线性代数（慕课版）
第三章 向量与向量空间
第二讲 向量组的线性关系(1)
主讲教师 |
本讲内容
01 向量组的线性组合 02 向量组的等价 03 线性组合的经济学应用举例 04 向量组线性相关性的定义
一、向量组的线性组合
定义3.3
对于向量，1，
，
2
， m，如果存在一组数k1，k2，
，km，使得
k11 k22 kmm
3
一、向量组的线性组合
例1 证明：任意n 维向量可由其基本单位向量组唯一线性表示。
1
0
0
a1
证
设e1
0
，e2
1，
，en
0，
a2
0
0
1
an
由 k1e1 k2e2
knen得
a1 1 0
a2
k1
0
k2
1
an
0
0
0 k1
kn
0
k2
1
kn
a1 k1，a2 k2， ，an kn
定义3.5
设有n
维向量组1，
，
2
，m，如果存在不全为零的数k1，k2，
，km，
使得 k11+k22 kmm 0
①
当且仅当k1 k2 km 0 时，① 式成立，
则称向量组1，
，
2
， m
线性无关.
注 (1) 线性无关等价定义
任意一组不全为零的数k1, k2 , , km , 使k11 k22 kmm 0 成立.
系数行列式 2 3 1 3 2 8 12 4 1 0
1 1 1
故方程组有非零解，
即存在不全为零的k1，k2，k3，使得k11 k22 k3 0 成立，
故1，2，3线性相关.
14
四、向量组线性相关性的定义
例6 设向量组1，2，3线性无关，1 1 2，2 2 3，3 3 1， 讨论向量组1，2，3 的相关性.
证 A 1 n ，C 1 n ，
b11 b1n
则 1
n
1
n
bn1 bnn
1
b111
bn1n， 2
b121
bn
2
，
n
， n
bn11
bnn n
从而C 的列向量组可由A 的列向量组线性表示；
A CB1，说明A 的列向量组可由C 的列向量组线性表示.
7
二、向量组的等价
例3 设A, B,C 均为n 阶方阵，若AB C，且B 可逆，则 (A) 矩阵C的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 (B) 矩阵C的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 (C) 矩阵C的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 (D) 矩阵C的列向量组与矩阵B 的列向量组等价
(2) 含有零向量的向量组线性相关；
不妨设i 0，011 0 i1 1i 0 i1 0m 0
12
四、向量组线性相关性的定义
(3) 基本单位向量组线性无关.
1
0
0
e1
0，e2
1，
，en
0，
0
0
1
1 0 0
k1
0
k2
1
kn
0
0
0 0 1
k1 0
k2
0
kn
0
k1 0 k2 0
解 设k11 k22 k33 0 即 (k1 k3 )1 (k1 k2 )2 (k2 k3 )3 0
由1,2 ,3线性无关得
k1 k3 0 k1 k2 0 k2 k3 0
b11 b1n
解
A 1
n ，C 1
n ，则 1
n
1
n
bn1 bnn
1
b111
bn1n， 2
b121
bn2
，
n
， n
bn11
bnn n
从而C 的列向量组可由A 的列向量组线性表示；
A CB1，说明A 的列向量组可由C 的列向量组线性表示.
B
8
本讲内容
01 向量组的线性组合 02 向量组的等价 03 线性组合的经济学应用举例 04 向量组线性相关性的定义
三、线性组合的经济学应用举例
在经济学中，需要将某个量，比如成本，分解成几部分时，常常需要用到线性组合的概念.
例4 某公司生产两种产品A 和B. 设生产价值1 万元的产品A 需要原料成本0.3 万元，人 工成本0.25 万元，设备成本0.1 万元，管理成本0.15 万元；生产价值1 万元的产品 B 需要原料成本0.25 万元，人工成本0.35 万元，设备成本0.1 万元，管理成本0.1 万元 . 现要生产价值x1 万元的产品A 和价值x2 万元的产品B ，试用向量表示总成本.
kn 0
当且仅当k1 k2 km 0 时，
k11+k22 kmm 0
故基本单位向量组线性无关.
13
四、向量组线性相关性的定义
例5 讨论1 (1, 2, 1),2 (2, 3,1),3 (4,1, 1)的相关性.
解 设k11 k22 k33 0
124
则得
k1 2k2 4k3 0 2k1 3k2 k3 0 k1 k2 k3 0
解 产品A单位成本 (0.3,0.25,0.1,0.15)T，
产品B单位成本 (0.25,0.35,0.1,0.1)T，
则需要的总成本为 x1 +x2.
10
本讲内容
01 向量组的线性组合 02 向量组的等价 03 线性组合的经济学应用举例 04 向量组线性相关性的定义
四、向量组线性相关性的定义
成立，则称
是1，
，
2
， m
的线性组合，或称
可由1，
，
2
， m
线性表示.
注意 (1) 零向量可由任一向量组线性表示. (2) 向量组中任一向量均可由该向量组线性表示.
(3) 任一向量均可由其基本单位向量组唯一线性表示.
基本单位向量组：e1 (1, 0, , 0), e2 (0,1, , 0), , en (0, 0, ,1)
是AX B有解，其中A 1,2, ,n ，B 1, 2, , n .
定理3.3
行向量组1T
,
T 2
,
, sT
可由向量组1T
,
T 2
,
,
T m
线性表示的
充要条件是XA B 有解，其中A 1,2, ,n ，B 1, 2, , n .
6
二、向量组的等价
例2 设A, B,C 均为n 阶方阵，若AB C，且B 可逆，证明矩阵C 的列向量组 与矩阵A 的列向量组等价.
即 a1e1 a2e2 anen
4
本讲内容
01 向量组的线性组合 02 向量组的等价 03 线性组合的经济学应用举例 04 向量组线性相关性的定义
二、向量组的等价
定义3.4 两个向量组能够相互线性表示，则称这两个向量组等价. 性质 (1)自反性；(2) 对称性；(3) 可由向量组1,2 , ,m 线性表示的充要条件