22G M
C
(2)在△ADG中，注意到三角形重心的性质，
得 AG AD DG c 2 DM
3 c 2 (1 DB 1 DC)
32 2 c 1 (AB AD AC AD)
3 c 1 (a b 2c)
3
1a b c.
3
【思考】(1)在空间中，如何使用平行四边形法则和三角形法 则? (2)交换律及结合律在空间向量的加、减法运算中有何作用?
提示：(1)在空间立体图形中，首先确定一个平面或找到一个 三角形，把问题转化到一个平面，然后再应用平面向量的有关 运算性质进行化简、变形.在空间中，常常利用三角形法则进行 向量的加、减运算.应用平行四边形法则需在立体图形中找到一 个平行四边形. (2)交换律与结合律在空间向量的加、减法运算中起到方便化 简的作用.例如， CB AB BC AB AB BC AC;
(3)根据正方体的性质可知在正方体ABCD-A1B1C1D1中， AC=A1C1，且AC∥A1CA1C，与A1C1 方向相同， ∴ AC A故1C(13，)正确; (4)正确，可以根据向量的几何表示，利用向量平移来理解; (5)两个单位向量的模都是1，但方向不一定相同，故(5)不 正确. 综上可知命题(3)(4)正确. 答案：(3)(4)
2.(1)是必要条件，不是充分条件，因为 AB 时DC有可能A， B，C，D四点共线，是假命题； (2)a与b的模相等，且方向相同时，a=b成立，当方向相反时, a=-b,是假命题; (3)零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等 的，是假命题; (4)共线向量即平行向量，只要求它们的方向相同或相反，不 一定在同一条直线上，是假命题;
或_| _A_B_|_.
2.几类特殊向量
特殊向量 零向量 单位向量 相反向量
相等向量
定义 长度为0的向量 模为1的向量 与a长度相等而方向相反
的向量称为a的相反向量
表示法 0
|a|=1或 | AB | =1
-a
方向相同且模相等的向量 a=b或 AB CD
3.空间向量的加法和减法运算
空间 向量 的运 算
2.如图，已知空间四边形ABCD中，向量 AB a，AC b，AD c， 若M为BC中点，G为△BCD的重心，试用a，b，c表示下列向量：
1 DM； 2 AG.
【解析】1.(1) AC AB AC BA BA AC BC.
2 AB BC BA AB BC CD AD.
3.空间向量可以比较大小吗? 提示：不能.空间向量同平面向量一样,两个向量仅有相等向量 和相反向量两种，从“量”分析的关系，不存在哪个向量比哪 个向量大还是小的问题.
4.在三棱柱ABC-A1B1C1中，若 CA a，CB b,CC1 c，则 A1B 等于 __________. 【解析】如图, A1B A1B1 B1B
A1A2 A2A3 A3A4 An1An A1An.
(2)首尾相接的向量若构成一个封闭图形,则它们的和为0.如(1) 中图所示:
A1A2 A2A3 A3A4 An1An AnA1 0.
(3)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，有结论 AB BC CC1 AC1.
C1
B1
D1 C
【典例训练】 1.给出以下命题： (1)两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同; (2)若空间向量a,b满足|a|=|b|，则a=b; (3)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，有AC A1C1成立; (4)若空间向量m,n,p满足m=n，n=p，则m=p； (5)空间中任意两个单位向量一定相等. 其中正确命题的序号是_________.(把你认为正确命题的序号 都填上)
A1 B
D
A
空间向量的概念问题
1.解决空间向量的概念问题的两个关键 空间向量是由其模和方向确定的，因此解答空间向量的有关概 念问题时，通常是先判断向量的模的大小，再判断向量的方向 是否相同.
2.空间几组特殊的向量 (1)模相等的向量：空间中的所有单位向量的模都是1，因此单 位向量的模相等，但应注意方向不相同; (2)方向相同或相反的向量：相等向量的模相等,方向也相同; 相反向量的方向相反，模相等；如图所示，图1为方向相同的 向量，图2为方向相反的向量.
2.判断下列命题的真假: (1)四点A,B,C,D构成平行四边形ABCD的充要条件是 AB DC; (2)若|a|=|b|,且a,b的方向相同或相反,则a=b; (3)任一向量与它的相反向量不相等; (4)若 AB与CD是共线向量,则A，B，C，D四点必在一条直线上； (5)共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
3 1 BC 1 AB 1 DD 1 AD 1 AB 1 AA
222
2 22
1 (AD AB AA) 1 AC AA
2
2
1 AC CC 1 AC.
2
2
4 AA AB BC AB BC AC.
5 AB BC CC AC AB BC CC CA
AC CC CA AC CA 0.
空间向量及其加减运算
1.空间向量的有关概念
(1)定义：在空间，把具有_大__小__和_方__向__的量叫做空间向量.
(2)长度：向量的_大__小__叫做向量的长度或_模__.
①几何表示法：空间向量用_有__向__线__段__表示.
(3)表示法
②字母表示法：用字母表示，若向量a的起点是A， 终点是B，则向量a也可以记作_A_B_，其模记为_|_a_|_
空间向量的加减运算
1.空间向量加减运算的注意点 (1)在空间图形中，注意先找到三角形或平行四边形. (2)在运算时，既要观察图形，应用平行四边形法则或三角形 法则，又要注意观察向量表达式在运算时的变化规律，例如 AB BC AC;AB CD AB DC 等.
2.用已知向量表示指定向量的方法 用已知向量来表示指定向量时，常结合具体图形.通过向量的 平移等手段将指定向量放在与已知向量有关的三角形或四边形 中，通过向量的运算性质将指定向量表示出来，然后转化为已 知向量的线性式.
(5)如图所示，AB与共CB线，起点不同，但终点相同，是假命 题.
【思考】(1)解答题1中的(2)(5)时易忽视的问题是什么? (2)解答2时常用的模型是什么? 提示：(1)解题时应注意向量的模与方向这两方面，容易出现 忽视向量的方向的错误. (2)常借助于模型,如正方体、长方体或常见的特殊向量来判断 空间向量的概念问题.
加法 减法
OB OA AB =a+b CA OA OC =a-b
加法运算律
(1)交换律:a+b=b+a; (2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c).
1.零向量、单位向量的方向是怎样的? 提示：零向量的方向是任意的、不确定的;单位向量的方向与已 知条件有关，一般地，在空间的任意方向上都有单位向量，且 在某一确定的方向上有惟一一个单位向量. 2.相反向量的两个向量有什么关系? 提示：a的相反向量是-a，它们的方向相反,且|a|=|-a|.
【解析】1.(1)当空间两个向量起点与终点都相同时，它们必 相等；但两个空间向量相等，不一定有起点相同，终点相同， 例如正方体ABCD-A1B1C1D1中AB， A1B1, 故(1)不正确； (2)两个向量的模相等，但方向不一定相同，如正方体ABCDA1B1C1D1中| A，B || AD || A但A1这|，三个向量不相等,故(2)不正确;
a b b a b b a ［b b］ a 0 a．
2.对空间相等向量以及相反向量的认识 (1)共同点:两者模都是相同的,且为共线向量. (2)不同点:方向不同. 3.在空间中,多个向量加法的运算法则 (1)首尾相接的若干向量的和,等于由起点向量的起点指向末向 量终点的向量.求若干个向量的和,可以通过平移将其转化为首 尾相接的向量求和;
如图所示:
A1C1 C1B1 B1B CA CB CC1
=-a+b-c. 答案：-a+b-c
1.空间向量与平面向量的对比 (1)所处范围:平面向量的范围是在同一个平面的范围内，而空 间向量则是在空间的范围内. (2)是否共面:平面向量中的所有向量都是 共面的，而空间中，任意两个向量都是共面的，三个向量则有 可能是不共面的，如图所示. (3)性质推广:平面向量的所有的性质在空间仍然成立,空间向 量的有关问题通常转化为平面向量来解决．
答案： 1BC 2AD 3 1 AC 4AC 50
2
2.(1)连接AM，
在△ADM中，DM DA AM，
A
由线段中点的向量表示知,
AM 1 AB AC 1 a b.
2
2
由相反向量的概念知， DA AD c.
所以 DM DA AM
B
D
1 a b c 1 a b 2c.
【典例训练】
1.已知长方体ABCD-A′B′C′D′，化简下列向量表达式:
(1) AC AB =_________. (2)AB BC BA =_____________. (3) 1 BC 1 AB 1 DD
222
=_____________.
(4) AA AB BC =____________. (5) AB BC CC AC =___________.