1.3 随机过程的分类方法（1）
{
指标集T可以分为离散和连续两类： （1）T为一有限集或可列集 (离散的情况)， 这类随机过程称为离散参数的随机过程 或随机序列。
（2）T为不可列集（连续的情况），这类 随机过程称为连续参数的随机过程。
1.3 随机过程的分类方法（1）
综合随机变量类型和指标集类型，随机过 程可以分为以下四类： 归纳处理 T 变量 (1) 离散参数 离散型 随机过程 (2) 连续参数 离散型 随机过程 (3) 离散参数 连续型 随机过程 (4) 连续参数 连续型 随机过程
观察到什么
给出你的结论
超市排队问题 ---泊松问题，Markov链
排队的顾客数统计曲线
时间轴
图形配色问题
随机分配 颜色配置
Scaling Law, time scale, or spatial scale
赌博游戏---鞅论
1.1 随机过程的基本特点
{
随机变量 ：某一变量以一定的概率取一确 定的值，通常将这种变量称为随机变量 随机过程：在随机过程的定义中引入了空 间的概念，即在空间中每个位置上它都呈 现为一个随机变量。如果空间取为时间域， 那么它在每一个时刻都呈现为一个随机变 量。如果从时间域上看，它是时间 t 的一 个函数，反映了随时间的变化过程。
1 2 n
第二章 讨论的 重点
1.6 随机过程的分类方法（2）
{
1.4 随机过程的示例
{
举例说明
例1：随机游动 (离散参数离散型随机过程) 我们假设每隔T秒，抛掷硬币一次，在每次抛掷 后，依据硬币出现的正、反面，我们在一条直线 上移动一格。具体移动规则如下：如硬币出现正 面向右移；如硬币出现反面向左移。假设在t=0 时，我们位于起始点，相应的位置记 X (0) = 0。 经时间nT秒后，我们偏离原点的距离为X (nT)。 于是，随机游动可以用一个离散参数离散型随机 过程描述。
Rζζ (t1 , t 2 ) = E ζ (t1 )ζ (t 2 ) = E{[ξ (t1 ) + jη (t1 )][ξ (t 2 ) + jη (t 2 )]}
{
}
1.6 随机过程的分类方法（2）
按照随机过程的概率特征进行分类 （1）独立增量过程：设为一随机过程 { X (t ), t ∈ T } ， 对 t1 < t 2 < L < t n , t i ∈ T , (1 ≤ i ≤ n)， 若增量 X (t1 ), X (t 2 ) − X (t1 ), X (t 3 ) − X (t 2 ), L, X (t n ) − X (t n −1 )
{
1.1 随机过程的基本特点
随机过程 ξ (t)的特点： ξ(t) 在时刻 t = t 0 的单个样本值是一随机 （1） 变量。 ξ (t0 ) 的数学期望 s(t 0 ) = E (ξ (t 0 ))是确定的， （ 2） 其中E( )表示统计平均运算。 s (t ) = E (ξ (t )) 是关于t 的函数，此时呈现 （3） 了函数的特性，因此 ξ (t ) 可以看作一随机 函数。
1.5 随机过程的数字特征及基本概念
{
基 本 定 义 处理
两个或两个以上随机过程的分布和数字特 征： η(t)为两个随机过程，对任意 假设 ξ (t)， 的 t1 , t 2 ∈ T ，则 二阶混合原点矩定义为：
Rξη (t1 , t 2 ) = E[ξ (t1 )η (t 2 )].
相应的二阶混合中心矩定义为：
因此 P ( X (nT ) = r ) = C (1 / 2) (1 / 2) 值得注意的是n和r的奇偶性是相同的。
1.4 随机过程的示例
{
特殊的 应用例子
例2：AM调制系统（连续参数离散型随机过程） 在数字通信系统中，有一种调制方式是利用信号 的幅度高低区分信号的。假定传送的信号是脉宽 为 T0 的脉冲信号，每隔 T0 送出一个脉冲，脉冲幅 度 ξ (t)为一随机变量。若以等概取值 {− 3, − 1,1,3} ， 且不同周期内脉冲幅度是相互独立的，脉冲的起 始时间相对于原点（t=0）的时间差U为均匀分 布在[ 0 , T 0 ] 内的随机变量 ξ(t) 。于是的表达式为
平时作业(14%) 两次Project(12%) 期中考试(24%) 期末考试(50%)
参考文献: 见网络学堂 主要参考书: 樊平毅 随机过程理论与应用 清华大学出版社
课程学习建议
{ { { {
努力学习基本概念 理解基本公式和内涵 拓展学习内容 适当练习理论联系实际---学以致用 提升数学修养和水平
特殊 的应 用
1.5 随机过程的数字特征及基本概念
{
基 本 定 义 处理
随机过程的数字特佂应包括： t1 ∈ T， 则 假设ξ (t)为一随机过程， 均值定义为：μ ξ (t1 ) = E (ξ (t1 )) 2 2 σ ( t ) = D ( ξ ( t )) = E ( ξ ( t ) − μ ( t )) 相应的方差定义为： ξ 1 ξ 1 1 1 二阶混合原点矩定义为：对任意的 t1 , t 2 ∈ T ，
Rξξ (t1 , t 2 ) = E[ξ (t1 )ξ (t 2 )].
二阶混合中心矩定义为：对任意的 t1 , t 2 ∈ T ，
Cξξ (t1 , t 2 ) = E[(ξ (t1 ) − μ ξ (t1 ))(ξ (t 2 ) − μ ξ (t 2 ))].
要点解析: 中心矩---均值 原点矩---0点
1.6 随机过程的分类方法（2）
2) 二阶矩过程 一随机过程 { X (t ), t ∈ T }，若对存在 ∀t , D ( X (t ))， 则称为二阶矩过程 (finite second moments process )。 3）严平稳过程 一随机过程 { X (t ), t ∈ T } ，若对 ∀t1 , t 2 ,..., t n ∈ T及 h > 0, ( X t , X t ,..., X t ) 与 ( X t1 + h , X t 2 + h ,..., X t n + h ) 有相同 的联合分布，则称该过程为严平稳过程 (strictly stationary process )。严平稳过 程的一切有限维分布对时间的推移保持不变。特 别地 X (t ), X ( s)，的二维分布只依赖于 t − s 。
{
{
1.2 随机过程的研究范围
{
随机过程的数学定义：设(Ω. F. P)是一 概率空间，其中Ω是一个集合，F是由Ω的 某些子集所组成的一个代数，P是在可测 空间(Ω.F)上定义的一个概率测度。T是 一个指标集，若对每一个 t∈T , ξ (t , w) 是一随机变量，则称ξ (t , w) = ξ t ( w)为该概率 空间上的随机过程。为方便起见，通常记 为ξ (t ) 。
1.5 随机过程的数字特征及基本概念
{
基 本 定 义 处理 {
{
复随机变量 η 为同一概率空间(Ω.F.P)上的两 设ξ 、 个取实数值的随机变量，并设 ζ = ξ + jη ， 其中 j = − 1 ，则称 ζ 为该概率空间上的 一个复随机变量。 均值： Eζ = Eξ + jEη 方差为：Dζ = E ζ − Eζ 2 = E {(ξ − Eξ )2 }+ E {(η − Eη )2 }
1/2
1/2
随机过程
授课教师：樊平毅 清华大学电子工程系 2014
课程内容简介
{ { { { { { {
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章
概论 平稳过程与二阶矩过程 离散鞅论 Poisson与更新过程 Brown运动 Markov链 连续参数Markov链
本课程评分标准
{ { { {
{
相互独立，则称 { X (t ), t ∈ T }为独立增量过程 (Process with independent increments). 1 泊松过程 2 布朗运动
1.6 随机过程的分类方法（2）
（2）平稳过程及二阶矩过程 1) 宽平稳过程 (或协方差平稳过程 ) 一随机过程 { X (t ), t ∈ T } ，若对 ∀t ,τ , t + τ ∈ T， D ( X (t )) 存在且 E ( X (t )) = m, 互相关函数 cov( X (t ), X (t + τ )) = R (τ ) 仅依赖 τ ，则称{ X (t ), t ∈ T } 为宽平稳过程 (wide Sense stationary process )，即它的协方差 不随时间推移而改变。 工程上的习惯性处理
Cξη (t1 , t 2 ) = E[(ξ (t1 ) − μ ξ (t1 ))(η (t 2 ) − μη (t 2 ))].
1.5 随机过程的数字特征及基本概念
{
基 本 定 义 处理
统计无关： 如果对于任意的两个参量 t1 和 t 2 都 有 Cξη (t1 , t 2 ) = 0，则称随机过程 ξ (t ) 和 η (t ) 是 统计无关的。
ξ (t ) = ∑ a n F (t − nT0 − U )
n =0 ∞
数学表达式
1.4 随机过程的示例
其中
a n ∈ {−3,−1,1,3},
⎧1 0 ≤ t < T0 F (t ) = ⎨ 其他 ⎩0
1.4 随机过程的示例
{
特殊的 应用例子
例3：(离散参数连续型随机过程) 设某通信系统，它的信号为脉冲信号，脉 宽为 T ，脉冲信号的周期也假定为 T 。如 果脉冲幅度是随机的, 幅度服从参数为 λ 负指数分布（Rayleigh 衰落信道），且 不同周期内的幅度 ξ i , ξ k , (i ≠ k )是相互统计 独立的，脉冲起始时间设为t=0。
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