则 BB1 平行于 X 轴，同理可证（4）
1 1 2 性质 9： FA FB p
证明：过 A 点作 AR 垂直 X 轴于点 R，过 B 点作 BS 垂直 X 轴于点 S，
设准线与 x 轴交点为 E, 因为直线L的倾斜角为
则 ER EF FR P AF cos AF
性质 1： AB x1 x2 p
p p AB AF BF ( x1 ) ( x 2 ) x1 x 2 p 2 2
性质 2：若直线 L 的倾斜角为 ， 则弦长
2p AB sin 2
证明: (1)若

2
时,直线 L 的斜率不存在，此时 AB 为抛物线的通径,
（1）证：因为 k oA
y1 y1 y2 2 y2 2p ，而 y1 y2 p 2 2 , k oB1 p x1 y1 p y1 2 2p
所以 k oA
2 y2 2p k oB1 所以三点共线。同理可证（2） 2 p p y2
p y1 2p p 2 y1 y2 （3）证： 直线OA : y ， yB1 x x 令x y2 2 x1 y1 y1 y1
1 1 AB CD 1 1 1 2 2p 2 p 2 2 p 2k 2 k
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
性质 5： (1)
p y1 y2 p (2) x1x2= 4
2
2
p y p 证：设直线 L 的方程为： y k ( x ) 即 x 2 k 2 2p 2 y p2 0 代入抛物线方程得 y k 2p 2 由韦达定理 y1 y2 p , y1 y2 , k
抛物线焦点弦经典性质10条
焦点弦
通过焦点的直线，与抛物线相交
y
A ( x1 , y1 )
F
于两点，连接这两点的线段叫做
抛物线的焦点弦。
O
B ( x 2 , y2 )
x
2 y 过抛物线 2 px (p>0)的焦点 F 作一条直线 L
和此抛物线相交于 A ( x1 , y1 ) 、B ( x2 , y2 ) 两点
2 2 p 2 得x 2 -p( 2 1)x 0 设A(x1,y1 ),B(x 2 ,y2 ) 则x1 x 2 p 2 1 k 4 k

2 则 AB x1 x2 p p 2 2 ，同理 CD x3 x4 p p 2k 2 2 k
2 OAB
3
1 1 S OAB S OBF S 0 AF OF BF sin OF AF sin 2 2 1 1 1 p 2p p2 OF AF BF sin OF AB sin 2 sin 2 2 2 2 sin 2 sin 2 3 S P OAB AB 8
y
∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜ ＝｜AD｜＋｜BC｜ =2｜EH｜
所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且 EH⊥l，因而圆E和准线l相切．
C H D E F A
B O
x
性质 7：连接 A1F、B1 F 则 A1F B1F
证明： AA 1 AF ,AA 1F AFA 1
AA1 / /OF AA1F A1FO A1FO A1FA
AB 2 p 结论得证
(2)若

2
时, k tan
k 0
p y p 设直线 L 的方程为： y k ( x ) 即 x 2 k 2 2p 2 y p2 0 代入抛物线方程得 y k
2p 1 由韦达定理 y1 y2 p , y1 y2 , y1 y2 2 p 1 2 k k
同理 B1 FO B1 FB A1 FB1 90
A1F B1 F
性质 8：(1). A、 O、B1 三点共线 (2).B，O，A1 三点共线 (3).设直线 AO 与抛物线的准线的交点为 B1，则 BB1 平行于 X 轴 (4).设直线 BO 与抛物线的准线的交点为 A1，则 AA1 平行于 X 轴
2
1 1 2p 由弦长公式得 AB 1 2 y1 y2 2 p(1 ) 2 2 k tan sin
性质3： 过焦点的弦中通径长最小
2p 2p 证明： sin 1 2 sin
2
AB 的最小值为 2 p ,即过焦点的弦长中通径长最短.
性质 4：
S p (定值) AB 8
P AF 1 cos
1 1 cos AF P 1 1 2 FA FB p
1 1 cos 同理可得 BF P
1 1 1 性质 10：过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦 AB、CD，则 AB CD 2 p
p 证明： 当 时，设直线 L的方程为y k x - 将其代入方程 y 2 2px 2 2
y1 y2 ( y1 y 2 ) 2 P 2 x1 , x2 , x1 x2 2 2p 2p 4 4P
2
2
性质6：以焦点弦AB为直径的圆和抛物线的准线相切．
y
分析：运用抛物线的 定义和平面几何知识 来证比较简捷．
C H D E F A
B O
x
证明：如图，设AB的中点为E，过A，E，B分别向准 线l引垂线AD，EH，BC，垂足分别为D，H，C， 则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜