结论: 结论:3)波函数所代表的波是几率波. 波函数所代表的波是几率波. 微观粒子出现在|Ψ 大的地方, Ψ 微观粒子出现在 Ψ|2大的地方,|Ψ|2小的 地方粒子出现少;粒子受波数所引导, 地方粒子出现少;粒子受波数所引导, 波函数按波的形式去分配粒子的出现的 几率. 几率. 例)求一个能量为E,动量为 的自由粒子的几率 求一个能量为 ,动量为P的自由粒子的几率 i 密度. 密度. ( EtPr ) 解: 波函数为 Ψ = Ψ e 0
∞→∞
因为粒子在全空间出现是必然事件
例1: 设粒子在一维空间运动,其状态可用波函 : 设粒子在一维空间运动, 数描述为: 数描述为:
ψ ( x, t ) = 0
( x ≤ b / 2), x ≤ b / 2)
其中A为任意常数, 和 均为确定的常数. 均为确定的常数 其中 为任意常数,E和b均为确定的常数. 为任意常数 归一化的波函数;几率密度W? 求:归一化的波函数;几率密度W? 解:由归一化条件,有: 由归一化条件,
nπ 其最大值对应于 sin = ±1 4
L 2 2 nπ ω n = Ψ ( ) = sin 4 L 4
,于是有: 于是有:
∴ n = 2(2k + 1)
π nπ = ( 2k + 1) (k = 0,1,2, ) 4 2
(k = 0,1,2, )
�
cos (
2
πx
b
)dx = 1
b ∴ A =1 2
2
∴ A =
2 b
由此可求出归一化的波函数和几率密度 几率密度为: 几率密度为:
W ( x, t ) = ψ 2 ( x, t ) = 0 ( x ≤ b / 2), x ≤ b / 2) 2 2 π x 2 W ( x, t ) = ψ ( x, t ) = cos ( ) ( b / 2 ≤ x ≤ b / 2) b b
常写成复数: 常写成复数:
Ψ=Ψe 0
1 ( EtPx)
Ψ=Ψe 0
当粒子沿着
1 ( EtPx)
Ψ=Ψe 0
其中: 其中:
方向传播时: r 方向传播时: 1
( EtPr )
=Ψe 0
1 [ Et( P x+P y+ pz z )] x y
r = xi + y + zk j
P = Pi + P + P k j x y Z
dW = Ψ dV = ΨΨdV
2
(Ψ 为Ψ共轭复数)
即粒子在空间出现的 Ψ dV
结论: 结论:2)波函数所描述的是处于相同条件 下,大量粒子的一次性行为和一个粒子多次 性重复性行为. 性重复性行为. 微观粒子遵循的是统计规律, 微观粒子遵循的是统计规律,而不是经典的决 定性规律. 定性规律.
如图所示, 如图所示,在区间 (b/2,b/2)以外找 以外找 不到粒子. 不到粒子.在x=0 处找到粒子的几率 最大. 最大.
ψ 2 ( x, t )
ψ ( x, t )
-b/2
o
b/2
x
例2: 已知一维无限深势阱中粒子的归一化定态 : 波函数为: 波函数为:
Ψn ( x) =
2 nπx sin (0 ≤ x ≤ L ) L l
(Ψ的 轭 数 共 复 ) = Ψ = const 无关. 且与位置 无关.在全空间粒子出现的几率一样
2 0
ρ = ΨΨ = Ψ0e
i ( EtPr )
Ψ e 0
i ( EtPr )
三)波函数的标准化条件
( ) 2)波函数是连续的 )
1)波函数具有有限性 W = )
∫∫∫ ΨΨ dV ≤1
V
从波动观点看来: 从波动观点看来:这种波只能是单色平面波
∵P = const ∵E = const E h 恒定! 恒定! ∴ = ν 恒定! 恒定! ∴λ = p h
X
从不确定关系来研究: 从不确定关系来研究:
∵P = const P = 0 x →∞
沿整个X轴传播 沿整个 轴传播
∵E = const E = 0 t →∞
式中: 为势阱宽度 为势阱宽度, 为量子数 为量子数( 式中:L为势阱宽度,n为量子数(n=1,2,…). , , L n :(1) 区间出现的几率; 求:( )粒子在0 ≤ x ≤ 区间出现的几率;并对 = 1 4 的情况算出概率值. 和 n = ∞ 的情况算出概率值. L 的量子态上, (2)在 n = ? 的量子态上,粒子在 x = ) 区 4 间出现的概率密度最大. 间出现的概率密度最大. L 解: 1)粒子在 0 ≤ x ≤ 区间出现的几率: ( ) 区间出现的几率: 4
U 粒子的观点 极大值
波动的观点
2 0 2
较多电子到达 波强度大, 或Ψ 大 波强度大, Ψ 2 2 波强度小, 极小值 较少电子到达 波强度小, 0 或Ψ 小 Ψ 2 2 统一地看: 统一地看:粒子出现的几率正比于 Ψ0 或Ψ 中间值 介于二者之间 波强介于二者之间
2)一个粒子多次重复性行为 )
∴Ψ r, t 在空间是有限函数
即在r处的几率密度 (r )与r + dr处 ρ
几率密度 (r + dr )只差一微量 ρ 3)波函数是单值的 ) 粒子在空间出现的几率只可能是一个值 4)满足归一化条件 (Narmulisation) ) )
(归一化条件) W = ∫∫∫ Ψ ΨdV =1 归一化条件)
U 较长时间以后 波动的观点 粒子的观点 2 2 波强度大, Ψ 较多电子到达 波强度大, 0 或Ψ 大
2 0 2 0 2
极大值 极小值
波强度小, 较少电子到达 波强度小, 或Ψ 小 Ψ 2 统一地看: 统一地看:粒子出现的几率正比于 Ψ 或Ψ 中间值 介于二者之间 波强介于二者之间
结论: 结论:1)某时刻空间某体元dv中出现粒子的几率 某时刻空间某体元dv中出现粒子的几率 dv 正比于该地点波函数模的平方和体积元 体积: 体积: dW ∝ Ψ 2 , ∝ dV 通常比例系数取1: 通常比例系数取
iE πx ψ ( x, t ) = A exp( t ) cos( ) ( b / 2 ≤ x ≤ b / 2) b
A∫
2
b / 2
∝
|ψ(x, t) | dx+ ∫ |ψ(x, t) | dx+ ∫ |ψ(x, t) | dx =1
2 2 2 b / 2 b/ 2
b/ 2
∝
即:
A
2
∫
b/2
b / 2
波列长为∞长. 波列长为∞ 结论:自由粒子的 结论:自由粒子的De Brglie波是单色平面波 波是单色平面波 其波函数为: 其波函数为:Ψ = Ψ Cos2 ( t ) πν 0 λ x E 依德布罗 Ψ = Ψ Cos2 ( t π ) 0 意关系式 h h/ p
x
E x Ψ = Ψ Cos2 ( t π ) 0 h h/ p 2 π = Ψ Cos (Et px) 0 h 1 = Ψ Cos (Et px) 0 1 = Ψ Cos[ (Et px)] 0
Wn = ∫
L 4 0
nπ 2 1 1 2 nπx Ψ ( x) dx = ∫ sin dx = sin L L 4 2πn 2
L 4 0
2
L (2)粒子在 x = ) 4
2
1 1 当 n = 1时 W1 = ≈ 9% 4 2π 1 当 n = ∞ 时 W∞ = = 25% 4
区间出现的概率密度为: 区间出现的概率密度为:
牛顿说:只要给出了初始条件,下一时刻粒 牛顿说:只要给出了初始条件, 子的轨迹是已知的,决定性的. 子的轨迹是已知的,决定性的. 量子力学说:波函数不给出粒子在什么时刻 量子力学说: 一定到达某点,只给出到达各点的统计分布; 一定到达某点,只给出到达各点的统计分布; 即只知道|Ψ 大的地方粒子出现的可能性大, 即只知道 Ψ|2大的地方粒子出现的可能性大, |Ψ|2小的地方几率小.一个粒子下一时刻出 Ψ 小的地方几率小. 现在什么地方, 现在什么地方,走什么路径是不知道的 非决定性的) (非决定性的)
注意:波函数一般要用复数表示! 注意:波函数一般要用复数表示!
二)波函数的统计铨释(波恩Born) 波函数的统计铨释(波恩Born) Born 代表什么? ψ代表什么?只有实践才是捡验真 理的标准,看电子的单缝衍射: 理的标准,看电子的单缝衍射: 1)大量电子的一次性行为: )大量电子的一次性行为:
波函数 (Wave Function) )
引言:德布罗意波到底是什么波? 引言:德布罗意波到底是什么波?开始认为是某 种场量,什么" 暂且不知,权用" 种场量,什么"场"暂且不知,权用"Ψ"表 称之为"波函数" 示,称之为"波函数" 一)自由粒子的波函数 设一自由粒子,不受外力作用, 设一自由粒子,不受外力作用,则粒子作匀速直 线运动(设沿X轴),其动量 能量保持恒定. 其动量, 线运动(设沿 轴),其动量,能量保持恒定.