C
B
A
l 3
l 2
l 1
第六讲 立体几何之点线面之间的位置关系
考试要求：
1、 熟练掌握点、线、面的概念；
2、 掌握点、线、面的位置关系，以及判定和证明过程；
3、
掌握点、线、面垂直、平行的性质
知识网络：
知识要点：
1、公理
（1）公理 1：对直线 a 和平面α，若点 A 、B ∈a , A 、B ∈α，则
（2）公理 2：若两个平面α、β有一个公共点P ，则α、β有且只有一条过点P 的公共直线 a
（3）公理 3： 不共线的三点可确定一个平面 推论：① 一条直线和其外一点可确定一个平面
②两条相交直线可确定一个平面 ③两条平行直线可确定一个平面
（4）公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行
等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等．
2、空间两条不重合的直线有三种位置关系：相交、平行、异面
3、异面直线所成角θ的范围是 00<θ≤900
例1、已知直线1l 、2l 和3l 两两相交，且三线不共点. 求证：直线1l 、2l 和3l 在同一平面上.
空间图形的关系
空间基本关系与公理 平行关系 垂直关系 公理 点、线、面的位置关系 判定 性质 应用 应用
性质 判定
例2、三个平面将空间分成k个部分,求k的可能取值.
分析: 可以根据三个平面的位置情况分类讨论，按条件可将三个平面位置情况分为5种: （1）三个平面相互平行
（2）两个平面相互平行且与第三个平面相交
（3）三个平面两两相交且交线重合
（4）三个平面两两相交且交线平行
（5）三个平面两两相交且交线共点
例3、已知棱长为a的正方体中，M、N分别为CD、AD中点。
求证：四边形是梯形。
例4、如图，A是平面BCD外的一点,G H分别是,
ABC ACD
∆∆的重心，
求证：//
GH BD．
例5、如图，已知不共面的直线,,
a b c相交于O点，,
M P是直线a上的两点，,
N Q分别是,b c上的一点求证：MN和PQ是异面直线
例6、已知正方体ABCD－A
1B
1
C
1
D
1
的棱长为a，则棱A
1
B
1
N
M
H
G
D
C
B
A
α
c
b
a
Q
P
N
M
O
A1
C1
D1
所在直线与面对角线BC 1所在直线间的距离是
直线与平面平行、平面与平面平行
1、 直线与平面的位置关系：平行、相交、在平面内
2、 直线和平面平行的判定及性质
（1） 判定 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
（简述为线线平行线面平行）
（2） 性质 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线
平行。
（简述为线面平行线线平行）
3、 两个平面的位置关系：平行、相交
4、 两个平面平行的判定与性质
（1） 判定 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
（2） 性质 如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行 5、两个平行平面的距离
和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平面的公垂线．公垂线夹在平行平面间的部分．叫做这两个平面的公垂线段．两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离
例1、如图，在三棱锥P-ABC 中，点Ο、D 分别是AC 、PC 的中点，求证： OD//平面PAB
例2、如图在四棱锥P-ABCD 中，M 、N 分别是AB ，PC 的中点，若ABCD 是平行四边形，
求证：MN//平面PAD
例3、如图，在棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求证：平面A 1BD//平面CB 1D 1
j
E N M D C B A P D O C
B A P
D1C
B1
1
D
C
A
B
例2、如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB=5,AA1＝4，点D是AB的中点，
（I）求证：AC⊥BC1；
（II）求证：AC 1//平面CDB1；
（III）求异面直线 AC1与 B1C所成角的余弦值．
例3、如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1，底面ABC中，CA=CB=1,∠BCA=90。
,
棱AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点。
（1）求BN的长；
（2）求BA1，B1C夹角的余弦值；
（3）求证A1B⊥C1M
A
B C
A1
B C
N
M
例4、已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，
⊥=∠PA DAB ,90
底面ABCD ，且PA=AD=DC=12
AB =1，M 是PB 的中点。
证明：面PAD ⊥面PCD
例5、已知四棱锥P —ABCD ，底面ABCD 是菱形， ⊥︒=∠PD DAB ,60平面ABCD ，PD=AD ，点E 为AB 中点，点F 为PD 中点.（1）证明平面PED ⊥平面PAB ； （2）求二面角P —AB —F 的平面角的余弦值.
例6. 如图所示，在斜边为AB 的Rt △ABC 中，过A 作PA ⊥平面ABC ，AM ⊥PB 于M ，AN ⊥PC 于N 。
（1）求证：BC ⊥面PAC ；
（2）求证：PB ⊥面AMN ；
（3）若PA=AB=4，设∠BPC=θ，试用tan θ表示△AMN 的面积，当tan θ取何值时，△AMN 的面积最大？最大面积是多少？。