例如音乐信号各频率分量的振幅乘以相同的常数
三．函数的对称性与傅里叶级数的关系
第 24
页
偶函数 奇函数 奇谐函数 偶谐函数
注：指交流分量
第
1．偶函数
25
页
f (t)
信号波形相对于纵轴是对称的
E
f (t) f (t)
T1 2
T1 T1
a 2 f (t) cos n t d t
第3章 傅里叶变换
引言
第 2
页
从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里 叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基 础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析 （频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函 数或复指数函数的组合。
频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号 内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的 密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调 制和频分复用等重要概念。
an cn cosn dn sinn
bn cn sin n dn cosn
a
tg n
nb n
b
tg n n a n
第
幅度频率特性和相位频率特性
15
页
周期信号可分解为直流，基波（1）和各次谐波 （n1 : 基波角频率的整数倍）的线性组合。
cn ~ 1关系曲线称为幅度频谱图； n ~ 1关系曲线称为相位频谱图。
n
T T1
1
12
an
4 T1
T1
2 0
f (t) cos n1t d t
2 T1
b 2 f (t) sin n t d t
n
T T1
1
12
bn 0
傅里叶级数中不含正弦项，只含直流项和余弦项。
Fn为实函数。
f (t) E
T1 2
T1 2
a0
1 T1
T1
2 T1
2
f (t)dt
1
1T g( g 1
●
一个重要思想：对于LTI系统,
不同的信号分解方法引出不同的
第 3
系统分析方法。
页
例如信号的冲激分解, 引出系统的卷积分析方法：
e(t)
e( ) (t ) d
rzs (t) e(t) h(t)
e( )h(t ) d
● 本章将对连续信号作傅里叶分解，从而引出系统的频域分析方 法，即傅里叶分析法。为此，讨论下图的问题。
i
rzs (t) xi H (si ) esit ( t )
i
● 本章令 s=jω，将信号 e(t) 分解成复指数函数的特例，即虚指
数函数，则LTI系统的 rzs(t) 可用虚指数函数的线性组合表示
e(t) xi ejωit ( t )
i
rzs (t) xi H (jωi ) e jωit ( t )
i
● 这就是信号与系统频域分析的基本思想。
● 本章，通过信号与系统的频域分析，将引出许多重要概念。
第
傅里叶生平
5 页
• 1768年生于法国
• 1807年提出“任何周 期信号都可用正弦函 数级数表示”
• 1822年首次发表“热 的分析理论”
傅立叶的两个最主要的贡献——
第 6
页
• “周期信号都可表示为成谐波关系的正 弦信号的加权和” ——傅里叶的第一个主要论点
T1
2 T1
f (t) d t
=0
2
T
2
T
0
t
2
an
2 T1
T1
2 T1
f (t) cos
2
n1t
dt 0
E 2
bn
2 T1
T1
21 T1
f
(t ) sin
2
n1t
dt 4
T1
T1
2 0
f (t)sin n1t d t
傅里叶级数中无余弦分量，Fn为虚函数。
f (t)
T
2
T
0
t0T1 f (t)dt
t0
一般周期信号都满足这些条件。
周期信号的另一种三角函数正交集表示
第 13
页
余弦形式 或
正弦形式
f (t) c0 cn cos(n1t n ) n1
f (t) d0 dn sin(n1t n ) n1
比较几种系数的关系
第 14
页
a c d
0
0
0
cn dn an2 bn2
当n 1,3,5L 时 当n 2, 4, 6L 时
an bn 0
an
4 T1
T1
2 0
f (t) cosn1t d t
bn
4 T1
T1
2 0
f (t)sin n1t d t
§3.3 典型周期信号的傅里叶级数
第 32 页
● 将周期信号作FS展开, 目的在于了解它的频率 特性， 即它由那些指数（正弦）频率分量组成, 各 分量振幅的相对大小, 以及各分量初相的相对关系。 显然, 这些信息都在指数、余弦形式的FS之中。
n 1, 2,L
第
双边频谱图
19
页
幅度频谱 Fn ~ 1曲线
相位频谱 n ~ 1曲线
第 20 页
● 若指数傅里叶系数 Fn 是实数，则其幅度谱和相位谱 可以合画。
第
● 相位谱，二者同一个函数，无任何问题。
21
页
n ~ 1 曲线
n ~ 1曲线
● 幅度谱，二者直流振幅相同 ，谐波有别（2倍关系）；
第 34
页
先求指数傅里叶系数 Fn ，进而得到Cn以及余弦FS。
Fn
1 T
/2 / 2
Ee jnω1t
dt
E T
e jnω1t jnω1
/2 / 2
E jnω1T
e e jnω1 / 2
jnω1 / 2
E jn2 π
e e jnω1 / 2
jnω1 / 2
E nπ
§3.2 周期信号的傅里叶级数分析
主要内容
第 10
页
•三角函数形式的傅氏级数 • 指数形式的傅氏级数 •函数的对称性与傅里叶级数的关系 •傅里叶有限级数与最小均方误差
一．三角函数形式的傅里叶级数
第 11
页
周期信号
f t
, 周期为 T
, 基波角频率为
2 ，频率f
1
1
1
1
T
T
在满足狄利克雷条件时可展成
rzs (t) h(t) e(t)
h( )es(t )d
est h( )es d
令 H (s) h(t)est d t 则
rzs (t) H (s) est ( t )
【讨论】
● 若激励为 es0t , 则零状态响应
rzs (t) H (s0 ) es0t ( t )
说明：
周期信号可分解为 , 区间上的指数信号ejn1t
的线性组合。
两种系数之间的关系
第 18
页
F0 c0 d0 a0
Fn
Fn
e jn
1 2
an
jbn
Fn
Fn
e jn
1 2
an jbn
Fn
Fn
1 2
cn
1 2
dn
1 2
an2 bn2
Fn Fn cn
j(Fn Fn ) bn
cn2 dn2 an2 bn2 4Fn Fn
• “非周期信号都可用正弦信号的加权 积分表示”
——傅里叶的第二个主要论点
第 7 页
• 时域分析中，将任意信号分解成冲激函数 的加权积分；
• 变换域分析中，将任意信号分解成虚指数 函数的加权积分；
• 将任意信号表示为不同频率正弦分量的线 性组合称为信号的频谱分析；
• 用频谱分析的观点来分析系统称为系统的 频域分析法或傅里叶变换分析法。
2
E 2
f
(t)
E
(sin 1t
1 2
sin
21t
1 3
sin
31t
....)
第 28 页
t
第
3．奇谐函数
29
页
若波形沿时间轴平移半个周
f (t)
期并相对于该轴上下反转， L
此时波形并不发生变化：
T
f
(t)
f
t
T1 2
L
OT T
t
2
f(t)的傅氏级数偶次谐波为零，即
a0 0
n 2, 4,6L 时 n 1,3,5L 时
an bn 0
an
4 T1
T1
2 0
f (t) cos n1t d t
bn
4 T1
T1
2 0
f (t)sin n1t d t
第
4．偶谐函数
30
页
波形移动 T1 与原波形重合，
f (t)
2
称为偶谐函数。
L
f
(t)
f
t
T1 2
T1 T1 O
T1
2
2
L
T1 t
f(t)的傅氏级数奇次谐波为零，只有偶次谐波分量
第 22
这相当于将第 k次谐波振幅的幅度减半，分给正负频率分量。 页
cn ~ 1 曲线
Fn ~ 1曲线
第 23 页
• 用指数FS和余弦FS两种级数描述同一个信号频谱， 频率特性完全一致吗？回答是肯定的！因为振幅 和初相的相对比例关系不变。
• 其实，工程上关心的幅度谱，主要不是各次谐波 振幅的绝对大小，而是各次谐波振幅的相对比例 关系，以便确定信号的有效带宽。从而确定处理 信号的系统带宽，以满足信号的基本无失真传输。 故，cn和Fn二者均可。