数学竞赛题精讲复杂的因
式分解问题
Prepared on 21 November 2021
轮换对称式的因式分解问题
林达
多元高次轮换对称式的因式分解问题往往是因式分解中的难点，很多初中学生感到棘手。

但笔者却认为，这类问题往往是有迹可循的。

我们今天就通过几个例子讲一讲把“求根”和“待定系数”相结合进行因式分解的方法。

例1分解因式：
【分析与解答】首先观察发现，当时，原式的值为0。

即，如果将原式看作a的函数，将b看作常数，则是函数的一个根。

故是原式的因式，同理及也是原式的因式。

故是原式的因式，观察发现原式是的三次式，也是三次式，故两式必然只差一个常数。

用待定系数法，设
代入，得到，故原式的因式分解结果是
例2分解因式：
【分析与解答】和例1类似，首先观察发现，当时，原式的值为0。

故是原式的因式，同理及也是原式的因式。

故是原式的因式，观察发现原式是的五次式，是三次式。

两者都是的轮换对称式，故原式一定可以表示成如下结果：
代入，得到
代入，得到
解得故原式的因式分解结果是
例3化简：
【分析与解答】这里虽然是化简而非因式分解，但我们发现分别展开以上四个式子太过复杂，耗时且易错，所以我们仿照例1和例2的方法首先用观察法“求根”以发现因式。

观察发现，当时，原式为
故，是原式的一个因式，同理也是原式的因式。

故是原式的因式。

观察发现原式是的三次式，也是三次式，两式必然只差一个常数。

用待定系数法，设
代入，得到，故原式的化简结果是
配方法及其应用
林达
复杂的因式分解不仅可以是轮换对称式的因式分解，很多难以直接提出因式的高次多项式也难以分解。

对于这类多项式，配方法往往能出奇效。

相对于更一般的待定系数法，配方法的计算要简单很多。

配方法，顾名思义，就是将多项式或其中的某些项配成平方式或更高次方式（一般配成平方式，有时也可能直接配成三次方式，但更高次的配方很少出现）。

下面我们看几道例题。

例1 分解因式：
【分析与解答】通过观察或一般的十字相乘法，难以发现这个多项式的因式，这时我们根据这两项想到了配方法——配出平方项。

最后一步用了平方差公式。

例2 分解因式：
【分析与解答】看到想到故可以用配方法。

下面看一道配方法的经典应用。

例3 证明：具有如下性质的自然数a有无穷多个：对任意自然数n，都不是质数。

【分析与解答】利用配方法，取，其中k是正整数且k>1。

则，
因为k>1，故
故对于这样的，必为合数。

又k的任意性知这样的k有无穷多个。

【点评】这个配方公式在代数计算、数论等领域都有较广泛的应用。