2 10
2 8
2 6
4 4
4 4
2、有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学，按下条 件，各有多少种不同的分法？ （1）每人各得两本； （2）甲得一本，乙得两本，丙得三本； （3）一人一本，一人两本，一人三本； （4）甲得四本，乙得一本，丙得一本； （5）一人四本，另两人各一本·
(1) (2) (3) 2 2 C6C4 1 2 C6C5 2 C2 3 C3 3 A3 (4) (5)
3 3 3 9 3 6
种．
3 ⑤先分3件为一堆有 C9 种方法，然后6件平均分配应有
3 2 2 2 C C C C C C C 9 6 4 2 1260 种． 种方法，故共有 3 A3 A
2 6
2 4 3 3
2 2
三：部分均分有分配对象的问题 例3 .12支笔按3：3：2：2：2再任意分给A、B、 C、D、E五个人有多少种不同的分法？
3 4 5 3 C 12 C 9 C 5 A 3 (2) C 3 C 4 C 5 9 5 12 5 5 2 (3) C 12 C 10 C 5 5 5 1 2 (4) A 3 C 12 C 10 C 5
12! 8! 4!· 8! 4!· 4!
1 3!
5775
• 练习1：把10人平均分成两组，再从每组中
选出正、副组长各一人，共有多少种选法?
解：分两步，先分组，再分别在每一组中选正、副 组长． 5 5 C10 C5 分组有 种方法， 2 A2
每组中选正、副组长都有 A 种方法． 由分步计数原理共有
5 5 C10 C5 2 2 A A 种． 5 5 50400 2 A2
2 5
二：均分有分配对象的问题
例2：6本不同的书按2∶2∶2平均分给甲、乙、 丙三个人，有多少种不同的分法？
方法：先分再排法。分成的组数看成元素的个数·
（1）均分的三组看成是三个元素在三个位置上 作排列
2 C6 2 2 C4 C2 3 A3 3 A3 2 2 2 C6 C4 C2
• 练习：9件不同的玩具，按下列分配方案 各有几种分法?
2.(不平均分组公式）
引伸：不平均分配问题：一般来说，把n个不同元素 分成k组，每组分别有 m1 , m2 , m3 m个 k ， 且 m1, m2 m互不相等，且 k 则不同分法为
m1 m2 mk n,
C
m1 n
C
m2 n m1
C
m3 n ( m1 m2 )
• 练习 9件不同的玩具，按下列分配方案各有几种分法?
• • ④平均分成三堆，有多少种分法? ⑤分为2、2、2、3四堆，有多少种分法?
解：④设分三堆有x 种方法，因堆与堆之间没有差异， 而人却有差异，在第③问中，先分三堆再三人去拿． 故有
x A C C 1680 x 280
C
mk mk
mk mk
种．
如果 m1 , m2 mk 中有且仅有i个相等,则不同的分法为：
C C
m1 n
m2 n m1
C
m3 n ( m1 m2 ) i i
C
A
种．
知识探究
一：均分无分配对象的问题
例1：12本不同的书 （1）按4∶4∶4平均分成三堆有多少种不同的分法？ （2）按2∶2∶2∶6分成四堆有多少种不同的分法？ 4 4 4 C C C 8 4 12 (1) 3 A3 2 6 2 2 C C C C 8 10 6 12 (2) 3 A3
方法：（1）先分再排法。分成的组数看成元素的个数· （2）均分的五组看成是五个元素在五个位置上 作排列 2 3 2 2 3 C 12C 9 C 6 C 4 C 2 3 2 A3 A2 5 A5
四：部分均分无分配对象的问题 例4 六本不同的书分成3组一组4本其余各1本有 多少种分法
C64C21C11 A22
①甲得2件，乙得3件，丙得4件，有多少种分法? ②一人得2件，一人得3件，一人得4件，有多少种分法? ③每人3件，有多少种分法? ④平均分成三堆，有多少种分法? ⑤分为2、2、2、3四堆，有多少种分法?
• 练习： 9件不同的玩具，按下列分配方案各有几种
分法? • ①甲得2件，乙得3件，丙得4件，有多少种分法? 解：①以人为主考虑，三个人去取玩具，据分步计数 原理求解． 2 第1步先由甲从9件不同的玩具中选2件有 C9 种．
解：②三个人中哪个得2件、哪个得3件、哪个得4件没 有确定，故这三个数字可以在甲、乙、丙中进行排列， 3 故应在第1问的前提下再进行一步排列，有 A3 种．
2 3 4 3 故由分步计数原理有 C9 C7 C4 A3 7560 种．
③每人3件，即各人分得数相同，不需排列．则有
3 3 3 C9 C6 C3 3 种． A 3 1680 3 A3
3 种． 第2步由乙从剩下的7件中选3件有 C7
4 种． 第3步余下4件全给丙有 C4
由分步计数原理得
3 4 C92 C7 C4 1260 种．
• 练习： 9件不同的玩具，按下列分配方案各有几种
分法? • ②一人得2件，一人得3件，一人得4件，有多少种分 法? • ③每人3件，有多少种分法?
五、非均分组无分配对象问题
例5 6本不同的书按1∶2∶3分成三堆有多少种不同 的分法？
C61C52C33
注意：非均分问题无分配对象只要按比例分完再用 乘法原理作积
六、非均分组分配对象确定问题
例6 六本不同的书按1∶2∶3分给甲、乙、丙 三个人有多少种不同的分法？
C61C52C33
七、非均分组分配对象不固定问题
例7 六本不同的书分给3人，1人1本，1人2本,1人3本 有多少种分法。
C61C52C33 A33
练习1
1：10本不同的书 （1）按2∶2∶2∶4分成四堆有多少种不同的分法？
（2）按2∶2∶2∶4分给甲、乙、丙、丁四个人有多
少种不同的分法？
(1) ( 2)
C CCC 3 A3 C CCC
2 10 2 8 2 6
排列组合中的分组 分配问题
1.(平均分组公式）
一般地平均分成n堆(组)，必须除以n!，如若部 分平均分成m堆(组)，必须再除以m!，即平均分组问 题，一般地来说，km个不同的元素分成k组，每组m个， 则不同的分法有
C C
m km
m ( k 1) m k k
Cm mA Nhomakorabea种．
故平均分配要除以分组数的全排列．
4 C6
1 A3
1 C2 4 C6
1 C1
1 2 3 C6 C5 C3
1 C2
1 C1
3、12本不同的书分给甲、乙、丙三人按下列条件， 各有多少 种不同的分法？ （1）一人三本，一人四本，一人五本； （2）甲三本，乙四本，丙五本； （3）甲两本，乙、丙各五本； （4）一人两本，另两人各五本·
(1)