B，求a的值．
13．已知集合A＝{y|y＝2x－1,0＜x≤1}，B＝{x|(x－a)[x－(a＋3)]＜0}．分别根据下列条件，求实数a的取值范围．
(1)A∩B＝A；(2)A∩B≠∅.。