第六章样本与抽样分布§6.1 数理统计的基本概念一．数理统计研究的对象例：有一批灯泡，要从使用寿命这个数量指标来看其质量,设寿命用X表示。

(1)若规定寿命低于1000小时的产品为次品。

此问题是求P(X 1000)=F(10000),求F(x)? (2)从平均寿命、使用时数长短差异来看其质量，即求E(x)?、D(x)?。

要解决二个问题1．试验设计抽样方法。

2．数据处理或统计推断。

方法具有“从局部推断总体”的特点。

二.总体（母体）和个体1.所研究对象的全体称为总体，把组成总体的每一个对象成员（基本单元）称为个体。

说明：(1)对总体我们关心的是研究对象的某一项或某几项数量指标(或属性指标)以及他们在整体中的分布。

所以总体是个体的数量指标的全体。

(2)为研究方便将总体与一个R.V X对应(等同)。

a.总体中不同的数量指标的全体，即是R.V.X的全部取值。

b.R.V X的分布即是总体的分布情况。

例：一批产品是100个灯泡，经测试其寿命是：1000小时1100小时1200小时20个30个50个X 1000 1100 1200P 20/100 30/10050/100(设X表示灯泡的寿命)可知R.V.X的分布律，就是总体寿命的分布，反之亦然。

常称总体X，若R.VX～F(x)，有时也用F(x)表示一个总体。

(3)我们对每一个研究对象可能要观测两个或多个数量指标，则可用多维随机向量（X,Y,Z, …）去描述总体。

2.总体的分类有限总体无限总体三．简单随机样本.1.定义6.1 ：从总体中抽得的一部分个体组成的集合称为子样（样本），取得的个体叫样品，样本中样品的个数称为样本容量（也叫样本量）。

每个样品的测试值叫观察值。

取得子样的过程叫抽样。

样本的双重含义：(1)随机性：用(X1，X2,……X n) n维随机向量表示。

X i表示第i个被抽到的个体，是随机变量。

（i=1,2,…n）(2)确定性：(x1,x2,……x n)表示n个实数，即是每个样品Xi观测值x i(i=1,2,…n)。

2.定义6.2：设总体为X，若X1,X2……X n相互独立且与X同分布，则称（X1,X2 (X)n）为来自总体X的容量为n的简单随机样本（简称样本）。

3.已知总体的分布写出子样的分布(1)已知总体X～F(x),则样品X i～F(x i) i=1,2…n样本（X1,X2…X n）的联合分布为：F(x 1,x 2…x n )=P(X 1≤x 1,X ≤2x 2…X ≤n x n) =∏=ni 1P(X ≤x i) =∏=ni 1F(x i) 若总体X ～f(x ),样品X i ～f(x i ) i=1,2……n样本（X 1,X 2……X n）的联合密度是 ： f(x 1,x 2……x n )=∏=ni 1f(x i)例:总体X ～N(),2σμ，写出该总体样本（X 1,X 2…X n）的 联合密度。

(2)若总体X 是离散型随机变量，一般给出分布律：P(X=x k ) = p k . k=1,2……要写出概率函数f(x )即f(x )=P(X=x k )=i k p i k =1,2….., n i ,...,2,1=例: 总体X ～π(λ)写出该总体样本(X 1,X 2,…X n )的联合概率函数例：总体X ～B(1,p)， 0<p <1写出其样本（X 1,X 2,……X n）的联合概率函数。

四 经验分布函数与直方图1.样本的经验分布函数(1)定义：设(x 1, x 2,…x n )是来自总体X 的一组样本值。

将它们按由小到大排序为：x 1*≤x 2*≤…≤x i *≤…≤x n * 对任意的实数x ，定义函数：F n * (x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=<≤<**+**x x n k x x x nk x x n k k 11,...2,1011 则称F *n (x )为总体X 的经验分布函数。

(2)格列文科定理:设总体X的分布函数、经验分布函数分别为F(x)、F n*(x),则有：P {}0)()(=-*+∞<<∞-∞→XFxFSupLimnxn=1上式表明，当∞→n，概率为1的有F)(x n均匀地趋于F(x)。

2总体的概率密度的估计−直方图（第一版）[p143 例6.3]可以用SAS下的interactive data analysis 模块演示。

五 统计量与样本的数字特征1 定义6.3: 设X 1,X 2,…,X n 是来自总体X 的容量为n 的样本，g(x 1, x 2,…,x n )是定义在R n或R n子集上的普通函数。

如果g 中不含有任何未知量，则称g(X 1,X 2,…,X n )为统计量。

2.常用的统计量（样本的数字特征）定义6.4：设X 1,X 2,…,X n 是来自总体X 的样本，则称∑∆=ni X n X 11 为样本均值()∑--=∆n i X X n S 12211为样本方差,...3,2,1,11==∑=∆K X n M n i Ki K 为样本k 阶原点矩 为样本k 阶中心矩3.重要性质定理6.1：设总体X 不论服从什么分布，只要其二阶矩存在，即E(X)=μ、D(X)=б2都存在，则： (1) E(X )=E(X)=μ(2)D(X )=n 1D(X)=n2σ(3) E(S 2)=D(X)=б2重要恒等式:()21212X n X X X nini-=-∑∑§6.2 抽样分布统计量是样本的函数，它是一个随机变量。

统计量的分布称为抽样分布。

一. 三个重要分布(一)2χ分布1. 定义6.5：设X 1，X 2，…X n 相互独立，均服从N(0,1)，则称随机变量222221...n n X X X χ=+++服从自由度为n的2χ分布，记为()n 2χ，即：)(~22n n χχ。

2.定理3.8：)(2n χ的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧=>⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ≤--0,210 ,0221222),(y n y e y yn n n y χ其中⎰+∞--=Γ01)(dt x e t tx定理的说明见P146页。

3.图形.分布函数图：data Kf;do x=0 to 30 by0.1;y= PROBCHI(x, 8);output;end;run;proc gplot data=kf;plot y*x=1 ;symbol1v=none i=join r=1c=black; run;密度函数图：n=1,5,15data kf;do y=0to20by0.1;z0=(y**(-0.5)*exp(-y/2))/(2**0.5* GAMMA(0.5));z1=(y**(1.5)*exp(-y/2))/(2**2.5* GAMMA(2.5)); z2=(y**(6.5)*exp(-y/2))/(2**7.5* GAMMA(7.5)); output;end;run;proc gplot data =kf;plot z0*y=1 z1*y=1 z2*y=1 /overlay ; symbol1 v =none i =join r =1 c =black; run;求概率：自由度为n=25, P{X<34.382}的概率这样求。

data ;p=PROBCHI(34.382,25); put p=; run ;其它可类推。

4.性质①若)(~22n χχ,则E(2χ)=n ，D(2χ)=2n②若),(~1221n χχ),(~2222n x χ且它们相互独立,则)(~2122221n n ++χχχ③若n X X X ,...,,21相互独立,均服从N (μ,σ2),则~)(11222∑-=niX X μσ)(2n χ④总体X 服从参数为λ的指数分布；X 1,X 2,…,X n 是来自该总体的样本.则:2(~2)(221_nX n niX χλλ∑=(二).t 分布定义6.6:设X ～N (0,1),Y ～χ2(n)且它们相互独立,则称随机变量n Y X T n/=服从自由度为n 的t 分布,记为t(n),即)(~n t T n 。

定理3.9:n T 的概率密度为212)1()2()21(),(+-+Γ+Γ=n n n n n n t T t π -∝<t<+∝性质：(1)t 分布的密度是偶函数,图形为:n=1, 10, 100时data student;do t=-3 to 3 by 0.01;z1=(gamma(1)*(1+t**2)**(-1))/((3.1415926)**0.5*gamma(0.5));z10=(gamma(5.5)*(1+t**2/10)**(-5.5))/((10*3.1415926)**0.5*gamma(5));z100=(gamma(50.5)*(1+t**2/100)**(-50.5))/(100*(3.1415926)**0.5*gamma( 50));output;end;run;proc gplot data=student;plot z1*t=1 z10*t=1 z100*t=1/ overlay ;symbol1v=none i=join r=1c=black;run;类似N(0,1)图形，n越大峰值越高。

分布函数图：n=10.data t;do x=-5to5by0.1;y=PROBT(x, 10);output;end;run;proc gplot data=t;plot y*x=1 ;run;(2)可证明当n >45时,t 分布与()1,0N 接近。

(3)当n>2时，E(T)=0,2)(-=n nT D （证略）(三)F 分布定义 6.7：设V ～χ2(m),W ～χ2(n),且它们相互独立，则称随机变量nW m VF n m =,服从第一自由度为m 、第二自由度为n 的F 分布，记为F(m,n)， 即F m,n ～F(m,n)。

定理3.10：F m,n 为服从第一自由度为m ，第二自由度为n的F 分布的随机变量, 则其密度函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=>+ΓΓ+Γ<+--0y )1())(()2()2()2(0y 0212),,(n m m y n m y n m n m n m n m n m y F图形： 给定m,n 可画出一个密度图形密度函数图：data f;%macro a(m,n,x);data a;do y=0 to 2 by 0.01;F&x=(gamma((&m+&n)/2)*(&m/&n)**(&m/2)*y**(&m/2-1))/(gamma(&m/2)*gamma (&n/2)*(1+(&m*y/&n))**(&m+&n)/2);output;end;data F;merge a f;%mend a;%a(10,25,1);%a(10,5,2);run;proc gplot data=f;plot F1*y=1 F2*y=1 / overlay ;symbol1v=none i=join r=1c=black;run;易推知：1～F(n,m)①若F～F(m,n)，则F②若X～t (n)，则X2～F(1,n)练习：书上P151有证明。