第五章 平面向量题型57 平面向量的概念及线性运算❖ 知识点摘要：1. 向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量，一般用c b a ,,来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如AB （其中A 为起点，B 为终点）。

2. 向量的大小：又叫向量的模，也就是向量的长度，记作||a 或||AB 。

3. 零向量：长度为0的向量，记作0，其方向是不确定的。

我们规定零向量与任何向量a 共线（平行），即a ∥0。

4. 单位向量：模长为1个单位的向量叫做单位向量。

当≠||a 0时，很明显||a a±是与向量a 共线（平行）的单位向量。

5. 相等向量：大小相等，方向相同的向量，记为b a =。

6. 相反向量：大小相等，方向相反的向量，向量a 的相反向量记为a -。

7. 共线向量（平行向量）：方向相同或方向相反的向量，叫做平行向量，也叫做共线向量，因为任何平行向量经过平移后，总可以移到同一条直线上。

一、向量的线性运算 1. 向量的加法：1.1. 求两个向量和的运算叫做向量的加法。

已知向量b a ,，在平面内任取一点A ，作b BC a AB ==,，则向量AC 叫做向量a 和b 的和（或和向量），即AC BC AB b a =+=+。

1.2. 向量加法的几何意义：向量的加法符合三角形法则和平行四边形法则，如图：1.3. 若向量b a ,不共线，加法的三角形法则和平行四边形法则都适用；当向量b a ,共线时，只能用三角形法则。

1.4. 三角形法则可推广至若干个向量的和，如图：2. 向量的减法：2.1. 向量a 与b 的相反向量之和叫做向量a 与b 的差或差向量，即)(b a b a -+=-。

2.2. 向量减法的几何意义：向量的减法符合三角形法则，同起点，指向被减数，如图：3. 向量的数乘运算：3.1. 实数λ与向量a 的积是一个向量，记为a λ，其长度与方向规定如下： ①||||||a a λλ=②当0＞λ时，a λ与a 的方向相同；当0＜λ时，a λ与a 的方向相反；当0=λ时，0=a λ，方向不确定。

3.2. 向量数乘运算的运算律:设μλ，为实数，则 ①a a a μλμλ+=+)(； ②a a )()(λμμλ=； ③b a b a λλλ+=+)(。

二、重要定理和性质1. 共线向量基本定理：如果)(R b a ∈=λλ，则b a ∥；反之，如果b a ∥且0≠b 时，一定存在唯一实数λ，使b a λ=。

2. 三点共线定理：平面内三点A,B,C 共线的充要条件是，存在实数μλ，，使OC OB OA μλ+=,其中1=+μλ，O 为平面内任一点。

即A,B,C 三点共线⇔OC OB OA μλ+=（1=+μλ）❖ 典型例题精讲精练： 57.1平面向量相关概念1. 给出下列命题：①若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ―→＝DC ―→是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；其中正确命题的序号是________．[答案] ①②2. 给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；③λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中错误的命题的个数为( )D A ．0 B ．1 C ．2 D ．33. 设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0，假命题的个数是( )D A ．0 B ．1C ．2D ．357.2.平面向量线性运算4. (2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB ―→＝( )AA.34AB ―→－14AC ―→B.14AB ―→－34AC ―→C.34AB ―→＋14AC ―→D.14AB ―→＋34AC ―→5. 如图，在直角梯形ABCD 中，DC ―→＝14AB ―→，BE ―→＝2EC ―→， 且AE ―→＝r AB ―→＋s AD ―→，则2r ＋3s ＝( )CA ．1B ．2C ．3D ．46. 设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ―→＝3CD ―→，则( )AA ．AD ―→＝－13AB ―→＋43AC ―→B ．AD ―→＝13AB ―→－43AC ―→C ．AD ―→＝43AB ―→＋13AC ―→D ．AD ―→＝43AB ―→－13AC ―→7. (2019·太原模拟)在正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC ―→＝λAM ―→＋μAN ―→，则实数λ＋μ＝________.答案：4357.3.共线向量定理的应用8. 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3a －3b ，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 同向．【答案】k ＝1.9. 在四边形ABCD 中，AB ―→＝a ＋2b ，BC ―→＝－4a －b ，CD ―→＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( )CA ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．以上都不对10. 已知向量e 1≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，若向量a 与向量b 共线，则( )DA ．λ＝0B ．e 2＝0C ．e 1∥e 2D ．e 1∥e 2或λ＝011. 已知O 为△ABC 内一点，且AO ―→＝12(OB ―→＋OC ―→)，AD ―→＝t AC ―→，若B ，O ，D 三点共线，则t ＝( )BA.14B.13C.12D.2312. 已知O ，A ，B 三点不共线，P 为该平面内一点，且OP ―→＝OA ―→＋AB―→|AB ―→|，则( )DA ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的延长线上C ．点P 在线段AB 的反向延长线上D ．点P 在射线AB 上题型58 平面向量基本定理及向量的坐标表示❖ 知识点摘要：➢ 平面向量基本定理：1.如果21,e e 是同一平面内不共线的两个向量，那么对于该平面内的任一向量a ，都存在唯一的一对实数21λλ，，使得2211e e a λλ+=。

2.基底：我们把不共线的向量21,e e 叫做表示该平面内所有向量的一组基底，记为{21,e e }。

2211e e λλ+叫做向量a 关于基底{21,e e }的分解式。

3.平面向量基本定理又叫做平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量坐标表示的基础。

➢ 线段定比分点的向量表达：如图，在△ABC 中，若点D 是边BC 上的点，且)1(-≠=λλDC BD ，则向量λλ++=1ACAB AD 。

➢ 中线向量定理：如图，在△ABC 中，若点D 是边BC 的中点，则中线向量)(21AC AB AD +=。

➢ 已知),(11y x A ，),(22y x B 坐标，那么向量),(1212y y x x AB --= ➢ 平面向量坐标运算：设),(),,(2211y x b y x a ==则： 1.加法：),(2121y y x x b a ++=+； 2.减法：),(2121y y x x b a --=-； 3.数乘：)()(1111y x y x a λλλλ，，==； 4.模长：2121||y x a +=，2222||y x b +=。

❖ 典型例题精讲精练：58.1.平面向量基本定理及其应用1. 如图，以向量OA ―→＝a ，OB ―→＝b 为邻边作平行四边形OADB ，BM ―→＝13BC ―→，CN ―→＝13CD ―→，用a ，b 表示OM ―→，ON ―→，MN ―→.【答案】OM ―→＝16a ＋56b ；ON ―→＝OC ―→＋13CD ―→；MN ―→＝12a －16b .2. 在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC ，若AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，则P Q―→＝( )AA.13a ＋13b B ．－13a ＋13bC.13a －13bD ．－13a －13b3. 已知在△ABC 中，点O 满足OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0，点P 是OC 上异于端点的任意一点，且OP ―→＝m OA―→＋n OB ―→，则m ＋n 的取值范围是________．答案：(－2,0) 58.2.平面向量坐标运算4. 已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ―→＝a ，BC ―→＝b ，CA ―→＝c ，且CM ―→＝3c ，CN ―→＝－2b ，(1)求3a ＋b －3c ；(2)求M ，N 的坐标及向量MN ―→的坐标．【答案】(6，－42)；M (0,20)；N (9,2)；MN ―→＝(9，－18)。

5. 已知O 为坐标原点，向量OA ―→＝(2,3)，OB ―→＝(4，－1)，且AP ―→＝3PB ―→，则|OP ―→|＝________.答案：7258.3.平面向量共线的坐标表示 6. 已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB ―→＝2a ＋3b ，BC ―→＝a ＋m b ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． 【答案】k ＝－12；m ＝32.7. 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，若(k a ＋b )∥(a －3b )，则实数k 的取值为( )AA ．－13 B.13C ．－3D ．38. (2019·唐山模拟)已知在平面直角坐标系xOy 中，P (3,1)，P (－1,3)，P ，P ，P 三点共线且向量OP ―→与向量a ＝(1，－1)共线，若OP 3―→＝λOP 1―→＋(1－λ)OP 2―→，则λ＝( )D A ．－3 B ．3C ．1D ．－19. 在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．【答案：】(2,4)题型59 平面向量基本定理及向量的坐标表示➢ 向量的夹角：已知两个非零向量b a ,，记b OB a OA ==,，则）（πθθ≤≤=∠0AOB 叫做向量a 与b的夹角，记为><b a ,，],0[,π>∈<b a 。

➢ 向量的数量积：><b a b a ,cos ||||叫做向量a 与b 的数量积（或内积）。