x0
x
（4）平面波归一化 I Dirac —函数
定义：
0 ( x x0 )

x x0 x x0

x0
x0
( x x0 )dx
( x x0 )dx 1
( 0)
或等价的表示为：对在x=x0 邻域 连续的任何函数 f（x）有：
第二章 波函数 和 Schrodinger 方程
§1 §2 §3 §4 §5 §6 波函数的统计解释 态叠加原理 力学量的平均值和算符的引进 Schrodinger 方程 粒子流密度和粒子数守恒定律 定态Schrodinger方程
§1 波函数的统计解释
（一）波函数 （二）波函数的解释 （三）波函数的性质
*



px ( x ) p x ( x )dx A12
*


e
dx A12 2 ( p x p x ) ( p x p x)
px ( x )
i px x 1 e 2
若取 A12 2 = 1，则
A1= [2]-1/2, 于是
2 p 2 i p [ x x ]t 2 2
P O
P
电子源
Q
感 光 屏
Q

结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个 电子在许多次相同实验中的统计结果。

波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基
础上，Born 提出了波函数意义的统计解释。
在电子衍射实验中，照相底片上 r 点附近衍射花样的强度
（4）平面波归一化 I Dirac —函数
定义：
0 ( x x0 )

x x0 x x0

x0
x0
( x x0 )dx
( x x0 )dx 1
( 0)
或等价的表示为：对在x=x0 邻域 连续的任何函数 f（x）有：
这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍射实验。 电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增加呈 现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在 一起时才有的现象，单个电子就具有波动性。 事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子（只 含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量 子现象。 波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀了 粒子的波动性的一面，具有片面性。
经典概念中
1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;
粒子意味着
2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。
经典概念中
1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化;
波意味着
2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。
我们再看一下电子的衍射实验
1.入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样 ; 2. 入射电子流强度大，很快显示衍射图样.
（三）波函数的性质
（1）几率和几率密度 根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：
在 t 时刻， r 点，d τ = dx dy dz 体积内，找到由波函数 Ψ (r,t) 描写的粒子的几率是： d W( r, t) = C|Ψ (r,t)|2 dτ，其中C是比例系数。
在 t
时刻 r 点，单位体积内找到粒子的几率是： ω( r, t ) = {dW(r, t )/ dτ} = C |Ψ (r,t)|2 称为几率密度。
1 ( x x0 ) dk e ik ( x x0 ) 2 i p x ( x x0 ) 1 ( x x0 ) e dp x 2
作代换： p x x，p x x 0，则
i ( p x p 1 x )x ( p x p ) e dx x 2
这即是要求描写粒子量子 状态的波函数Ψ必须是绝 对值平方可积的函数。
若
∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ 这是没有意义的。
∞, 则 C

பைடு நூலகம்0,
注意：自由粒子波函数
i (r , t ) A e xp ( p r Et )
不满足这一要求。关于自由粒子波函数如何归一化问题，以后再予以讨 论。

实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内， 其广延不会超过原子大小≈1 Å 。

电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？
“ 电子既不是粒 子也不是波 ”，既不是经典的粒子也不是经典的波， 但是我们 也可以说，“ 电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统 一。” 这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。
(r , t )
• 3个问题？
描写粒子状态的 波函数，它通常 是一个复函数。
(1) (2) (3)
是怎样描述粒子的状态呢？ 如何体现波粒二象性的？ 描写的是什么样的波呢？
P O
电子源
P O Q
Q （1）两种错误的看法 1. 波由粒子组成
感 光 屏
如水波，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布。
在体积 V 内，t 时刻找到粒子的几率为： W(t) = ∫V dW = ∫Vω( r, t ) dτ= C∫V |Ψ (r,t)|2 dτ
（2）
平方可积
由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况）， 所以在全空间找到粒子的几率应为一，即： C∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ= 1, 从而得常数 C 之值为： C = 1/ ∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ
2
可见，Ψ (r , t ) 和 CΨ (r , t ) 所以波函数有一常数因子不定性。
描述的是同一几率波，
由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率 只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大 小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即 Ψ (r, t) 和 CΨ (r, t) 描述同一状态
( r , t ) Ae p
( r )e p
t=0 时的平面波

A1e
i [ E x E x ]t
2 2
i [ px x ]
A2 e
i [ py y]
A3 e
i [ pz z ]
考虑一维积分


px
*
( x, t )px ( x, t )dx e
p *
( p x px ) ( p y py ) ( pz p z) ( p p )



p
*
i [ E E ]t * ( r ) ( r )d ( r , t ) p ( r , t )d e p p



px ( x , t )px ( x , t )dx e
*
( px px ) ( px p x)
f ( x ) ( x x0 ) f ( x0 ) ( x x0 )
平面波可归一化为
( p x px )
函数
三维情况：



( r ) p ( r )d
（一）波函数
i A e xp ( p r Et )
称为 de
描写自由粒子的 平 面 波
Broglie 波。此式称为自由粒子的波函数。
•如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，他的动量和能 量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波 描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：
2. 粒子由波组成

电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连
续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的 大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。

什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。
平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波 振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间， 这是没有意义的，与实验事实相矛盾。
( x x0 )



f ( x ) ( x x0 )dx f ( x0 )
—函数 亦可写成 Fourier 积分形式： 令 k=px/, dk= dpx/, 则
性质：
0
( x ) ( x ) 1 (ax ) ( x) |a| f ( x ) ( x x0 ) f ( x0 ) ( x x0 )
( x x0 )



f ( x ) ( x x0 )dx f ( x0 )
—函数 亦可写成 Fourier 积分形式： 令 k=px/, dk= dpx/, 则
性质：
0
( x ) ( x )
(ax )
1 ( x) |a|
1 ik ( x x0 ) ( x x0 ) dk e 2 i p x ( x x0 ) 1 ( x x0 ) e dp x 2 作代换：p x x，p x x 0，则
注意：对归一化波函数仍有一个模为一的因子不定性。若Ψ (r , t )是归一 化波函数，那末exp{iα}Ψ (r , t ) 也是归一化波函数（其中α是实数）， 与前者描述同一几率波。 也就是说，(A)-1/2Ψ (r , t )是归一化的波函数，与Ψ (r , t )描写同一几 率波， (A)-1/2 称为归一化因子。
这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的 2 倍），则相应的波 动能量将为原来的 4 倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波无归一 化问题。