第1讲：因式分解一．因式分解的定义：二．因式分解的方法：1.提取公因式法：提取所有项的公共的因式，将多项式化成两个多项式的乘积的形式例1：分解因式4121315242+-+---+-n n n n n n y x y x y x例2：试说明139792781--能被45整除例3：已知01234=++++x x x x ，求1200820092010+++++x x x x2.运用公式法：运用公式法进行因式分解的关键是利用各公式的特点，建立运用公式的模型，以下公式都应该熟记. 例4：分解因式xyz z y x 68333---例5：分解因式：abc c b a 3333-++例6：分解因式：12131415++++++x x x x x3.分组分解法：关键是如何分组，原则是：①各组能分解或部分组能分解，②组间能继续分解，从而达到分解的目的.常用的分组思路有，按系数分组，按符号分组，安某一字母一次或二次分组，联想公式分组，按项的次数分组等，对多项式分组的方法往往不唯一，但最终的结果是一致的。

例7：分解因式2105ax ay by bx -+-例8：分解因式2222428x xy y z ++-4.十字相乘法：对二次三项式分解的重要方法，即：()()22112c x a c x a c bx ax ++=++，其中a a a =21，c c c =21， b c a c a =+1221。

十字相乘法通常借助画“十”字来分解系数。

例9：分解因式（1）2524x x +-；（2）226x xy y +-；（3）222()8()12x x x x +-++ 例10：分解因式（1）22y 8x y 6x 5-+；（2）225681812x xy y x y +++++例11：已知：,,a b c 为三角形的三条边，且222433720a ac c ab bc b ++--+=求证：2b a c =+5.求根公式法：一般适合于对二次三项式的因式分解，如要对c bx ax ++2进行因式分解，可令02=++c bx ax ，若0≥∆，则方程有两个实数根，可用一元二次方程的求根公式求出，设为21,x x ，则有()()212x x x x a c bx ax --=++ 例12：分解因式：222(1)616 (2)44x x x xy y +-+-例13：分解因式：422x +x +2ax+1-a6.拆项、添项法：因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解。

例14：分解因式：(1)x 9+x 6+x 3-3；(2)(m 2-1)(n 2-1)+4mn ；例15：(1)(x+1)4+(x 2-1)2+(x -1)4；(2)a 3b -ab 3+a 2+b 2+17.待定系数法：待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。

使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。

例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。

使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。

如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：① 利用对应系数相等列方程；② 由恒等的概念用数值代入法列方程；③ 利用定义本身的属性列方程；④ 利用几何条件列方程。

多项式恒等定理:设有两个一元多项式11110110(),()n n m m n n m m f x a x a xa x a g xb x b x b x b ----=++++=++++ 则0011()(),,,,.n m f x g x m n a b a b a b ≡⇔==== 例16：分解因式：22231415x xy y x y +-++-例17：设m 为常数，2212102115x xy y x y m -++-+可分解为两个一次多项式的乘积，求m 的值例18：求证:不论k 取何值,一次方程(21)(3)(11)0k x k y k --+--=所表示的图象恒过一定点例19：已知,,a b c 均为实数，且多项式32x ax bx c +++能够被234x x +-整除。

（1）求4a c +的值；（2）求22a b c --的值；8.换元法：换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰例20：分解因式：(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x 2例21：分解因式：6x 4+7x 3-36x 2-7x+6例22：分解因式()()()xy y x y x xy 2212-+-++-. 9. 综合除法与因式定理：设1110()n n n n f x a x a x a x a --=+++为x 的n 次多项式被除式=除式×商式+余式, 符号表示:()()()()f x p x q x r x =+ 其中余式的次数比除式低一次()0,(),()()r x p x q x f x =称为的因式, 特别的,当()p x x c =-为一次式时, ()()r x f c =,即余数定理：多项式()f x 除以x c -所得的余数为().f c因式定理：如果x c =时多项式()f x 的值为零，即()0f c =，则()f x 能被x c -整除，即x c -是()f x 的因式；反之，如果x c -是()f x 的因式，那么()0f c =。

如果()0f c =就说c 是()f x 的根。

因此 ，在c 是()f x 的根时，x c -是()f x 的因式。

设有理数,(,)1p q c p q ==是()f x 的根，则有理根pq c =的分子p 是常数项0a 的因数，分母q 是首项系数n a 的因数。

例22. 已知多项式32ax bx cx d +++除以1x -时，所得余数是1，除以2x -时，所得余数是3，则，该多项式除以(1)(2)x x --时，所得余式是（ ）A ． 21x -B ．21x +C ．1x +D ． 1x -例23． 已知26x x +-是多项式43221x x ax bx a b +-+++-的因式，则,a b 的值为（ ）10.对称轮换式：对于一元 n 次方程 10110,n n n n a x a x a x a --++++=如果它的n 个根是12,,n x x x ,则根与系数关系(韦达定理) 1120212131012310(1)n n n nnn n a x x x a a x x x x x x a a x x x x x a --+++=++==-它给出了对称式与轮换对称式的典型例子。

一个给定字母已知顺序排列的多项式，如果将多项式中所含的任意两个字母互换，所得到的多项式仍然与原多项式相同，那么这个多项式叫做关于这些字母的对称多项式。

关于,,x y z 的对称式，例如x y z ++，222x y z ++，…… 一个给定字母已知顺序排列的多项式，如果用第一个字母代替第二个字母，用第二个字母代替第三个字母---用第1n -个字母代替第n 个字母，最后用第n 个字母代替第一个字母，而多项式不变，则这个多项式称为轮换对称式。

对称多项式一定是轮换对称式，但轮换对称式并不一定是对称多项式。

例如：333()()()a b b c c a -+-+-是轮换对称多项式，而仅交换两个字母，如,x y 所得式子与原式不同。

但只含两个字母的轮换对称式定是对称式。

性质：任意两个对称式与轮换对称式的和、差、积、商仍为一个对称式或轮换对称式。

例24：分解因式()()()333a c c b b a -+-+-.例25：因式分解 222()()()a b c b c a c a b -+-+-例26：设22222006200620072007m =++，则m （ ） A ．是完全平方数，还是奇数 B ．是完全平方数，还是偶数C ．不是完全平方数，但是奇数D ．不是完全平方数，但是偶数三．因式分解的应用1. 利用因式分解判断整除性例27：设4x －y 为3的倍数，求证：4x 2+7xy －2y 2能被9整除．2. 因式分解解计算题例28：积()()()()()11131124113511461198100＋＋＋＋＋⨯⨯⨯⨯⨯ ()1199101＋⨯的整数部分为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 43. 利用因式分解解方程例29：求方程4x 2－4xy －3y 2=5的整数解。

4. 利用因式分解证明等式（不等式）例30：设a 、b 、c 为△ABC 的三边，求证bc c b a 2222---<0【同步练习】一、选择题：1. 一次课堂练习，小敏同学做了如下4道因式分解题，你认为做得不够完整的一题是（ ）A. x 3－x ＝x （x 2－1）B. x 2－2xy ＋y 2＝（x －y ）2C. x 2y －xy 2＝xy （x －y ）D. x 2－y 2＝（x －y ）（x ＋y ）2. 下列各式能分解因式的个数是（ ）①x 2－3xy ＋9y 2 ②x 2－y 2－2xy ③－a 2－b 2－2ab④－x 2－16y 2 ⑤－a 2＋9b 2 ⑥4x 2－2xy ＋14y 2 A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个3. 如果从一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线，称得它的质量为a 克，再称得剩余质量为b 克，那么原来这卷电线的总长度是（ ） A.1b a +米 B. （b a ＋1）米 C. （a b a+＋1）米 D. （a b ＋1）米 4. 若x －1x ＝7，则x 2＋21x 的值是（ ） A. 49 B. 48 C. 47 D. 515. 多项式22215x xy y --的一个因式为 （ ）A. 25x y -B. 3x y -C. 3x y +D. 5x y -二、填空题1. 将a 3－a 分解因式，结果为________.2. 分解因式2x 2＋4x ＋2＝________________.3. 分解因式x 2－2x －1＝_____________4. 分解因式4(1)(2)x y y y x -++-＝__________三、解答题1. 因式分解：222456x xy y x y +--+-2. 分解因式（1）32933x x x +++； （2）2222428x xy y z ++-. 3. 证明：当n 为大于2的整数时，5354n n n -+能被120整除。