第六章 样本及抽样分布【内容提要】一、简单随机样本与统计量1. 总体 用来表征某一随机试验的数量指标X ，其概率分布称为总体的分布。

2. 简单随机样本 在相同条件下，对总体X 进行n 次独立的重复观察，将所得结果12,,...,n X X X 称为从总体X 中抽取的容量为n 的简单随机样本，试验结束后，可得一组数值12,,...,n x x x ，称其为12,,...,n X X X 的观察值。

注:若12,,...,n X X X 为总体X 的简单随机样本，则12,,...,n X X X 相互独立，且与总体X 同分布。

3. 统计量 设12,,...,n X X X 为总体X 的简单随机样本，12(,,...,)n T g X X X =为样本12,,...,n X X X 的实值函数，且不含任何未知参数，则称12(,,...,)n T g X X X =为一个统计量，将样本值12,,...,n x x x 代入后算出的函数值12(,,...,)n t g x x x =称为该统计量的值。

注:设12,,...,n X X X 为总体X 的简单随机样本，12,,...,n x x x 为相应的样本值，则常用的统计量有:4. 经验分布函数 设12,,...,n X X X 为总体X 的简单随机样本，12,,...,n x x x 为相应的样本值，将样本值按由小到大的顺序重新编号12,1r x x x r n ***<<⋅⋅⋅<≤≤，并设12,,...,n x x x 中取到k x *的频数为k m ，其中10k k k r m n m n ≤≤≤≤=∑且，则称1110,(),,111,k k i n k k i k x x r x x m m F x x x x k r n nx x ****+≤≤≤*⎧<⎪⎪==≤<≤≤-⎨⎪⎪≥⎩∑∑若若其中若为总体X 的经验分布函数(或样本分布函数)。

注:设(),()n F x F x 为总体X 的概率分布函数与经验分布函数，则x R ∀∈，有:()lim ()()01n n P F x F x →∞-==，即只要n 充分大，则()()n F x F x 与只有微小的差别。

二、抽样分布1.2χ-分布:设12,,...,n X X X 为总体(0,1)X N :的简单随机样本，则称221nk k X χ==∑服从自由度为n的2χ-分布，记为2221()nk k X n χχ==∑:。

【定理】设随机变量22(),()n m ξχηχ::，且二者相互独立，则⑴.ξ的密度函数为:2122,0()2(2)0,0n x n x e x f x n x --⎧>⎪=Γ⎨⎪≤⎩若若；⑵.2χ-分布的再生性:2()m n ξηχ++:； ⑶.2χ-分布的数字特征:(),()2E n D n ξξ==； ⑷.2χ-分布的临界值:()()221()()Pn P n ααξχξχα-<=>=.(查表)2. t -分布:设随机变量2(0,1),()X N Y n χ::，且二者相互独立，则称随机变量t =服从自由度为n 的t -分布，记为()t t n :。

【定理】设随机变量()t n ξ:，则2()()n y f x χ-=分布的密度函数⑴.ξ的密度函数为:2(1)2()),(,)n f x x x -+=+∈-∞+∞；⑵.t -分布的极限分布:n →+∞时，(0,1)Nξ:，即22lim ()(),(,)x n f x x x ϕ-→∞==∈-∞+∞； ⑶.t -分布的数字特征:若2n >，则()0,()(2)E D n n ξξ==-； ⑷.t -分布的临界值:()()()()P t n P t n ααξξα<=>-=.(查表)3. F -分布:设随机变量22(),()X m Y n χχ::，且二者相互独立，则称随机变量X mF Y n=服从自由度为(,)m n 的F -分布，记为(,)F F m n :。

【定理】设随机变量(,)F m n ξ:，则⑴.ξ的密度函数为:()21()2()2,0()(2)(2)()0,0m n m m n m n m n x x f x m n mx n x -+Γ+⎧⋅>⎪=ΓΓ+⎨⎪≤⎩若若；⑵.F -分布的倒数不变性:1(,)F n m ξ-:；⑶.F -分布的数字特征:若4n >，则222(2)(),()2(2)(4)n n m n E D n m n n ξξ+-==---； ⑷.F -分布的临界值:()()(,)1(,)P F m n P F n m ααξξα<=>=.(查表)(0,1)()()()N y x t n y f x ϕ=-=虚线：分布的密度函数实线：分布的密度函数三、正态总体的统计量的分布 1．单个正态总体的情形设12,,...,n X X X 为正态总体2(,)X N μσ:的简单随机样本，令2222111111,(),()1k k k k n k n k nX X S X X X n n n χμ≤≤≤≤≤≤==-=--∑∑∑，则 ⑴(0,1)X N :； ⑵.222()n n χχσ:；⑶. 2X S 与相互独立，且222(1)(1)n S n χσ--:； ⑷(1)X t n -:。

2．两个正态总体的情形设112,,...,n X X X 为总体211(,)X N μσ:的简单随机样本，212,,...,n Y Y Y 为总体222(,)Y N μσ:的简单随机样本，且两个样本之间相互独立，令1212222212111112121111,,(),()11k k k k k n k n k n k n X X Y Y S X X S Y Y n n n n ≤≤≤≤≤≤≤≤===-=---∑∑∑∑，1222221122111211(),(),k k w k n k n X Y S n n χμχμ≤≤≤≤=-=-=∑∑ ⑴)(0,1)X Y N :； ⑵.2211122222(,)F n n χσχσ:；(,)()F m n y f x -=分布的密度函数⑶.2211122222(1,1)S F n n S σσ--:； ⑷.若2212σσ=12)(2)X Y t n n +-:。

【第六章作业】一、填空题1、设12,,...,,...n X X X 独立同分布，且有有限的期望()k E X μ=与方差2()0k D X σ=>，则n 充分大时，近似地有211(,)n k k X X N n n μσ==∑:，即(0,1)X N :，特别当12,,...,,...n X X X 独立同分布于2(,)N μσ时，上述结论还是精确成立的。

2、设12,,...,,...n X X X 独立同分布，且有有限的期望()k E X μ=与方差2()0,1,2,...k D X k σ=>=，则211n k k Y X n ==∑依概率收敛到22()σμ+，即0ε∀>，有22211lim (())1n k n k P X n σμε→∞=-+<=∑。

3、设1234,,,X X X X 是2(0,2)N 的简单随机样本，且2221234()()(2)Y C X X X X χ⎡⎤=++-⎣⎦:，则18C =。

4、设容量为9n =的样本之观察值为8,7,6,9,8,7,5,9,6，则该样本之观察值的样本均值为659x =，样本方差为214081s =。

5、设12,,...,n X X X 是2(,)N μσ的简单随机样本，则211(,)n k k X X N n n μσ==∑:。

二、单项选择题1、设123,,X X X 是母体2(,)N μσ的简单随机样本，其中μ已知，0σ>未知，则下列选项中非统计量的是(C ):A ．123X X X ++；B ．{}123max ,,X X X ；C ．2222123()X X X σ++； D ．1X μ-。

2、设12,,...,n X X X 是母体(1,)B p 的简单随机样本，则下列选项中错误的是(,B D ): A ．当n 充分大时，近似地有(,(1))X N p p p n -:；B ．()(1),0,1,2,...,k k n kn P X k C p p k n -==-=； C ．()(1),0,1,2,...,k k n kn P X k n C p p k n -==-=； D ．()(1),0,1,2,...,k k n ki n P X k C p p k n -==-=。

3、设()X t n :，则 (A ):A ．2(1,)X F n :； B ．2(,1)X F n :； C ．22()X n χ:； D ．2()X t n :。

4、设12,,...,n X X X 是总体2(,)N μσ的简单随机样本，令2211111,()1k k k n k nX X S X X n n ≤≤≤≤==--∑∑，而222222234111111(),(),()1n n n k k k k k k S X X S X S X n n n μμ====-=-=--∑∑∑，则服从(1)t n -的是(C ):A．X t =B．X t = C．X t =； D．X t =5、设1212,,...,,,,...,n n n n m X X X X X X +++是总体2(0,)N σ的容量为()n m +的简单随机样本，则统计量2211()()k n k k nk mV m X n X +≤≤≤≤=∑∑服从的分布是(C ):A ．(,)F m n ；B ．(1,1)F n m --；C ．(,)F n m ；D ．(1,1)F m n --。

三、计算题1、为了研究某种零件的加工工时定额，随机观察了12人次的加工工时，测得如下数据(分钟):9.8,7.8,8.2,10.5,7.5,8.8,10.0,9.4,8.5,9.5,8.4,9.8，试求样本均值、样本方差、样本标准差。

解:2211119.02,()0.8359,0.91431n n k k k k x x s x x s n n ===≈=-≈=≈-∑∑。

2、从一批人中随机抽取10人，测得每个人的身高，得到如下数据 (cm ):173,170,148,160,168,181,151,168,154,177，求该样本观察值的样本分布函数。

解: 该样本观察值的样本分布函数为:3、在总体2(52.6,3)N 中随机抽取一容量为36的样本，求样本均值X 落在50.853.8:之间的概率。