新编基础物理学王少杰顾牡主编上册第一章课后习题答案QQ:970629600习题一1-1.质点运动学方程为：cos()sin(),r a t i a t j btk ωω=++其中a ，b ，ω均为正常数，求质点速度和加速度与时间的关系式。

分析：由速度、加速度的定义，将运动方程()r t 对时间t 求一阶导数和二阶导数，可得到速度和加速度的表达式。

解：/sin()cos()==-++v dr dt a t i a t j bk ωωωω2/cos()sin()a dv dt a t i t j ωωω⎡⎤==-+⎣⎦1-2. 一艘正在沿直线行驶的电艇，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反，大小与速度平方成正比，即2/d d v v K t -=， 式中K 为常量．试证明电艇在关闭发动机后又行驶x 距离时的速度为 0Kxv v e-= 。

其中0v 是发动机关闭时的速度。

分析：要求()v v x =可通过积分变量替换dxdvv dt dv a ==，积分即可求得。

证：2d d d d d d d d v x vv t x x v t v K -==⋅= d Kdx v =-v⎰⎰-=x x K 0d d 10v v v v , Kx -=0ln v v0Kxv v e -=1-3．一质点在xOy 平面内运动，运动函数为22,48x t y t ==-。

（1）求质点的轨道方程并画出轨道曲线；（2）求t =1 s t =2 s 和时质点的位置、速度和加速度。

分析：将运动方程x 和y 的两个分量式消去参数t ，便可得到质点的轨道方程。

写出质点的运动学方程)(t r表达式。

对运动学方程求一阶导、二阶导得()v t 和()a t ，把时间代入可得某时刻质点的位置、速度、加速度。

解：（1）由2,x t =得：,2x t =代入248y t =-可得：28y x =-，即轨道曲线。

画图略 （2）质点的位置可表示为：22(48)r ti t j =+- 由/v dr dt =则速度：28v i tj =+ 由/a dv dt =则加速度：8a j =则：当t=1s 时，有24,28,8r i j v i j a j =-=+=当t=2s 时，有48,216,8r i j v i j a j =+=+=1-4．一质点的运动学方程为22(1)x t y t ==-，，x 和y 均以m 为单位，t 以s 为单位。

（1）求质点的轨迹方程；（2）在2t s =时质点的速度和加速度。

分析同1-3.解：（1）由题意可知：x ≥0，y ≥0，由2x t =，，可得t =,代入2(1)y t =-1=，即轨迹方程（2）质点的运动方程可表示为：22(1)r t i t j =+- 则：/22(1)v dr dt ti t j ==+- /22a dv dt i j ==+因此, 当2t s =时，有242(/),22(/)v i j m s a i j m s =+=+ 1-5．一质点沿半径为R 的圆周运动，运动学方程为2012s v t bt =-，其中v 0，b 都是常量。

（1）求t 时刻质点的加速度大小及方向；（2）在何时加速度大小等于b ； （3）到加速度大小等于b 时质点沿圆周运行的圈数。

分析：由质点在自然坐标系下的运动学方程()t s s =，求导可求出质点的运动速率dtdsv =，因而，dtdv a =τ，2n v a ρ=，00n a a a n ττ=+，22n a a a +=τ，当b a =时，可求出t ，代入运动学方程()t s s =，可求得b a =时质点运动的路程，Rsπ2即为质点运动的圈数。

解：（1）速率：0dsv v bt dt ==-，且dvb dt=-加速度：2200000()v bt dv v a n b n dt Rττρ-=+=-+则大小：a ==方向：()bRbt v 20tan --=θ（2）当a=b 时，由①可得：0vt b=（3）当a=b 时，0v t b =，代入201,2s v t bt =-可得：202v s b =则运行的圈数 2024==v s N R bRππ 1-6．一枚从地面发射的火箭以220m s -⋅的加速度竖直上升0.5min 后，燃料用完，于是像一个自由质点一样运动，略去空气阻力，试求（1）火箭达到的最大高度；（2）它从离开地面到再回到地面所经过的总时间。

分析：分段求解：s t 300≤≤时，220s m a =，求出v 、a ；t ＞30s 时，g a -=。

求出2()v t 、2()x t 。

当02=v 时，求出t 、x ，根据题意取舍。

再根据0x =，求出总时间。

解：（1）以地面为坐标原点，竖直向上为x 轴正方向建立一维坐标系，且在坐标原点时，t=0s ，且0.5min=30s则：当0≤t ≤30s ，由x x dv a dt=, 得200,20(/)x t v x x x a dt dv a m s ==⎰⎰，20(/),30()x v t m s t s ==时，1600(/)v m s =由x dxv dt=，得13000=⎰⎰x x v dt dx ，则：19000()x m =当火箭未落地, 且t ＞30s,又有：21222230,9.8(/)x tv x x x v a dt dv a m s ==-⎰⎰，则：28949.8(/)x v t m s =- 且：1230txx x v dt dx =⎰⎰，则：24.989413410()x t t m =-+-…①当20x v =，即91.2()t s =时，由①得，max 27.4x km ≈（2）由（1）式，可知，当0x =时，166()t s ≈，t ≈16(s)＜30(s)（舍去）1-7. 物体以初速度120m s -⋅被抛出，抛射仰角60°，略去空气阻力，问（1）物体开始运动后的1.5s 末，运动方向与水平方向的夹角是多少？ 2.5s 末的夹角又是多少？（2）物体抛出后经过多少时间，运动方向才与水平成45°角？这时物体的高度是多少?（3）在物体轨迹最高点处的曲率半径有多大？（4）在物体落地点处，轨迹的曲率半径有多大？ 分析：（1）建立坐标系，写出初速度0v ，求出()v t 、θtan ，代入t 求解。

（2）由（1）中的θtan 关系，求出时间t ；再根据y 方向的运动特征写出()t y ，代入t 求y 。

（3）物体轨迹最高点处，0=y v ，且加速度2n v a a g ρ===，求出ρ。

（4）由对称性，落地点与抛射点的曲率相同 ρθ2cos v g a n ==，求出ρ。

解：以水平向右为x 轴正向，竖直向上为y 轴正向建立二维坐标系 （1）初速度00020cos6020sin6010103(/)v i j i j m s =+=+， 且加速度29.8(/),a j m s =-则任一时刻：10(1039.8)(/)v i t j m s =+-………………①与水平方向夹角有1039.8tan 10tθ-=……………………………②当t=1.5(s)时，tan 0.262,1441'θθ==︒当t=2.5(s)时，tan 0.718,3541'θθ=-=-︒ （2）此时tan 1θ=, 由②得t=0.75(s) 高度22111030.759.80.7510.23()22yo y v t gt m =-=⨯-⨯⨯= （3）在最高处，210(/),10(/),n v v i m s v m s a g ρ====，则：210.2()==v m gρ （4）由对称性，落地点的曲率与抛射点的曲率相同。

由图1-7可知：cos cos xn v a a g gvθθ=== 2104.9(/)20gm s ==240082()4.9n v m a ρ===1-8．应以多大的水平速度v 把一物体从高h 处抛出， 才能使它在水平方向的射程为h 的n 倍？ 分析：若水平射程hn vt =，由gt h 21=消去t ，即得()h v 。

解：设从抛出到落地需要时间t则，从水平方向考虑vt hn =，即从竖直方向考虑21,2h gt =消去t ， 则有： 22nv gh =1-9．汽车在半径为400m 的圆弧弯道上减速行驶，设在某一时刻，汽车的速率为-110m s ⋅，切向加速度的大小为-20.2m s ⋅。

求汽车的法向加速度和总加速度的大小和方向。

分析：由某一位置的ρ、v 求出法向加速度n a ，再根据已知切向加速度τa 求出a 的大小和方向。

解：法向加速度的大小222100.25(/),400===n v a m s ρ 方向指向圆心 总加速度的大小222220.20.250.32(/)=+=+=n a a a m s τ如图1-9，tan 0.8,3840',na a ταα===︒ 则总加速度与速度夹角9012840'θα=︒+=︒1-10. 质点在重力场中作斜上抛运动，初速度的大小为0v ，与水平方向成α角．求质点到达抛出点的同一高度时的切向加速度，法向加速度以及该时刻质点所在处轨迹的曲率半径（忽略空气阻力）．已知法向加速度与轨迹曲率半径之间的关系为2/ n a v ρ=。

分析：运动过程中，质点的总加速度 a g =。

由于无阻力作用，所以回落到抛出点高度时 质点的速度大小0v v =，其方向与水平线夹角也是α。

可求出 n a ，如图1-10。

再根据关系2 / n a v ρ=求解。

解：切向加速度 a g a sin =τ 法向加速度 a g a n cos =gt a v ααn a α 0v图1-10因 αρρcos 2022g a a n n v v v ==∴= 1-11．火车从A 地由静止开始沿着平直轨道驶向B 地，A ，B 两地相距为S 。

火车先以加速度a 1作匀加速运动，当速度达到v 后再匀速行驶一段时间，然后刹车，并以加速度大小为a 2作匀减速行驶，使之刚好停在B 地。

求火车行驶的时间。

分析：做v-t 图，直线斜率为加速度，直线包围面积为路程S 。

解：由题意，做v-t 图（图1-11）则梯形面积为S ，下底为经过的时间t ， 12tan ,tan a a αβ==则：[](cot cot )2vS t t v v αβ=+-- 则：12111()2S t v v a a =++1-12. 一小球从离地面高为H 的A 点处自由下落，当它下落了距离h 时，与一个斜面发生碰撞，并以原速率水平弹出，问h 为多大时，小球弹的最远？分析：先求出小球落到A 点的小球速度，再由A 点下落的距离求出下落时间，根据此时间写出小球弹射距离l ,最后由极植条件求出h 。