3.1.1空间向量加减法习题
一、选择题1．下列命题正确的有()(1)若|a|＝|b|，则a＝b；
→→(2)若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD是平行四边形的充要条件；
(3)若a＝b，b＝c，则a＝c；
，b|a|＝||??相等的充要条件是，b(4)向量a?；∥ba??(5)|a|＝|b|是向量a＝b的必要不充分条件；→→(6)AB＝CD的充要条件是A与C重合，B与D 重合．A．1个B．2个
个．4C．3个 D C答案[][解析](1)不正确．两个向量长度相等，但它的方向不一定相同．→→AB＝DC正确．(2)∵→→→→∴|AB|＝|DC|且AB∥CD.又∵A，B，C，D不共线，∴四边形ABCD 是平行四边形．→→反之，在?ABCD中，AB＝DC.
，a＝b(3)正确．∵∴a，b的长度相等且方向相同．∵b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同．故a＝c.
(4)不正确．由a∥b，知a与b方向相同或相反．
b./ |?a＝||||＝b?a|＝b|，a|＝ba(5)正确．→→→→→→同向．CD与AB，|CD|＝|AB|，CD＝AB.不正确(6)
故选C.
2．设A，B，C是空间任意三点，下列结论错误的是()
→→→→→→0CA＝AB＋BC＋BCA.AB＋＝AC B.→→→→→＝－BA D.ABC.AB－AC ＝CB ][答案B[解析]注意向量的和应该是零向量，而不是数0.
→→→→3．已知空间向量AB，BC，CD，AD，则下列结论正确的是()→→→A.AB＝BC＋CD
→→→→B.AB－DC＋BC＝AD→→→→C.AD＝AB ＋BC＋DC
→→→D.BC＝BD－DC
B答案][[解析]根据向量加减法运算可得B正确．
→→4．在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，与向量AA′相等的向量(不含AA ′)的个数是()
A．1个B．2个
4个D．．C3个
答案[]C[解析]利用向量相等的定义求解．
5．两个非零向量的模相等是这两个向量相等的()A．充分不必要条件
．必要不充分条件B C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]B
[解析]两个非零向量的模相等，这两个向量不一定相等，但两向量相等模必相等，故选B.
→→6．在平行六面体ABCD－ABCD中，M为AC与BD的交点，若AB＝a，AD＝b，11111111→→AA＝c，则下列向量中与B )(相等的向量是M11．
11A．－a＋b＋c2211 cb＋B.a＋2211C.a－b＋c 2211D．－a－b＋c22[答案]A →→→[解析]B M＝BB＋BM11
1→→＝AA＋BD 121→→→＝AA＋(BA＋BC )11111211＝－a ＋b＋c.∴应选A.227．在正方体ABCD－ABCD中，下列各式中1111→→→CC)＋(1)(AB＋BC1→→→(2)(AA＋AD) ＋DC11111→→→(3)(AB＋BB)＋BC 111→→→(4)(AA＋A B)＋BC.11111→运算的结果为向量AC 的共有
()1A．1个B．2个
个4个D．．C3 D答案[] 8．给出下列命题：①将空间中所有的单位向量移到同一个点为
起点，则它们的终点构成一个圆；
②若空间向量a、b满足|a|＝|b|，则a＝b；
③若空间向量m、n、p满足m＝n，n＝p，则m＝p；
④空间中任意两个单位向量必相等；⑤零向量没有方向．
其中假命题的个数是()
B．2A．1D．4 C．3
D[答案][解析]①假命题．将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点时，它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆；
②假命题．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a与b的方向不一定相同；
真命题．向量的相等满足递推规律；③④假命题．空间中任意两个单位向量模长均为1，但方向不一定相同，所以不一定相等，故④错；
⑤假命题．零向量的方向是任意的．
9．空间四边形ABCD中，若E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边上的中点，则下列各式中成立的是()
→→→→A.EB＋BF ＋EH＋GH＝0→→→→B.EB＋FC＋EH＋GE＝0
→→→→0GH＝＋FG＋EH＋EFC.→→→→0CG＋GH＝FBD.EF－＋]B答案[→→→→→[解析]EB＋FC＝EB＋BF＝EF，
→→→，GE＋＝GHEH
易证四边形EFGH为平行四边形，
→→，0GHEF故＋＝ B.故选．
→→10．(2010·上海高二检测)已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，且OA＝a，OB＝b，→则BC＝()
A．－a－b B．a＋b1D．2(a b－b)C.a－ 2 A][答案→→→→→[解析]BC＝BO＋OC ＝BO－OA＝－b－a，故选A.
二、填空题→→→→11．在直三棱柱ABC—ABC中，若CA＝a，CB＝b，CC＝c，则AB＝________.11111
[答案]b－c－a
→→→→→→[解析]AB＝CB－CA＝CB－(CA＋CC)＝b－(a＋c)＝b－c－a. 11→→→→12．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点且2OA＋OB＋OC＝0，那么AO＝________.
→[答案] OD[解析]∵D为BC中点，→→→∴OB＋OC＝2OD，
→→→OA＝－2又OB＋OC
→→→→∴OD＝－OA即OD＝AO.
→13．已知空间四边形ABCD，连结AC、BD，设M、N分别是BC、CD的中点，则MN用→→→AB、AC、AD表示的结果为______________________．
1→→[答案](AD－AB) 2．
11→→→→[解析]MN＝BD＝(AD－AB) 2214．已知平行六面体ABCD—A′B′C′D′，则下列四式中：
→→→；＝AC①AB－CB→→→→②AC′＝AB＋B′C′＋CC′；
→→③AA′＝CC′；
→→→→→④AB＋BB′＋BC＋C′C ＝AC′.正确的是________．
①②③[答案]→→→→→→→→→→→[解析]AB－CB＝AB＋BC＝AC，①正确；AB＋B′C′＋CC′＝AB＋BC＋CC′＝→AC′，②正确；③显然正确．
三、解答题15．如图所示的是平行六面体ABCD—ABCD，化简下列各式．1111
→→→(1)AB＋AD＋AA；1→→→BC.DD－AB＋(2)1→→→→→→→[解析](1)AB＋AD＋AA ＝AB＋BC＋CC＝AC 111→→→→→→)－AD＝DD－(AB－(2)DDAB＋BC11→→→BDDD－DB＝＝1116．如图所示的是平行六面体ABCD—A′B′C′D′，化简下列各式．
→→→→→(1)AB＋BB′－D′A′＋D′D－BC；
→→→→.′AA－AD＋AC－′AC(2)．
→→→→→→[解析](1)原式＝AB＋AA′＋AD－AA′－AD＝AB
→→→→.′＝AD′原式＝CC＋AD－AA(2)→→→17．若G为△ABC的重心，求证GA＋GB ＋GC＝0.[解析]证明：延长AG交BC于D，在AD延长线上取点E，使DE＝GD，则四边形→→→→→→→→BGCE为平行四边形，所以GE＝GB＋GC，又由重心知GE＝－GA，故GA＋GB ＋GC＝0. 1→→→18．如图所示，在四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，求证EF
＝(AB＋DC)． 2
→→→→[解析]证明：EF＝EA＋AB＋BF，①
→→→→，②＋DC＋CFEF＝ED→→→→→→→→→①＋②，得2EF＝(EA＋AB＋BF)＋(ED ＋DC＋CF)＝AB＋DC，1→→→∴EF＝( AB＋DC)．2．。