2021年甘肃省中考数学模拟四试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．绝对值为1的实数共有（）.A．0个B．1个C．2个D．4个2．若式子有意义，则实数m的取值范围是（）2(1)m-A．m＞﹣2 B．m＞﹣2且m≠1C．m≥﹣2 D．m≥﹣2且m≠1 3．一元二次方程2x2-x+1=0的根的情况是（）A．两个不相等的实数根B．两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断4．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD=CE,若∠ABC=30°，则∠D为（）A．85°B．75°C．60°D．30°5．下列四个几何体中，主视图为圆的是（）A．B．C．D．6．如图，直线y=kx+3经过点（2，0），则关于x的不等式kx+3＞0的解集是（）A ．x ＞2B ．x ＜2C ．x≥2D ．x≤27．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，BD=8，tan ∠ABD=34，则线段AB 的长为（ ）A B ．C ．5 D ．108．如图，在△ABC 中，AB=2，BC=4，∠ABC=30°，以点B 为圆心，AB 长为半径画弧，交BC 于点D ，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．2﹣3π B ．2﹣6π C ．4﹣3π D ．4﹣6π 9．如图，点A ，B 在双曲线y=3x （x ＞0）上，点C 在双曲线y=1x （x ＞0）上，若AC ∥y 轴，BC ∥x 轴，且AC=BC ，则AB 等于（ ）A B ． C ．4 D ．10．如图，矩形ABCD 的顶点A,B 在x 轴的正半轴上，反比例函数k y x=在第一象限内的图像经过点D ，交BC 于点E ，若AB=4,CE=2BE ，3tan 4AOD ∠=．则是的值为( )A ．3B ．C ．6D ．12二、填空题11．化简：2|=__________．12．把多项式x 3﹣25x 分解因式的结果是_____13．古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里．驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马x 天可追上慢马，则由题意，可列方程为__．14．如图，四边形ABCD 是正方形，延长AB 到E ，使AE AC =，则BCE ∠=__________°．15．已知关于x 的分式方程233x k x x -=--有一个正数解，则k 的取值范围为________. 16．如图，随机闭合开关K 1，K 2，K 3中的两个，则能让两盏灯泡同时发光的概率为___________．17．a 是不为1的数，我们把11a-称为a 的差倒数，如：2的差倒数为1112=--；-1的差倒数为()11112=--；已知13a =，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，…以此类推，则2020a =__________．18．如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OA OC =，则下列结论：0abc <①；2404b ac a->②；10ac b ③-+=；.c OA OB a⋅=-④其中正确结论的序号是______．三、解答题19．计算：2sin30°﹣（π）01|+（12）﹣120．先化简，再求代数式（1﹣12a-）÷26924a aa-+-的值，其中a=4cos30°+3tan45°．21．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C= 90°，AB>CD，AD=AB+CD．(1)利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE．(保留作图痕迹，不写作法)(2)在(1)的条件下，求证:AE⊥DE．22．连接定西市陇西县至漳县的陇漳高速公路是G30连霍高速和G75兰海高速两大国家高速公路的连接点，预计于2021年6月通车，届时将形成陇西县的环城高速，充分发挥陇西城市节点的“阜码头”作用．在施工过程中，决定在A、B两地开凿隧道，从而将两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山．汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC=80千米．∠A=45°，∠B= 30°．(1)开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米?(2)开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米? (结果精确到0.1千米)(参考数据≈1.41 1.73)23．如图，一条直线上有两只蚂蚁，甲蚂蚁在点A处，乙蚂蚁在点B处，假设两只蚂蚁同时出发，爬行方向只能沿直线AB在“向左”或“向右”中随机选择，并且甲蚂蚁爬行的速度比乙蚂蚁快．(1)甲蚂蚁选择“向左”爬行的概率为；(2)利用列表或画树状图的方法求两只蚂蚁开始爬行后会“触碰到”的概率．24．某初级中学数学兴趣小组为了了解本校学生的年龄情况，随机调查了该校部分学生的年龄，整理数据并绘制如下不完整的统计图．依据以上信息解答以下问题：（1）求样本容量；（2）直接写出样本容量的平均数，众数和中位数；（3）若该校一共有1800名学生，估计该校年龄在15岁及以上的学生人数．25．如图，反比例函数k y x=的图象经过点A （1-，4），直线y x b =-+（0b ≠）与双曲线k y x=在第二、四象限分别相交于P ，Q 两点，与x 轴、y 轴分别相交于C ，D 两点．（1）求k 的值；（2）当2b =-时，求△OCD 的面积；（3）连接OQ ，是否存在实数b ，使得ODQ OCD S S ∆∆=？ 若存在，请求出b 的值；若不存在，请说明理由．26．如图，在▱ABCD 中，DC ＞AD ，四个角的平分线AE ，DE ，BF ，CF 的交点分别是E ，F ，过点E ，F 分别作DC 与AB 间的垂线MM'与NN'，在DC 与AB 上的垂足分别是M ，N 与M′，N′，连接EF ．（1）求证：四边形EFNM 是矩形；（2）已知：AE=4，DE=3，DC=9，求EF 的长．27．如图，AB、BC、CD分别与⊙O切于E、F、G，且AB∥CD．连接OB、OC，延长CO交⊙O于点M，过点M作MN∥OB交CD于N．（1）求证：MN是⊙O的切线；（2）当OB＝6cm，OC＝8cm时，求⊙O的半径及MN的长．28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．C【解析】分析：直接利用绝对值的性质得出答案．详解：绝对值为1的实数有：1，-1共2个．故选C．点睛：此题主要考查了实数的性质以及绝对值，正确把握绝对值的性质是解题关键．2．D【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．【详解】由题意可知：2010mm+≥⎧⎨-≠⎩，∴m≥﹣2且m≠1，故选D．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式的条件.3．C【分析】先计算△=b2-4ac的值，再根据计算结果判断方程根的情况即可．【详解】∵△=b 2 -4ac=1-8=-7＜0，∴一元二次方程2x 2 -x+1=0没有实数根．故选C．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．4．B【解析】分析：先由AB∥CD，得∠C=∠ABC=30°，CD=CE，得∠D=∠CED，再根据三角形内角和定理得，∠C+∠D+∠CED=180°，即30°+2∠D=180°，从而求出∠D．详解：∵AB∥CD，∴∠C=∠ABC=30°，又∵CD=CE，∴∠D=∠CED，∵∠C+∠D+∠CED=180°，即30°+2∠D=180°，∴∠D=75°．故选B．点睛：此题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，解题的关键是先根据平行线的性质求出∠C，再由CD=CE得出∠D=∠CED，由三角形内角和定理求出∠D．5．A【分析】首先依次判断每个几何体的主视图，然后即可得到答案．【详解】解：A、主视图是圆，B、主视图是三角形，C、主视图为矩形，D、主视图是正方形，故选：A．【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，熟知这些简单几何体的三视图是解决此类问题的关键．6．B【分析】直接利用函数图象判断不等式kx+3>0的解集在x轴上方,进而得出结果.【详解】由一次函数图象可知关于x的不等式kx+3>0的解集是x<2故选B.【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质和一元一次不等式及其解法，解题的关键是掌握一次函数与一元一次不等式之间的内在联系.7．C【解析】分析：根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，求出OB，解直角三角形求出AO，根据勾股定理求出AB即可．详解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，∴∠AOB=90°，∵BD=8，∴OB=4，∵tan∠ABD=34AOOB =，∴AO=3，在Rt△AOB中，由勾股定理得：，故选C．点睛：本题考查了菱形的性质、勾股定理和解直角三角形，能熟记菱形的性质是解此题的关键．8．A【分析】过A作AE⊥BC于E，依据AB=2，∠ABC=30°，即可得出AE=12AB=1，再根据公式即可得到，阴影部分的面积是12×4×1-2302360π⨯⨯=2-13π．【详解】如图，过A作AE⊥BC于E，∵AB=2，∠ABC=30°，∴AE=12AB=1，又∵BC=4，∴阴影部分的面积是12×4×1-2302360π⨯⨯=2-13π，故选A．【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积，常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．9．B【解析】【分析】依据点C在双曲线y=1x上，AC∥y轴，BC∥x轴，可设C（a，1a），则B（3a，1 a ），A（a，3a），依据AC=BC，即可得到3a﹣1a=3a﹣a，进而得出a=1，依据C（1，1），B（3，1），A（1，3），即可得到AC=BC=2，进而得到Rt△ABC中，AB=2【详解】点C在双曲线y=1x上，AC∥y轴，BC∥x轴，设C（a，1a），则B（3a，1a），A（a，3a），∵AC=BC，∴3a﹣1a=3a﹣a，解得a=1，（负值已舍去）∴C（1，1），B（3，1），A（1，3），∴AC=BC=2，∴Rt△ABC中，故选B．【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，注意反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．10．A【分析】由tan∠AOD＝34ADOA=可设AD＝3a、OA＝4a，在表示出点D、E的坐标，由反比例函数经过点D、E列出关于a的方程，解之求得a的值即可得出答案．【详解】∵tan∠AOD＝34 ADOA=，∴设AD＝3a、OA＝4a，则BC＝AD＝3a，点D坐标为（4a，3a），∵CE＝2BE，∴BE＝13BC＝a，∵AB＝4，∴点E（4+4a，a），∵反比例函数y＝kx经过点D、E，∴k＝12a2＝（4+4a）a，解得：a＝12或a＝0（舍），则k＝12×14＝3，故选A．【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意表示出点D、E的坐标及反比例函数图象上点的横纵坐标乘积都等于反比例系数k．11．2【分析】先判断两个实数的大小关系，再根据绝对值的代数意义化简，进而得出答案．【详解】2<，∴原式2)=-2=-故答案为：2．【点睛】此题主要考查了绝对值的代数意义，正确判断实数的大小是解题关键．12．x（x+5）（x﹣5）．【解析】分析：首先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式即可．详解：x3-25x=x（x2-25）=x（x+5）（x-5）．故答案为x（x+5）（x-5）．点睛：此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．13．240x=150x+12×150【分析】设良马x天能够追上驽马，根据路程=速度×时间结合二者总路程相等，即可得出关于x的一元一次方程.【详解】解：设良马x天能够追上驽马．根据题意得：240x=150×（12+x）=150x+12×150.【点睛】本题考查的知识点是一元一次方程的应用，解题关键是根据路程=速度×时间结合二者总路程相等，列出关于x的一元一次方程．14．22.5【分析】根据正方形的性质求出∠CAB=∠ACB=45°，再根据AC=AE求出∠ACE=67.5°，由此即可求出答案.【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB=∠DCB=90°，∵AC是对角线，∴∠CAB=∠ACB=45°，∵AC=AE,∴∠ACE=67.5°，∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=22.5°，故答案为：22.5°.【点睛】此题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和性质，是一道较为基础的题型. 15．k <6且k≠3【解析】分析：根据解分式方程的步骤，可得分式方程的解，根据分式方程的解是正数，可得不等式，解不等式，可得答案，并注意分母不分零． 详解：233x k x x -=--， 方程两边都乘以（x-3），得x=2（x-3）+k ，解得x=6-k≠3，关于x 的方程程233x k x x -=--有一个正数解， ∴x=6-k ＞0，k ＜6，且k≠3，∴k 的取值范围是k ＜6且k≠3．故答案为k ＜6且k≠3．点睛：本题主要考查了解分式方程、分式方程的解、一元一次不等式等知识，能根据已知和方程的解得出k 的范围是解此题的关键．16．13【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让两盏灯泡同时发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，能让两盏灯泡同时发光的有2种情况，∴能让两盏灯泡同时发光的概率为：26＝13．故答案为：13．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．17．3【分析】根据题意先分别求出a2，a3，a4的值，进而得出变化规律，即可得出答案．【详解】解：∵a1＝3，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，∴a2＝113-＝－12，∴a3＝111()2--＝23，∴a4＝1213-＝3，…∵2020÷3＝673…1，∴第2020个数与第1个数相等，∴a2020＝3．故答案为：3．【点睛】此题主要考查了实数的运算以及差倒数的定义，正确得出数字变化规律是解题关键．18．①③④【解析】（1）∵抛物线开口向下，∴0a <，又∵对称轴在y 轴的右侧，∴ 0b >，∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴0c > ，∴0abc <，即①正确；（2）∵抛物线与x 轴有两个交点，∴240b ac ->，又∵0a <， ∴2404b ac a-<，即②错误； （3）∵点C 的坐标为(0)c ，，且OA=OC ，∴点A 的坐标为(?0)c -，， 把点A 的坐标代入解析式得：20ac bc c -+=，∵0c >，∴10ac b -+=，即③正确；（4）设点A 、B 的坐标分别为12(?0)?(?0)x x ，、，，则OA=1x -，OB=2x ， ∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点，∴12x x ，是方程20ax bx c ++=的两根， ∴12c x x a⋅=， ∴OA·OB=12c x x a -⋅=-.即④正确； 综上所述，正确的结论是：①③④.19．【解析】分析：直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和负指数幂的性质分别化简得出答案．详解：原式=2×12点睛：此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案，【详解】当a=4cos30°+3tan45°时，所以（1﹣12a -）÷26924a a a -+-=232(2)•2(3)a a a a ---- =23a -=3. 【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 21．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用尺规作出∠ADC 的角平分线即可；（2）在DA 上截取DH ＝CD ，连接HE ，利用全等三角形的判定及性质证明∠DEC ＝∠DEH ，∠AEH ＝∠AEB 即可得证．【详解】解：（1）如图，线段DE ，AE 即为所求．（2）在DA 上截取DH ＝CD ，连接HE ，由（1）知∠HDE ＝∠CDE ， 在HDE 与CDE 中，DH CD HDE CDE DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴HDE ≌CDE （SAS ），∴∠DHE ＝∠C ＝90°，∠DEH ＝∠DEC ，∴∠AHE ＝180°－∠DHE ＝90°，∵∠B ＝90°，∴∠AHE ＝∠B ＝90°，∵AD ＝AH ＋DH ＝AB ＋CD ，DH ＝CD ，∴AH ＝AB ，在Rt AEG 和Rt AEB 中，AH AB AE AE =⎧⎨=⎩， ∴Rt AEH ≌Rt AEB （HL ），∴∠AEH ＝∠AEB ，∵∠DEG ＋∠AEG ＋∠DEC ＋∠AEB ＝180°，∴2(∠DEG ＋∠AEG )＝180°，∴∠DEG ＋∠AEG ＝90°，即∠AED ＝90°，∴AE ⊥DE ．【点睛】本题考查作图－基本作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．22．（1）开通隧道前，汽车从地到地大约要走136.4千米；（2）开通隧道后，汽车从A 地到B 地大约可以少走27.2千米．【分析】（1）开通隧道前，汽车从A 地到B 地要走的距离为AC ＋BC 的长，利用角的正弦值和余弦值即可算出．（2）开通隧道后，汽车从A 地到B 地要走的距离为AB 的长，汽车从A 地到B 地比原来少走的路程为AC ＋BC －AB 的长，利用角的余弦值和正切值即可算出．【详解】解：（1）如图，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，∵CD ⊥AB ，∴∠CDB ＝∠CDA ＝90°，∴在Rt BCD 中，sin B ＝CD BC ， ∵∠B ＝30°，BC ＝80，∴sin30°＝80CD ＝12， ∴CD ＝80×12＝40， ∴在Rt ACD 中，sin A ＝CD AC ， ∵∠A ＝45°，∴sin45°＝40AC ＝2，∴AC ＝，∴AC ＋BC ＝80＋≈80＋40×1.41＝136.4（千米）．答：开通隧道前，汽车从地到地大约要走136.4千米．（2）∵在Rt BCD中，cos B＝CD BC，∴cos30°＝80BD∴BD＝80×2＝，∵在Rt ACD中，tan A＝CD AD，∴tan45°＝40 AD，∴AD＝40tan45＝401＝40，∴AB＝AD＋BD＝40＋≈40＋40×1.73＝109.2（千米）．∴汽车从A地到B地比原来少走的路程为：AC＋BC－AB＝136.4－109.2＝27.2（千米）．∴开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走27.2千米．【点睛】本题主要考查了三角函数在解直角三角形中的应用，过点C作CD⊥AB，构造直角三角形是解决本题的关键．23．（1）12；（2）12.【解析】试题分析：（1）根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．因此，由爬行方向只能沿直线AB在“向左”或“向右”中随机选择，直接利用概率公式求解即可求得答案．（2）根据题意画出树状图或列表，然后由图表求得所有等可能的结果与两只蚂蚁开始爬行后会“触碰到”的情况，再利用概率公式即可求得答案．试题解析：解：（1）∵爬行方向只能沿直线AB在“向左”或“向右”中随机选择，∴甲蚂蚁选择“向左”爬行的概率为：12． （2）画树状图得：∵共有4种情况，由于甲蚂蚁爬行的速度比乙蚂蚁快，两只蚂蚁开始爬行后会“触碰到”的2种情况：甲向右乙向右，甲向右乙向左，∴两只蚂蚁开始爬行后会“触碰到”的概率为：2142=． 考点：1．列表法或树状图法；2．概率．24．（1）样本容量为50；（2）平均数为14（岁）；中位数为14（岁），众数为15岁；（3）估计该校年龄在15岁及以上的学生人数为720人．【分析】（1）由12岁的人数除以所占百分比可得样本容量；（2）先求出14、16岁的人数，再根据平均数、众数和中位数的定义求解可得； （3）用总人数乘以样本中15、16岁的人数所占比例可得．【详解】解：（1）样本容量为6÷12%=50； （2）14岁的人数为50×28%=14、16岁的人数为50﹣（6+10+14+18）=2， 则这组数据的平均数为12613101414151816250⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=14（岁）， 中位数为14+142=14（岁），众数为15岁； （3）估计该校年龄在15岁及以上的学生人数为1800×18+250=720人． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．25．（1）4k =-；（2）2；（3）b =【解析】试题分析：（1）把A （－1，4）代入双曲线的解析式即可；（2）由2b =-，可得到直线CD 的解析式为2y x =--，从而得出CO=DO=2，即可得到OCD S ∆的值；（3）过Q 作QE ⊥y 轴，垂足为E ．然后分①b ＜0和②b ＞0两种情况讨论．当b ＜0时，由y x b =-+可知， OC=OD ，∠OCD=∠ODC=45°，所以∠EDQ=∠DQE=45°，得到DE=EQ ，由ODQ OCD S S ∆∆=，可得到CO=QE ，从而有Q （－b ，2b ），由点Q 在双曲线4y x =-的图象上，得到24b b -⋅=-，即可得到b 的值；②当b ＞0时，有ODQ OCD S S ∆∆>，综和这两种情况，得到b 的值．试题解析：（1）∵A （－1，4）在双曲线k y x=上，∴144k =-⨯=-； （2）∵2b =-，∴直线CD 的解析式为2y x =--，∴C （－2，0），D （0，－2），∴CO=2，DO=2，∴OCD S ∆=12CO·DO=2； （3）过Q 作QE ⊥y 轴，垂足为E ．①当b ＜0时，由y x b =-+可知，C （b ，0），D （0，b ），∴OC=OD ，∴∠OCD=∠ODC=45°，∴∠EDQ=∠DQE=45°，∴DE=EQ ，∵ODQ OCD S S ∆∆=，∴12CO·DO=12DO·QE ，∴CO=QE ，∴Q （－b ，2b ），∵点Q 在双曲线4y x=-的图象上，∴24b b -⋅=-，∴22b =，∴b =∵b ＜0，∴b =；②当b ＞0时，此时ODQ OCD S S ∆∆>；综上所述，当b =ODQ OCD S S ∆∆=．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．26．（1）证明见解析；（2）EF=4【分析】（1）要说明四边形EFNM是矩形，有ME⊥CD，FN⊥CD条件，还缺ME=FN，过点E、F 分别作AD、BC的垂线，垂足分别是G、H．利用角平分线上的点到角两边的距离相等可得结论；（2）利用平行四边形的性质，证明直角△DEA，并求出AD的长．利用全等证明△GEA≌△CNF，△DME≌△DGE从而得到DM=DG，AG=CN，再利用线段的和差关系，求出MN的长得结论．【详解】（1）如图，过点E、F分别作AD、BC的垂线，垂足分别是G、H，∵∠3=∠4，∠1=∠2，EG⊥AD，EM⊥CD，EM′⊥AB，∴EG=ME，EG=EM′，∴EG=ME=ME′=12 MM′，同理可证：FH=NF=N′F=12 NN′，∵CD∥AB，MM′⊥CD，NN′⊥CD，∴MM′=NN′，∴ME=NF=EG=FH，又∵MM′∥NN′，MM′⊥CD，∴四边形EFNM是矩形；（2）∵DC∥AB，∴∠CDA+∠DAB=180°，∵∠3=12∠CDA ，∠2=12∠DAB，∴∠3+∠2=90°，在Rt△DEA，∵AE=4，DE=3，∴，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB=∠DCB ，又∵∠2=12∠DAB ，∠5=12∠DCB ， ∴∠2=∠5，由（1）知GE=NF ，在Rt △GEA 和Rt △CNF 中2590EGA FNC GE NF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△GEA ≌△CNF ，∴AG=CN ，在Rt △DME 和Rt △DGE 中，∵DE=DE ，ME=EG ，∴△DME ≌△DGE ，∴DG=DM ，∴DM+CN=DG+AG=AB=5，∴MN=CD ﹣DM ﹣CN=9﹣5=4，∵四边形EFNM 是矩形，∴EF=MN=4.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定、角平分线的性质、勾股定理及三角形全等的判定，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、灵活应用相关的定理与性质是解题的关键.27．(1)见解析;(2)4.8cm ,MN ＝9.6cm ．【分析】（1）先由切线长定理和平行线的性质可求出∠OBC +∠OCB ＝90°，进而可求∠BOC ＝90°，然后证明∠NMC=90°，即可证明MN 是⊙O 的切线；（2）连接OF，则OF⊥BC，根据勾股定理就可以求出BC的长，然后根据△BOC的面积就可以求出⊙O的半径，通过证明△NMC∽△BOC，即可求出MN的长.【详解】（1）证明：∵AB、BC、CD分别与⊙O切于点E、F、G，∴∠OBC＝12∠ABC，∠OCB＝12∠DCB，∵AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB＝180°，∴∠OBC+∠OCB＝12（∠ABC+∠DCB）＝12×180°＝90°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣90°＝90°. ∵MN∥OB，∴∠NMC＝∠BOC＝90°，即MN⊥MC且MO是⊙O的半径，∴MN是⊙O的切线；（2）解：连接OF，则OF⊥BC，由（1）知，△BOC是直角三角形，∴BC＝10，∵S△BOC＝12•OB•OC＝12•BC•OF，∴6×8＝10×OF，∴OF＝4.8cm，∴⊙O的半径为4.8cm，由（1）知，∠NCM＝∠BCO，∠NMC＝∠BOC＝90°，∴△NMC∽△BOC，∴ MN CMOB CO=，即6MN＝8 4.88+，∴MN＝9.6（cm）．【点睛】本题主要考查的是切线的判定与性质，切线长定理，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，三角形的面积等有关知识.熟练掌握各知识点是解答本题的关键.28．（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139），【解析】分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-13x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-13x+3，再解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩，解得33pq=⎧⎨=⎩，∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直线PC的解析式为y=﹣13x+3，解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝，解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P点坐标为（73，209）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，把A（﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13，∴直线PC的解析式为y=﹣13x﹣13，解方程组2231133y x xy x⎧-++⎪⎨--⎪⎩＝＝，解得1xy=-⎧⎨=⎩或103139xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P点坐标为（103，﹣139）.综上所述，符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139）.点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．。