11．2．2 一次函数同步辅导基础知识归纳1．一次函数的定义一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫作一次函数．2．一次函数y=kx+b的图像特征（1）是经过（0，b）的一条直线，称它为直线y=kx+b．（2）增减性：①当k>0时，y随x的增大而增大；②当k<0时，y随x的增大而减小．3．一次函数y=kx+b（k≠0）的结构特征①k≠0；②x的次数为1；③常数项b为任意实数．重点知识讲解1．一次函数y=kx+b与正比例函数y=kx的关系（1）关系式之间的关系：对于y=kx+b，当b=0时，即为y=kx，也就是说，•正比例函数是一次函数的一种特殊情况．（2）图像之间的关系：直线y=kx+b可以看作由直线y=kx沿y轴平移│b│个单位得到的：①当b>0时，向上平移；②当b<0时，向下平移．2．直线y=kx+b的位置与k，b的关系（1）当k>0，b>0时，经过一、二、三象限；（2）当k>0，b<0时，经过一、三、四象限；（3）当k<0，b>0时，经过一、二、四象限；（4）当k<0，b<0时，经过二、三、四象限．经验与方法技巧1．画一次函数y=kx+b的图像的方法（1）只需确定两个点的坐标，过此两点作直线即可．（2）利用一次函数与正比例函数的关系，可将直线y=kx沿y轴平移得到直线y=kx+b． 2．取两点作直线y=kx+b的技巧（1）一般取（0，b），（-bk，0）两点．（2）为了计算和描点方便，可以取满足关系式且坐标为整数值的点．3．确定一次函数关系式的方法确定两个点的坐标，将两点的坐标分别代入y=kx+b，求出k，b的值，关系式也就确定了．4．画一次函数的图像时应注意的问题（1）不能忽略自变量的取值范围，特别是在实际的问题中，•自变量的取值范围决定了图像的形状（直线、射线、线段）．（2）若图像为射线、线段时，注意端点是实点还是虚点．典型例题例1已知一次函数y=-3x+2的图像与y轴交于点A，•另一个一次函数的图像经过点A和点B（2，-2），求这个一次函数的表达式．解析设这个一次函数的表达式为y=kx+b，因点A在y轴上，故其横坐标为0，把x=0代入y=-3x+2，得y=2，∴点A的坐标为（0，2）．把0,2,xy=⎧⎨=⎩2,2,xy=⎧⎨=-⎩分别代入y=kx+b，得2,22,bk b=⎧⎨-=+⎩解得2,2.kb=-⎧⎨=⎩∴这个一次函数的表达式为y=-2x+2．评注确定一次函数的解析式时，关键是确定其图像上的两个点的坐标．例2已知点B（4，2）在y=2x+b的图像上，试判断点C（5，3）是否在此图像上．解析把x=4，y=2代入y=2x+b，得2=8+b，b=-6．∴函数的解析式为y=2x-6．当x=5时，y=10-6=4≠3，∴点C（5，3）不在此图像上．评注要确定点C是否在图像上，只要看其坐标是否满足函数关系式，•在本题中关系不确定，因而确定关系式是首先要解决的问题．学科内综合题例1 写出等腰三角形的顶角度数y与底角度数x之间的函数关系式，并求自变量x 的取值范围．解析由等腰三角形的性质和三角形的内角和可得y=180°-2x，因为x是等腰三角形的底角，所以只能是锐角，所以x的取值范围应是0°<x<90°．评注对于实际问题，自变量的取值不仅要使函数的表达式有意义，还必须使实际问题有意义．例2已知一次函数y=mx+│m+1│的图像与y轴交于点（0，3），且y随x的增大而增大，求m的值．解析∵图像与y轴交于点（0，3）．∴3=│m+1│，m+1=±3，m=2或-4．由y随x的增大而增大可知m>0，故m=2．评注 m的值必须满足题目中所有的限制条件．例3一次函数y=kx+b，当-3≤x≤1时，对应的函数值1≤y≤9，求k+b的值．解析由于k的正负不确定，故其增减性有两种可能．∵当-3≤x≤1时，1≤y≤9，∴①当x=-3时，y=1，当x=1时y=9；或②当x=-3时，y=9，当x=1时y=1．将3,1,xy=-⎧⎨=⎩1,9,xy=⎧⎨=⎩代入y=kx+b，得13,9,k bk b=-+⎧⎨=+⎩可得k+b=9．将3,9,xy=-⎧⎨=⎩1,1,xy=⎧⎨=⎩代入y=kx=b，得93,1,k bk b=-+⎧⎨=+⎩可得k+b=1．评注由于k的正负不确定，所以此函数的增减性不确定，故应有两种可能．综合应用题例1由于工作需要，王先生每天须上因特网查询和处理业务，•王先生居住地区的电信部门有两种因特网业务．业务甲：每月须交基本费100元，网终使用费1元/h；业务乙：不收基本费，网络使用费为0．05元/min．两种业务都要收取电话费0．02元/min，每月按30d计算．（1）分别求出甲、乙两种因特网业务的月上网费y（元）与上网时间x（h）之间的函数关系式．（2）如果按王先生平均每天上网1．5h计算，那么他选择哪种业务上网费用少？•如果每天上网2h呢？解析（1）y甲=100+（1+0．02×60）x=100+2．2x．y乙=（0．05×60+0．02×60）x=4．2x．（2）若每天上网1．5h，则每月上网时间为（1．5×30）h．若选甲种业务，每月上网费y甲=1．5×30×2．2+100=199（元）若选乙种业务，每月上网费y乙=4．2×1．5×30=189（元）∴y甲>y乙，故选乙种业务上网费用少．若每天上网2h，则每月上网时间为（2×30）h．若选甲种业务，月上网费y甲=100+2×30×2．2=232（元）．若选乙种业务，月上网费y乙=4．2×2×30=252（元）．∴y甲<y乙，故选甲种业务上网费用少．评注运用一次函数解决日常生活中的实际问题时，•关键要根据已知列出关系式．此题已知中的时间单位有分、小时，而所求是一个月的上网费用，•注意时间上的统一．例2一农民带上若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，•他带了一些零用钱备用．按市场价售出一部分土豆后，又降价出售，•售出的土豆千克数与他手中持有的钱数（含备用零钱）的关系，如图所示．结合图像回答下列问题：（1）农民自带的零钱是多少？（2）试求降价前y与x之间的关系式．（3）由表达式你能求出降价前每千克的土豆价格是多少吗？（4）降价后，他按每千克0．4元将剩余土豆售完，这时他手中的钱（含备用零钱）是26元，试问：他一共带了多少土豆？解析（1）由图像可看出农民自带5元零钱．（2）设y=kx+5，把x=30，y=20代入，得20=30k+5，解得k=12，∴y=12x+5．（3）由表达式可看出，降价前每千克的土豆价格是12元．（4）由图像可看出，降价后共卖（a-30）kg土豆，共得26-20=6（元）．∴0．4（a-30）=6，解得a=45．所以他一共带了45kg土豆．评注结合图像，•运用一次函数解决生活的问题时要注意识图得到一些有效的数据，分析其内在的数量关系．例3东风商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元，该商场为促销制定了两种优惠方案．甲方案：买一支毛笔就赠送一本书法练习本；乙方案：按购买金额打九折付款．某校欲为校书法小组购买这种毛笔10支，书法练习本x（x≥10）本．（1）分别写出两种优惠方法实际付款金额y甲（元），y乙（元）与x（本）•之间的函数关系式．（2）如果商场允许可以任意选择一种优惠方案购买，也可以同时用两种方案购买，请你就购这种毛笔10支和书法练习本60本设计一种最省钱的购买方案．解析（1）y甲=25×10+5（x-10）=250+5x-50=5x+200．y乙=（25×10+5x）×910=225+4．5x．（2）当x=60时，y甲=5×60+200=500，y乙=225+4．5×60=495．所以若选择一种优惠方法购买，乙种方法省钱．当同时选用两种方法购买时，设用甲种方法购买m支毛笔，获赠m本书法练习本；•则用乙种方法只需购买（10-m）支毛笔，（60-m）本练习本．实付款金额y=25m+[25（10-m）+5（60-m）]×910=495-2m（m≤10）．∵m≤10，∴当m=10时，y有最小值，y最小值=495-20=475<495．∴用甲种方法购买10支毛笔，用乙种方法购买50本练习本最省钱．评注根据已知提供的数量关系列出函数关系式．在（2）题中，•若选择用两种方法购买，应付的金额用关系式表达出来后要考虑y的最小值，这取决于自变量m的取值范围．创新题例1（开放题）一个函数的图像过点（1，2），且y随x的增大而增大，则这个函数的表达式是__________．（任写一个）解析因y随x的增大而增大，故k>0．设一次函数的表达式为y=kx+b，把x=1，y=2代入得2=k+b．给k任取一个正值，就可确定相应的b值，故答案不唯一．当k=1时，b=1，则关系式为y=x+1；当k=12时，b=32，则关系式为y=12x+32……评注要确定函数的解析式，先从已知点的坐标确定关于k，b的关系式，•再结合函数的性质任意指定一个k值（k>0），最后确定b的值．例2（分类讨论题）一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是-3≤x≤6，相应的函数值的取值范围是-5≤y≤-2，求这个函数的表达式．解析若x=-3时，y=-5，则x=6时，y=-2，∴53,26,k b k b -=-+⎧⎨-=+⎩ 解得1,34.k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴关系式为y=13x-4， 若x=-3时，y=-2，则x=6时，y=-5．∴23,56,k b k b -=-+⎧⎨-=+⎩ 解得1,33.k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴关系式为y=-13x-3． 评注 要确定函数的表达式，从已知条件出发，应分两种情况讨论．中考题例1 （2004年西宁卷）我国很多城市水资源缺乏，为了加强居民的节水意识，•某市制定了每月每户用水4t 以内（包括4t ）和用水4t 以上两种收费标准（收费标准：每吨水的价格）．某用户每月应交水费y （元）是用水量x （t ）的函数，其函数图像如图所示．（1）观察图像，求出函数在不同范围内的解析式．（2）说出自来水公司在这两个用水量范围内的收费标准． （3）若某用户某月交水费12．8元，求他用了多少吨水．解析 （1）当0≤x ≤4时，设y=k 1x ，把点（4，4．8）代入，得4．8=4k 1，k 1=1．2． ∴y=1．2x ．当x>4时，设y=k 2x+b ，把点（4，4．8），（6，8）分别代入，得224.84,86,k b k b =+⎧⎨=+⎩ 解得2 1.6,1.6,k b =⎧⎨=-⎩∴y=1．6x-16．（2）当0≤x ≤4时，每吨水1．2元；当x>4时，每吨水1．6元． （3）把y=12．8代入y=1．6x-1．6， 得12．8=1．6x-1．6，x=9．评注 识图与一次函数的实际应用相结合是本题的特点，要注意自变量x 的范围取值不同，对应的关系式也不同．例2 （2004年辽宁卷）4×100m 接力赛是学校运动会最精彩的项目之一．图中的实线和虚线分别是初三（1）班、初三（2）•班代表队在比赛时运动员所跑的路程y （m ）与所用时间x （s ）的函数图像（假设每台运动员跑步速度不变，交接棒时间忽略不计）．（1）初三（2）班跑得最快的是第______接力棒的运动员． （2）发令后经过多长时间两班运动员第一次并列？解析 （1）初三（2）班跑得最快的是第一接力棒的运动员． （2）方法一 由题意得，（1）班第三棒运动员的运动图像经过（28，200），（40，300），设其解析式为y=k 1x+b 1；（2）班第三棒运动员的运动图像经过（25，200），（41，300），设其解析式为y=k 2x+b 2，则1111200,40300,k b k b +=⎧⎨+=⎩222225200,41300,k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得1125,3100,3k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 2225,4175,4k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴y 1=253x-1003，y=254x+1754． ∵y 1=y 2，∴253x-1003=254x+1754，解得x=37．方法二 观察分析图像知，（1）班第三棒运动员的速度为3002004025--＝253（m/s ），（2）班第三棒运动员的速度为3002004125--＝254（m/s ），（2）班的第三棒运动员比（1）班第三棒运动员早出发3s ．设（1）•班第三棒运动员出发x （s ）时追上（2）班运动员，则254（x+3）=253x ，解得x=9，9+28=37（s ）．11．2．2 一次函数同步练习［要点再现］ 1．一般地，形如 ( ) 的函数，叫做一次函数.当0=b 时，得=y ，所以说 是一种特殊的一次函数。