河西区高三年级疫情期间居家学习学情调查数学试卷参考答案及评分标准一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分. AAB DCD DBB二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. （10）3 （11）47 （12）32π （13）32 （14）207 1 （15）31 949-三、解答题：本大题共5小题，共75分. （16）（本小题满分14分） （Ⅰ）解：由正弦定理CcB b A a sin sin sin ==，C a B b C c A a sin 2sin sin sin =-+， 得ac b c a 2222=-+，…………2分由余弦定理22222cos 222==-+=ac ac ac b c a B ， 在△ABC 中，π0<<B ， 所以4π=B . …………4分（Ⅱ）（ⅰ）解：由正弦定理CcB b A a sin sin sin ==， 所以322232sin 32sin =⨯==B A .…………8分（ⅱ）解：由b a 23=，可得b a <，故有B A <，所以A 为锐角， 故由32sin =A ，可得37cos =A ， 所以9142cos sin 22sin ==A A A ， 951cos 22cos 2=-=A A ，…………12分所以1825744sin 2cos 4cos2sin )2sin(+=+=+πA πA B A . …………14分（17）（本小题满分15分）由题意，四边形ABCD 是菱形，E 为AB 的中点，︒=∠60DAB ，所以AB DE ⊥， 又⊥ND 平面ABCD ，可以建立以D 为原点，分别以，DC ，DN 的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得)013(,,A -，)013(,,B ，)020(,,C ，)000(,,D ，)003(,,E ，)113(,,M -，)100(,,N ，…………2分（Ⅰ）证明：由题意，)110(-=,,，)133(--=,,，设)(z y x ,,n =为平面MEC 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00MC ME n n ，即⎩⎨⎧=-+-=-0330z y x z y ，不妨令1=y ，可得)1132(,,n =，又)113(--=,,NA ，可得0=⋅n ，又因为直线⊄NA 平面MEC ，所以NA ∥平面MEC .…………5分（Ⅱ）解：)120(-=,,MB ，由（Ⅰ）知平面MEC 的一个法向量)1132(,,n =，因此有106cos ==， 所以直线MB 与平面MEC 所成角的正弦值为106. …………10分（Ⅲ）解：设)13(h P ,,-，[]10,h ∈，)023(,,-=EC ，)10(h EP ,,-=，设)(z y x ,,m =为平面PEC 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00EC EP m m ，即⎩⎨⎧=+-=+-0230y x hz y ，不妨令h y 3=，可得)332(,,m h h =，…………12分yAM P又)100(,,=DN 是平面DEC 的法向量，所以23cos ==， 解得77=h ，所以线段AP 的长为77. …………15分（18）（本小题满分15分）（Ⅰ）解：Θ椭圆的右焦点F 的坐标为)01(,，1=∴c ，Θ离心率22=e ，22=∴a c ，2=a ， 由222c b a +=，解得1=b∴椭圆的方程为1222=+y x .…………5分（Ⅱ）（ⅰ）证明：设直线PQ 的方程为m kx y +=（0≠k ），)(11y ,x P ,)(22y ,x Q ,与椭圆方程联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+mkx y y x 1222，整理得：0)1(24)12(222=-+++m kmx x k由韦达定理：124221+-=+k kmx x ，12)1(22221+-=⋅k m x x ， 1222221+-=+=∴k km x x x C ，代入m kx y +=得：122+=k my C 即C 点的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛++-1212222k m ,k km，…………7分线段PQ 的垂直平分线AB 的方程为⎪⎭⎫⎝⎛++-=+-12211222k m k x k k m y ，令0=y ，得⎪⎭⎫⎝⎛+-0122,k km A ，令0=x ，得⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1202k m ,B ，…………8分2C B A x x x +=Θ，2CB A y y y +=， ∴A 为BC 的中点.…………10分（ⅱ）解：由（ⅰ）知A 为BC 的中点，53)1(222=-===∴∆∆∆∆A A ABF ABO BCF ABO x x AF AO S S S S ， 116=∴A x ，…………12分 QF PF ⊥Θ，0)1)(1(2121=+--∴y y x x ，由m kx y +=11，m kx y +=22，整理得：0=4+1-32km m ，即mm k 4312-=，又116122=+-=k km x A Θ，经计算得：32=m ，…………13分Θ点P 、Q 为椭圆上位于第一象限的两个动点，0>∴m ，即3=m ，代入m m k 4312-=，解得332-=k ， ∴直线PQ 的方程为3332+-=x y .…………15分（19）（本小题满分15分）（Ⅰ）解：设等比数列{}n a 的公比为q .由1321,2,a a a ==+可得220q q --=. 因为0q >，可得2q =，故12n n a -=.…………2分设等差数列{}n b 的公差为d ，由435a b b =+，可得13 4.b d +=由5462a b b =+， 可得131316,b d += 从而11,1,b d == 故.n b n =所以，数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，数列{}n b 的通项公式为.n b n = …………5分（Ⅱ）解：()()111++=+n n nn a a a c ()()12112112122111+-+=++=---nn n n n ， …………7分所以n T 12112112112112112112110+-++++-+++-+=-n n Λ 12121+-=n.…………10分（Ⅲ）解：依题意，得∑∑21=21==nni i i i d ∑=-ni i12()ini i 2⋅1++∑1=，()1-21-21=2+2=22+12=∑n n n n i ni ，()2221212211-=--=+=∑n nni i，…………12分设()n n n n n M 2122423221321⋅++⋅++⋅+⋅+⋅=-Λ，①()132********+⋅++⋅++⋅+⋅=n n n n n M ΛΛΛΛ，②由①-②得：()132212224+⋅+-++++=-n n n n M Λ12+⋅-=n n ，所以()==2⋅1+∑1=n ini M i 12+⋅n n ，所以()2+2⋅3-4+2=1-1-221=∑n n i in dn.…………15分（20）（本小题满分16分）（Ⅰ）解：当1=a 时，x x x f 2ln )(-=，则()2-1=xx 'f ，0>x ， 2)1(-=∴f ，1)1(-=∴'f ，∴函数函数)(x f 的图象在1=x 处的切线方程为)1()2(--=--x y ，即01=++y x ．…………5分（Ⅱ）解：不等式1)(≤x f ，即12ln ≤-ax x ，0>x Θ，xx a 1ln 2-≥∴恒成立， 令x x x h 1ln )(-=（0>x ），则2ln 2)(xx x 'h -=，…………7分当2e 0<<x 时，0)(>x 'h ，)(x h 单调递增，当2e >x 时，0)(<x 'h ，)(x h 单调递减，∴当2e =x 时，)(x h 取得极大值，也为最大值，故22max e 1)(e )(==h x h ， 由2e 12≥a ，得2e 21≥a ，∴实数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞212,e ．…………10分（Ⅲ）证明：由x ax x x x f x g ln 22121)()(22+-=+=，得x ax x a x x x 'g 1221)(2+-=-+=，①当11≤≤-a 时，)(x g 单调递增无极值点，不符合题意；②当1>a 或1-<a 时，令0)(=x 'g ，设0122=+-ax x 的两根为0x 和'x ，0x Θ为函数)(x g 的极大值点，'x x <<∴00，由10='x x ，020>=+a 'x x ，可知1>a ，100<<x ，又由021)(000=-+=a x x x 'g ，得0221x x a +=， …………12分1ln 2212ln 1)(00030030002000++--=++-=++x x xx x x x x ax x f x Θ，100<<x ，令1ln 22)(3++--=x x x x x u ，)10(,x ∈，则x x x 'u ln 2123)(2++-=，令x x x v ln 2123)(2++-= ，)10(,x ∈，则 x x x x x 'v 23-1=1+-=3)(， 当330<<x 时，0)(>x 'v ，当133<<x 时，0)(<x 'v ，033ln )33()(max <==∴v x v ，0)(<∴x 'u ，)(x u ∴在)10(,上单调递减，0)1()(=>∴u x u ， 01)(2000>++∴ax x f x ．…………16分。