"表示法仔臥几何型标)1 I在几何学中的丽1 正弦、余弦定理药丽

二、详细知识要点讲解； 重点知识回顾 1. 向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量 ,有二个要素： • _________________ 4 4 2. 向量的表示方法：①用有向线段表示；②

用字母 a、b等表示；③平面向量的坐标表

、，一 、、 4 - 示：分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 i、j作为基底。任作一个向量 a，由平

-H 4 面向量基本定理知，有且只有一对实数 x、y，使得a二xi • yj，(x, y)叫做向量a的(直

角)坐标，记作a = (x, y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标， 特 别地，‘=(1,0)，j =(0,1)，0=(0,0)。 a=Jx2+]2 ；若 A(x1,y1)，B(X2,y2)， 则 AB =仪2 -为』2 - y1 ，

AB = (X2=xj2—( yzPyj2

3. 零向量、单位向量：①长度为 的向量叫零向量，记为 0 ；②长度为 _________ 个单位长 —* 度的向量，叫单位向量•(注：就是单位向量) |a|

4. 平行向量：①方向 __________ 的向量叫平行向量；②我们规定 _______ 与任一向量平行• ,4 扌 彳十一 ，，4 扌 4 _ _ _ 十一亠耳一 「「亠冃

:知识框架图; 平面向量 趴洪线向量的充宴翔 向量的in.猱法1 1向量的怅度*夹角

“实数与向St的积1 」两个向量平行的充套条件

向盘的数量积1―* 两个向量垂直的充要务件

卩线段的定比分点 1瞪翅证宙

向 在執理学中的应用 向量a、b、c平行，记作a // b // c .共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量 . 5. ______________ 相等向量： __ 相等且 相同的向量叫相等向量• 6 .向量的基本运算 (1) 向量的加减运算 几何运算：向量的加减法按平行四边行法则或三角形法则进行。 坐标运算：设 a =(x i,yi), b =(x 2,y 2)贝V a+b= ____________ ， a- b= _________ 。

(2) 平面向量的数量积 ：a *b= _______________ 。

设 a =(x i,yi), b =(x 2,y 2)贝U a « b= ___________ 。 f 'f (3) 两个向量平行的充要条件 」// :二一：=入「

( b不是零向量)

若 _：=(xi,y”， .■ =(x2,y 2)，贝U 一： //-：「；‘ r r r (4) .两个非零向量垂直的充要条件是 &丄

DUd • D _。

‘r f f 设 -■ =(xi,y 1), .■ =(x2,y 2)，贝U 一：丄一：

.向量的加法、减法： ① 求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。 ②向

量的减法向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。即：a -b =玄+ (-b)

；

差向量的意义： 0A= a , OB = b ,贝U BA = a_ b

一 4 叩 彳啤 ③ 平面向量的坐标运算：若 a =(为，yj , b =(X2, y2)，则a b = (xi x2, yi y?), 呻 d _ a _ b —(Xi - x?, yi _ y2) , .‘“a = (/-x^■- y)。

④ 向量加法的交换律:a + b = b + a ；向量加法的结合律：(a+b) + c= a+ (b + c) 7. 实数与向量的积：实数 入与向量a的积是一个向量，记作： 入a (i) I入a|=|入||a|；( 2)入＞0时入a与a方向相同；入＜0时入a与a方向相反；入=0时入

a = 0 ； (3)运算定律 入(0)= ______ a ,(入 + 卩)3= ______ ,入(a + b )= __________

。 (X <0) 8. 向量共线定理 向量b与非零向量a共线(也是平行)的充要条件是：有且只有 个非零实数入，使b = _____ a。 9. 平面向量基本定理：如果 e , e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平

面内的任一向量 a，有且只有一对实数 入1,入2使a =入ie+入2e2。 （1）不共线向量G、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； （2）基底不惟一，关键是不共线； （3）由定理可将 任一向量a在给出基底e、曳的条件下进行分解（4）基底给定时，分解形式惟一 .入1,入2

是被a , e , e2唯一确定的数量。 10. 向量a和b的数量积：① a • b= ___________ 其中二€ [0, n ]为a和b的夹角。② |b|cos^称为b在a的方向上的投影。③ a • b的几何意义是：b的长度|b|在a的方向上的 投影的 ________ ，是一个实数（可正、可负、也可是零） ，而不是向量。

④ 若 a = ( x1, % ) , b= (x2, y2),则 a ・b 二 x1x2 - y1 y2

⑤ 运算律： a • b=b • a,( 入 a) • b=a •(入 b)=入 __________ (a+b) • c=________ a ■ b ⑥ a和b的夹角公式： cosB = ^ ,4,= d ------------------

11. 两向量平行、垂直的充要条件 设a = （ x1, y1） , b = （ x2 , y2 ）

f f Hf 呻 ① a丄b：= a • b=0 , a _ b= a =x1 x2 + % y2 =0;

② a//b （ a丰0 ）充要条件是：有且只有一个非零实数 入，使b =入a。 —F- —F a//b 二細2-乂2屮=0

向量的平行与垂直的坐标运算注意区别，在解题时容易混淆。

三：难点、易错点； 1、 理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。 2、 掌握向量的加法和减法。 3、 掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。 4、 了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

a • b | w | a | • | b | 5、掌握平面向量的数量积及其几何意义。 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度, 角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。 四：考点举例及配套课堂练习（例题讲解） (一)基础知识训练 1. 下列命题正确的是

(A)单位向量都相等 (B)任一向量与它的相反向量不相等

(C)平行向量不一定是共线向量 (D)模为0的向量与任意向量共线

2. 已知正六边形 ABCDEF中，若AB = a， FA =• b，则BC =() 1 1 1 (A) —(a-b) (B)—(a b) (C) a-b (D) — a b 2 2 2

3. 已知向量0 =0, ■ • R，a =0 • • e2,b =2e“若向量a与b共线，则下列关系一定成 立是 () (A)，= 0 (B) e2 = 0 (C) e1 // e ( D) e1 // e2或，=0

4. 若向量a =(—1,x), B = (—x,2)共线且方向相同， x= ___________ 。 5. 设 0 ・：：v ::: 2二，已知两个向量 OR = cosr , sinr , OP2 = (2 +sin日,2 —cos日)，则向量 丽 长度的最大值是( )

A.、2 B.、3 C3 2 D. 2 3

(二).典例分析 例1： (1 )设a与b为非零向量，下列命题: ①若a与b平行，则a与b向量的方向相同或相反;

错解：(1)有学生认为①②③④全正确，答案为 4;也有学生认为①或④是错的，答案为 2 或3; (2) A或B或Co 分析：学生对向量基础知识理解不正确、 与实数有关性质运算相混淆， 致使选择错误。

第(1)小题中，正确的应该是①④，答案为 2。共线向量(a与b共线)的充要条件 中所存在的常数■可看作为向量b作伸缩变换成为另一个向量 a所作的伸缩量；若a, b为 非零向量，则共线的 a与b满足a与b同向时：=|：|乂，：与b反向时:一 。

I冋

b1

第(2)小题中，正确答案为(D)。学生的错误多为与实数运算相混淆所致。选择支 D 同时要求学

②若 AB =a,CD =b, a与b共线，则A、B c、D四点必在一条直线上;

③ 若a与b共线，则卜勺莘+片；④若a与b反向，则a 其中正确命题的个数有 (A) 1 个 (B) 2 个 (2)下列结论正确的是 (A)期=目补(B) a

(C) 3 个 (D) 4 个

( 卄叶*彳 f T

(0 若(a_b)c -(也a)b = 0

(D)若a与b都是非零向量，则 a — b

的充要条件为

a b1