*
L2 (0, 1) 的映射．再注意对任意 z ∈ L2 (0, 1) ， z 确定 L2 (0, 1) 上的线性泛函为 z ( x ) = x, z ， x ∈ L2 (0, 1) ．
对任意 z ∈ L2 (0, 1) （ = ( L2 (0, 1) ) ），对任意 x ∈ L2 (0, 1) ，计算
2
∑ξ η
i =1 i
∞
2 n +i
≤ ∑ ξi
i =1
∞
2
∑η
i =1
∞
2 n +i
= x
2
i = n +1
∑η
∞
2
i
→ 0 （收敛级数的余项趋于
0 ）．又 n > m ， Tn e1 − Tm e1 = 2 ，所以 Tn 不强算子收敛．
第 2 节习题
1、注意因为 (lபைடு நூலகம்p )* = l q ， S × 是从 l q 到 l q 的映射，
*
1 1 t z (Tx ) = Tx, z = ∫ (Tx ) (t ) z ( t ) dt = ∫ ⎡ ∫ x ( s ) ds ⎤ z ( t ) dt ⎥ 0 0⎢ 0 ⎣ ⎦
=∫
计算
1
0 0
z t dt ⎤ x ( s ) ds ∫ x ( s ) z ( t ) dsdt = ∫ ⎡ ⎢∫ ( ) ⎦ ⎥ ⎣
第 3 节习题
1、 ⇒) 由定义，显然．
{kxn } 是 kA 中的任一序列，则 { xn } 是 A 中的序列，存在收敛的自序列 { xn } ，这样
k
⇐) 首先证明：如果 A 是列紧集， k > 0 ，则 kA = {kx : x ∈ A} 也是列紧集．如果
{kx } 就是 kA 中的收敛的自序列，所以 kA 列紧． A 是 X 中的有界集， S 是 X 中的
⎧ ⎛ ε ε ⎞⎫ ⎪ ⎪ − + A = ⎨ xs = yr + sx0 : s ∈ ⎜ r , r ⎟ ⎬， ⎜ ⎟ x0 x0 ⎠ ⎪ ⎪ ⎝ ⎩ ⎭ 计算 xs − xr = s − r x0 < ε ，所以 A ⊂ B ( xr , ε ) ⊂ G ． ⎧ ⎫ ⎛ ε ε ⎞⎪ ⎪ f ( A ) = ⎨ f ( yr + sx0 ) : s ∈ ⎜ ⎜α r − x , α r + x ⎟ ⎟⎬ ⊂ f (G ) 0 0 ⎠⎪ ⎪ ⎝ ⎩ ⎭ ⎛ ε ε ⎞ 即存在 r 的一个邻域 ⎜ ⎜r − x , r + x ⎟ ⎟ ，其中的每一个点都是 G 内某一点 xs 的函数 0 0 ⎠ ⎝ 值．证毕．（注意 f 不一定是连续的）
{ }
⇐) 此处证明需要 X 上任一个有界的序列 { xn } 都有弱收敛的子序列这一结
论．相关的结论是：Banach 空间是自反的当且仅当任一有界序列包含弱收敛的自 序列，具体可以参照著作：[日]吉田耕作（Yosida）．《泛函分析》．吴元恺等 译，北京：人民教育出版社，1981．120 页，Eberlein-Shymulyan 定理． 4、本题修改为证明 R (T ) 是可分的． 对 n = 1, 2, " ，考虑 X 上的有界集 An = { x : x ∈ X , x ≤ n} ， T 是紧算子保证
7、只需证明对 X 中的任意有界点列 { xn } ， {(T1 + T2 ) xn } 有收敛的子序列．首先
{ f ( x ) z} 也是一个收敛的子序列，即 {T ( x )} 是收敛子序列，证毕（习题
(1) n (1) n
2）．（也可以模仿 158 页例 1） 9、 P 是 H 到 M 上的正交投影， P = 1 ，即 P 是有界的线性算子，且其值域为
第四章习题提示及解答
第 1 节习题
1、 Tn 是线性的． x ∈ l 2 保证 ∑ ξi 收敛，其余项趋于 0 ，所以
2 i =1 ∞
Tn x = ( 0, " , 0, ξ n +1 , ξ n + 2 , ") =
2 2
sup { Tn : n ∈ N } < ∞ ，同时存在 T ∈ B ( X , Y ) 使得 ∀ x ∈ X ， Tn x − Tx → 0 ，其中
2、 ⇐) 设 ( x, y ) 是 Gr T 的接触点，则存在 xn ∈ X ，使得 ( xn , Txn ) → ( x, y ) ，即
xn → x ， Txn → y ，转化为 xn − x → 0 和 T ( xn − x ) → y − Tx ，利用已知可得出
y − Tx → 0 ，即 y = Tx ．于是 ( x, y ) = ( x, Tx ) ∈ Gr T ， Gr T 是闭集．
或开球 B (Tx, ε ) 之外只有有限个 Txn ．否则，存在 ∀ε 0 > 0 ，开球 B (Tx, ε 0 ) 外有无穷 个 Txn ，由于 T 是紧算子，从中可选出收敛子序列 Txnk ，又 Y 是完备的，存在
W S W y0 ∈ Y ， y0 − Tx ≥ ε 0 ，使得 Txnk ⎯⎯ → Tx ， → y0 ，从而 Txnk ⎯⎯ → y0 ．另外 Txn ⎯⎯ W 由 144 页 11.2 定理， Txnk ⎯⎯ → Tx ，矛盾．
∞
ε
的线性泛函， f (Tn x ) → 0 （ f ( 0( x) ) = 0 ）． l 2 是 Hilbert 空间，利用 Riesz 表示，
i =1
存在 z ∈ l 2 ， z = (η1 , " , ηk , ") ，使得 f (Tn x ) = Tn x, z = ∑ ξiηn +i ．利用 Holder 不等 式， f (Tn x ) =
1 × 1 1 0 0 s
× 1 s × 1 t
任意的 x ∈ X ， g (Tx ) = (T * g ) ( x ) = 0 ，根据 R (T ) ⊥ 的定义， g ∈ R (T ) ⊥ ．反之，对任 意 g ∈ R (T ) ⊥ ，对任意的 x ∈ X ，首先 Tx ∈ T ( X ) ，所以 (T * g ) ( x ) = g (Tx ) = 0 ，推出
T × g = 0 ， T × g ∈ ker T × ． 7、直接验证 ⊥ M 是线性的．直接验证 ⊥ M 是闭的（用接触点）． 8、模仿 6 题的证明．
5、直接验证 M ⊥ 是线性的．直接验证 M ⊥ 是闭的（用接触点）． 6、注意 ker T × 是 Y * 上子空间， R (T ) ⊥ 也是 Y * 上子空间．对任意 g ∈ ker T × ，对
B ( r , ε r ) 内的每一点，都是 G 内某一点的函数值．证明需要利用泛函 f 的表示，即
132 页习题 4 的结论：取定 x0 ∈ X \ ker ( f ) ，满足 f ( x0 ) = 1 ，对任意 x ∈ X 都可以唯
一表示为 x = y + α x0 ，这里 α = f ( x ) ． 对任意 r ∈ f ( G ) ，存在 xr ∈ G 使得 f ( xr ) = r ，由于 G 是开集，存在 xr 的开球 邻域 B ( xr , ε ) 使得 B ( xr , ε ) ⊂ G ． xr 可以表示为 xr = yr + rx0 ．考虑
Tx = lim Tn x = 0 ，即 T 是 0 算子．
n →∞
i = n +1
∑ξ
∞
2 i
→ 0 ．利用 Banach-Steihaus 定理，
Tn − Tn −1 = sup
{ (T
n
− Tn −1 ) x : x = 1 ≥ (Tn − Tn −1 ) en = 1 ，这里 en 表示只有第 n 个
}
分量为 1 ，其余分量全部为零的向量，这时 Tn en = 0 ， Tn −1en = en ，所以 Tn 不会强收 敛． 2、 A 是 X 的有界集， sup { x : x ∈ A} = M < ∞ ． Tn − T → 0 ，所以 ∀ε > 0 ，存 在 n0 = n0 ( ε ) ，当 n ≥ n0 时， Tn − T ≤ ，进而 Tn x − Tx ≤ Tn − T x < ε ． M 3、验证 Tn 是线性的，验证 Tn 是有界的．证明算子弱收敛只需验证对任意 l 2 上
∞
1 1 + = 1 ．同时注意对任意 p q
η ∈ l q ，其对应与 l p 上的有界线性泛函为 η (ξ ) = ∑ ξiηi ．计算
i =1
η ( Sξ ) = ∑ ξiηi +1 ．
如 S ×η = ζ = (ζ 1 , ζ 2 , " , ζ n , ") ，计算
×
i =1
∞
(i)
( S η ) ξ = ζ (ξ ) = ∑ ξ ζ
i =1 i
∞
i
(ii)
取 ξ = en 比较 ( S ×η ) ξ = η ( Sξ ) ，得到 ζ n = ηn +1 ，所以 S ×η = (η2 , η3 , " , ηi , ") ．
2、 0, I ∈ B ( X , Y ) ．对任意 x ∈ X ，对任意 g ∈ Y * ， ( 0× g ) ( x ) = g ( 0 x ) = 0 ，所以 0× g 是零泛函，由于 g 是任意的，所以 0× 是 0 算子．同理计算 I × ． 3、 T ∈ B ( X ) = B ( X , X ) ，归纳利用 155 页伴随算子性质 2。即可． 4、注意 L2 (0, 1) 是 Hilbert 空间， ( L2 (0, 1) ) = L2 (0, 1) ，所以 S × 是从 L2 (0, 1) 到
t 1 1 0 s
比较 (T z ) ( x ) = z (Tx ) ，得出