泛函分析练习题
一名词解释：
1.范数与线性赋范空间
2.无处稠密子集与第一纲集
3.紧集与相对紧集
4.开映射
5.共轭算子
6. 内点、内部：
7. 线性算子、线性范函：
8. 自然嵌入算子
9. 共轭算子
10. 内积与内积空间：
11. 弱有界集：
12. 紧算子：
13. 凸集
14. 有界集
15. 距离
16. 可分
17. Cauchy 列
18.自反空间
二、定理叙述
1、 压缩映射原理
2. 共鸣定理
3.逆算子定理
4. 闭图像定理
5.实空间上的Hahn-Banach 延拓定理
6、Baire 纲定理
7、开映射定理
8、Riesz 表现定理
三证明题：
1.若(,)x ρ是度量空间，则1d ρρ=
+也使X 成为度量空间。

证明：,,x y z X ∀∈
显然有 （1）(,)0d x y ≥，(,)0d x y =当且仅当x y =。

（2）(,)(,)d x y d y x =
（3）由1()111t f t t t =
=-++，(0)t >关于t 单调递增，得 (,)(,)(,)(,)1(,)1(,)(,)
x z x y y z d x z x z x y y z ρρρρρρ+=≤+++
(,)(,)1(,)1(,)
x y y z x y y z ρρρρ≤+++ (,)(,)d x y d y z =+
故d 也是X 上的度量。

2， 设H 是内积空间，,,,n n x x y y H ∈，则当,n n x x y y →→时，(,)(,)n n x y x y →，即内积关于两变元连续。

证明：22|(,)(,)||(,)|||||||||n n n n n n x y x y x x y y x x y y -=--≤-⋅-
已知 ,n n x x y y →→，即||||0,||||0n n x x y y -→-→。

故有 2|(,)(,)|0n n x y x y -→
即 (,)(,)n n x y x y →。

5.设2()(),Tx t t x t =若T 是从21[0,1][0,1]L L →的算子，计算||||;T 若T 是从
22[0,1][0,1]L L →的算子再求||||T 。

解：（1）当T 是从21[0,1][0,1]L L →的算子。

1
2
10|||||()|Tx t x t dt =⋅≤⎰ 所以 ||||
T ≤。

取2
0()x t =，则02|||| 1.x = 4010||||Tx dt ==⎰ 所以 ||||
T ≥。

故有 |||.
T =
（2）当T 是从22[0,1][0,1]L L →的算子时
11
421/221/22200||||(())(())||||Tx t x t dt x t dt x =≤=⎰⎰ 所以 |||| 1.T ≤
取11)()1
0,01n t n x t t n -≤≤=⎨⎪≤<-⎪⎩
，则11/2211/||||1)1n n x dt -==⎰。

5141/21/2211/11(1)||||)[]5
n n n Tx t dt ---==⎰ 又 55
1/21/22111(1)1(1)lim ||||[]lim[]1155n n n n n n Tx n
→∞→∞----===⋅ 所以 |||| 1.T ≥
故有|||| 1.T =
6.若||||⋅是[,]C a b 上的另一完备范数(原范数记为||||∞⋅),并且当||||
0n x x -→时必有|()()|0n x t x t -→,([,])t a b ∀∈,则||||⋅与||||∞⋅等价.
证明: 定义 :([,],||||)([,],||||)T C a b C a b ∞⋅→⋅, ,[,].Tx x x C a b =∀∈
因为([,],||||)C a b ⋅与([,],||||)C a b ∞⋅完备,显然T 是一一的到上的线性算子,故只须证明T 是连续算子.
||||0,||||n n x x Tx y ∞∀-→-→
由已知 ||||0n x x -→时,必有|()()|0n x t x t -→,([,])t a b ∀∈.
||||0n Tx y ∞-→,即()n x t 一致收敛到()y t .由收敛的唯一性知 ()(),x t y t =([,])t a b ∀∈. 所以T 为闭算子,又([,],||||)C a b ⋅与([,],||||)C a b ∞⋅完备, 由闭算子定理得,T 是连续算子. 四论述题：
1、证明[,]C a b 完备，并叙述证明空间完备的一般步骤。

2、证明[,]
||||max ()t a b x x t ∈=为[,]c a b 上范数，并论述证明范数的一般步骤。