有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线px y 22=(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点结论1：p x x AB ++=21p x x px p x BF AF AB ++=+++=+=2121)2()2( 结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin 2pAB =证: (1)若2πθ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2(2)若2πθ≠时,设直线L 的方程为：θtan )2(p x y -=即2cot py x +⋅=θ 代入抛物线方程得0cot 222=-⋅-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-=由弦长公式得θθθ22212sin 2)cot 1(2cot1pp y y AB =+=-+= 结论3： 过焦点的弦中通径长最小p p2sin 21sin 22≥∴≤θθ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(832为定值p AB S oAB =∆()8sin 2sin sin 2221sin 21sin 21sin 21sin 2132220P AB S p p p AB OF BF AF OF AF OF BF OF S S S OAB AF OBF OAB =∴=⋅⋅⋅=⋅⋅=+⋅=⋅⋅+⋅⋅=+=∆∆∆∆θθθθθϑθ结论5： (1) 221p y y -= (2) x 1x 2=42p证44)(,2,22222121222211P Py y x x p y x p y x ==∴== 结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1， 过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 222111AB BFAF BB AA MM =+=+=故结论得证结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1FFA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论8：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）BF AF FM ⋅=21（4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆 （5）2121214M M B M AM =+证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 111FB A ∆为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点111111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA ︒=∠+∠∴90111FM A AFA∴M 1F ⊥ABBF AF F M ⋅=∴21 AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴ 又B AM︒=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，22121AB B M AM =+()()()2121211242MM MM BB AABFAF ==+=+=结论9： （1）、A O 、B 1 三点共线 （2）B ，O ，A 1 三点共线（3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴证：因为p y p y k y p p y y x y k oB oA 2212111122,221-=-====，而221p y y -=所以122222oB oA k p y y ppk =-=-=所以三点共线。

同理可征（2）（3）（4） 结论10：pFB FA 211=+ 证：过A 点作AR 垂直X 轴于点R ，过B 点作BS 垂直X 轴于点S ，设准线与x 轴交点为E,θ的倾斜角为因为直线L 则θθcos 1cos -=∴=+=+=PAF AF AF P FR EF ER P AF θcos 11-=∴ 同理可得P BF θcos 11+= ∴pFB FA 211=+ 结论11：证:AA B B EA E B A A FA B B BF FABF EA E B AA EF BB 1111111111,////=∴===∴EB B EA A EB B 90111111∠∠∴∆∆∴︒=∠=∠＝相似于EA A E BB E AAPEQEF BEF AEF 90EB B BEF EA A AEF 11∠∠∠∴︒∠∠∠∠平分角即＝＝＋＝＋0K K X BE AE BEAE BFAF BE AE ＝＋轴对称关于和直线直线∴=∴(4) 90AEB FB EF AF 2︒∠∴=＝＝＝时，当πθ2px y 2p -x k y L 2 2=⎪⎭⎫⎝⎛=≠将其代入方程的方程为时，设直线当πθ ()k2k p x x )y ,B(x ),y ,A(x 04p k 2)x p(k -x k 2221221122222+=+=++则设得 x 1x 2=4p 2假设122y 1K K BE AE 2211BE AE -=+⋅+∴⋅⊥p x y p x ＝－则AE BE AF AE(1)PEQ (2)(3) K K 0BF BE(4) AE BE , AE BE22EF ππθθ∠=+==⊥≠线段平分角当时当时不垂直于p21|CD |1|AB |1=+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2p x 2p x -2p -x k 2p -x k 2p x 2p x -y y 21212121即()()()()()()()222222222212122121k 2p 01k 4p 1k x x 2p x x 1k k k k p -+=+∴=++-+-+∴结论得证假设错误不可能∴∴∴=-∴02结论12：过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦AB 、CD ，则推广与深化：深化 1：性质5中，把弦AB 过焦点改为AB 过对称轴上一点E （a,0），则有pa 2y y 21-=．证：设AB 方程为my=x-a ，代入px 2y 2=．得：0ap 2pmy 2y 2=--，∴pa 2y y 21-=．深化2： 性质12中的条件改为焦点弦AB 不垂直于x 轴，AB 的中垂线交x 轴于点R ，则21|AB ||FR |=证明：设AB 的倾斜角为a ，直线AB 的方程为：)2px (tga y -=， 代入px 2y 2=得：px 2)4p px x (a tg 222=+-，即：04p )a pctg 2p (x x 222=++-．由性质1得a sin p2a pctg 2p 2p x x |AB |2221=+=++=，又设AB 的中点为M ，则|a cos a pctg ||a cos 2p2x x ||FM |221=-+=， ∴a sin p |a cos a pctg ||a cos ||FM ||FE |222===， ∴21|AB ||FR |=．深化3：过抛物线的焦点F 作n 条弦n n 2211B A B A B A ⋯、、，且它们等分周角2π，则有（1）∑=⋅n1i i i |FB ||F A |1为定值； （2）∑=n1i i i |B A |1为定值．证明：（1）设抛物线方程为aFx A ,cos 1p1=∠θ-=．由题意π-+=∠⋯π+=∠π+=∠n 1n a Fx A n 2a Fx A ,n a Fx A n 32，所以222211p a sin p a cos 1p )a cos(1p a cos 1|FB ||F A |1=-=+π-⋅-=⋅， 同理22n n 2222p )n 1n a (sin |FB ||F A |1,,p )n a (sin |FB ||F A |1π-+=⋅⋯π+=⋅易知2n )n 1n a (sin )n 2a (sin )n a (sin a sin 2222=π-++⋯+π+π++， ∴222n1i 2222i i p 2n p )n 1n a (sin p )n a (sin p a sin |FB ||F A |1=π-++⋯+π++=⋅∑=．（2）∵a sin p2a cos 1p 2)a cos(1p a cos 1p |B A |2211=-=+π-+-=，∴p 2)n 1n a (sin |B A |1,,p 2a sin |B A |12n n 211π-+=⋯=，∴p 4n p 2)n 1n a (sin p 2)n a (sin p 2a sin |B A |12n1i 22i i =π-++⋯+π++=∑=．。