第一章 随机过程基本概念P391. 设随机过程()0cos X t X t ω=，t -∞<<+∞，其中0ω是正常数，而X 是标准正态变量。

试求()X t 的一维概率分布。

解：1 当0cos 0t ω=，02t k πωπ=+，即0112t k πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（k z ∈）时， ()0X t ≡，则(){}01P X t ==. 2 当0cos 0t ω≠，02t k πωπ≠+，即0112t k πω⎛⎫≠+ ⎪⎝⎭（k z ∈）时， ()~01X N ，，()0E X ∴=，()1D X =. ()[]()00cos cos 0E X t E X t E X t ωω===⎡⎤⎣⎦.()[]()22000cos cos cos D X t D X t D X t t ωωω===⎡⎤⎣⎦.()()20~0cos X t N t ω∴，.则()2202cos x tf x t ω-=；.2. 利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为()cos 2t X t t π⎧=⎨⎩，出现正面，出现反面假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为12。

试确定()X t 的一维分布函数12F x ⎛⎫ ⎪⎝⎭；和()1F x ；，以及二维分布函数12112F x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，；，。

001110122211<⎧⎪⎧⎫⎪⎛⎫⎛⎫∴=≤=≤<⎨⎬⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎪≥⎪⎩，；，，x F x P Xx x x()(){}0111112212<-⎧⎪⎪∴=≤=-≤<⎨⎪≥⎪⎩，；，，x F x P X x x x随机矢量()112⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，X X 的可能取值为()01-，，()12，. 而()1101122⎧⎫⎛⎫==-=⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭，P X X ，()1111222⎧⎫⎛⎫===⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，P X X . ()1212111122⎧⎫⎛⎫⎛⎫∴=≤≤⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭，；，，F x x P X x X x1212121200110110122112<<-⎧⎪⎪=≤<≥-≥-≤<⎨⎪≥≥⎪⎩，或，且或且，且x x x x x x x x3. 设随机过程(){}X t t -∞<<+∞，总共有三条样本曲线()11X t ω=，，()2sin X t t ω=，，()3cos X t t ω=，且()()()12313P P P ωωω===。

试求数学期望()EX t 和相关函数()12X R t t ，。

()()11111sin cos 1sin cos 3333EX t t t t t =⨯+⨯+⨯=++.()()()1212X R t t E X t X t =⎡⎤⎣⎦，121211111sin sin cos cos 333t t t t =⨯⨯+⨯+⨯ ()121211sin sin cos cos 3t t t t =++ ()1211cos 3=+-⎡⎤⎣⎦t t .4. 设随机过程()XtX t e-=，（0t >），其中X 是具有分布密度()f x 的随机变量。

试求()X t 的一维分布密度。

解：()X t 的一维分布函数为：()(){}{}{}1ln ln -⎧⎫=≤=≤=-≤=≥-⎨⎬⎩⎭；Xt F x t P X t x P e x P Xt x P X x t111ln 1ln ⎧⎫⎛⎫=-<-=--⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭P X x F x t t .X 具有分布密度()f x ， ()∴X t 的一维分布密度为：()()11111ln ln ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'==--⋅⋅-=-⎡⎤ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭；；f x t F x t f x f x t xt tx t . P405. 在题4中，假定随机变量X 具有在区间()0T ，中的均匀分布。

试求随机过程的数学期望()EX t 和自相关函数()12X R t t ，。

解：由题意得，随机变量X 的密度函数为()100X x Tf x T⎧<<⎪=⎨⎪⎩，，其它由定义，()()000111TT Xt txtx tx TEX t E e e dx e d tx e T Tt Tt----⎡⎤==⋅=--=-⎣⎦⎰⎰()()1111Tt Tt e e Tt Tt--=--=-. （0t >） ()()()()12121212X t t Xt Xt X R t t E X t X t E e e E e -+--⎡⎤⎡⎤==⋅=⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ()()()()1212120012111TT x t t x t t e dx e d x t t T T t t T-+-+=⋅=-⋅-+⎡⎤⎣⎦+⎰⎰ ()()()()121201212111x t t T t t T e e T t t T t t -+-+⎡⎤=-=--⎣⎦++()()121211T t t e T t t -+⎡⎤=-⎣⎦+.9. 给定随机过程(){}X t t -∞<<+∞，。

对于任意一个数x ，定义另一个随机过程()()()10X t x Y t X t x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，，试证：()Y t 的数学期望和相关函数分别为随机过程()X t 的一维分布和二维分布函数（两个自变量都取x ）。

证明：设()1f x t ，和()21212f x x t t ，；，分别为()X t 的一维和二维概率函数，则()()()()()()111xY m t E Y t y t f x t dx f x t dx F x t +∞-∞-∞====⎡⎤⎣⎦⎰⎰，，，.()()()()1212122121212Y R t t E Y t Y t y y f x x t t dx dx +∞+∞-∞-∞==⎡⎤⎣⎦⎰⎰，，；，()()12212121221212x x f x x t t dx dx F x x t t -∞-∞==⎰⎰，；，，；，.若考虑到对任意的t T ∈，()Y t 是离散型随机变量，则有()()(){}(){}(){}()11100Y m t E Y t P Y t P Y t P X t x F x t ==⋅=+⋅==≤=⎡⎤⎣⎦，. ()()()1212Y R t t E Y t Y t =⎡⎤⎣⎦，()(){}()(){}121211111010P Y t Y t P Y t Y t =⨯⨯==+⨯⨯==，， ()(){}()(){}121201010000P Y t Y t P Y t Y t +⨯⨯==+⨯⨯==，， ()(){}()112221212P X t x X t x F x x t t =≤≤=，，；，.因此，()Y t 的数学期望和相关函数分别为随机过程()X t 的一维分布和二维分布函数。

P4114. 设随机过程()X t X Yt =+，t -∞<<+∞，而随机矢量()X Y τ，的协方差阵为2122σγγσ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，试求()X t 的协方差函数。

解：依定义，利用数学期望的性质可得()12X C t t ，()()()(){}1122X Y X Y E X Yt m m t X Yt m m t =+-++-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()()(){}1122X Y X Y E X m Yt m t X m Yt m t =-+--+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()2X X X Y E X m X m E X m t Y m =--+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()()()112Y X Y Y E t Y m X m E t t Y m Y m +--+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦2112XX XY YX YY C t C t C t t C =+++()22112122t t t t σγσ=+++.15. 设随机过程()2X t X Yt Zt =++，t -∞<<+∞，其中X ，Y ，Z 是相互独立的随机变量，各自的数学期望为零，方差为1。

试求()X t 的协方差函数。

解：()()()()(){}121122X X X C t t E X t m t X t m t =--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()()(){}222211112222X Y Z X Y Z E X Yt Zt m m t m t X Yt Zt m m t m t ⎡⎤⎡⎤=++-++++-++⎣⎦⎣⎦……………………… ①X ，Y ，Z 的数学期望均为0，即0X m =，0Y m =，0Z m =，将其代入①式，得：()()()22121122X C t t E X Yt Zt X Yt Zt ⎡⎤=++++⎣⎦，()222222222221121211212E X XYt XZt XYt Y t t YZt t XZt YZt t Z t t =++++++++()()()222222222121212121212E X XY t t XZ t t Y t t YZ t t t t Z t t ⎡⎤=++++++++⎣⎦ ………… ②()()()22D X E X E X =-，()()()222101E X D X E X ∴=+=+=.同理，()21E Y =，()21E Z =.X ，Y ，Z 相互独立， ()()()0E XY E X E Y ∴==.同理，()0E XZ =，()0E YZ =. 将上述结果代入②式，得()12X C t t ，()()()()()()()()()222222222121212121212E X t t E XY t t E XZ t t E Y t t t t E YZ t t E Z =++++++++2212121t t t t =++.。