圆周运动的多解问题及竖直面的圆周运动一．解答题（共6小题）1．（2015?宿迁模拟）如图所示，绳长为I的轻绳一端连一小球，另一端固定在点，开始时轻绳拉直，0A在同一水平线上，小球在同一点由静止释放后在竖直面内做圆周运动．求（1）小球运动到最低点B时的速度大小；（2）小球运动到最低点B时，绳子对小球的拉力大小；（3）假设在O点正下方C处有一铁钉，小球运动到最低点B时，绳子被铁钉挡住，欲使小球绕铁钉C能在竖直面内做完整的圆周运动，求0C距离的最小值．2．（2015?眉山模拟）根据公式F向=m和F向=mrω2，某同学设计了一个实验来感受向心力．如图甲所示，用一根细绳（可视为轻绳）一端拴一个小物体，绳上离小物体40cm处标为点A，80cm处标为点B．将此装置放在光滑水平桌面上（如图乙所示）抡动细绳，使小物体做匀速圆周运动，请另一位同学帮助用秒表计时．操作一：手握A点，使小物体在光滑水平桌面上每秒运动一周，体会此时绳子拉力的大小F1．操作二：手握B点，使小物体在光滑水平桌面上每秒运动一周，体会此时绳子拉力的大小F2．操作三：手握B点，使小物体在光滑水平桌面上每秒运动两周，体会此时绳子拉力的大小F3．（1）小物体做匀速圆周运动的向心力由提供；（2）操作二与操作一相比，是为了控制小物体运动的相同；（3）如果在上述操作中突然松手，小物体将做运动．3．（2015?天水一模）如图所示，用一根长为l=1m的细线，一端系一质量为m=1kg的小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ=37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为T．（g取10m/s2，结果可用根式表示）求：（1）若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？（2）若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？4．（2015春?保定校级月考）如图所示，水平转盘的中心有个竖直小圆筒，质量为m的物体A放在转盘上，A到竖直筒中心的距离为r，物体A通过轻绳、无摩擦的滑轮与物体B相连，B与A质量相同，物体A与转盘间的最大静摩擦力是正压力的μ倍，则转盘转动的角速度在什么范围内，物体A才能随盘转动．5．（2014?宿州模拟）如图所示，质量分别为M和m的两个小球A、B套在光滑水平直杆P 上，整个直杆被固定于竖直转轴上，并保持水平，两球间用劲度系数为K，自然长度为L的轻质弹簧连接在一起，左边小球被轻质细绳拴在竖直转轴上，细绳长度也为L，现欲使横杆P随竖直转轴一起在水平面内匀速转动，其角速度为ω，求当弹簧长度稳定后，细绳的拉力和弹簧的总长度各为多少？6．（2014?象山县校级模拟）如图所示，把一个质量m=1.0kg的物体通过两根等长的细绳与竖直杆上的A、B两个固定点相连接．绳a、b长都是1.0m，AB长1.6m．求：（1）直杆和球旋转的角速度等于多少时，b绳上才有作用力？（2）当转速等于最低转速的2倍时，a、b绳上的张力各是多少？圆周运动的多解问题及竖直面的圆周运动参考答案与试题解析一．解答题（共6小题）1．（2015?宿迁模拟）如图所示，绳长为I的轻绳一端连一小球，另一端固定在点，开始时轻绳拉直，0A在同一水平线上，小球在同一点由静止释放后在竖直面内做圆周运动．求（1）小球运动到最低点B时的速度大小；（2）小球运动到最低点B时，绳子对小球的拉力大小；（3）假设在O点正下方C处有一铁钉，小球运动到最低点B时，绳子被铁钉挡住，欲使小球绕铁钉C能在竖直面内做完整的圆周运动，求0C距离的最小值．考点：向心力．专题：匀速圆周运动专题．分析：（1）根据动能定理或机械能守恒求小球运动到最低点时的速度大小；（2）小球在最低点时所受重力和绳的拉力合力提供向心力，由牛顿第二定律求解绳子对小球的拉力大小；（3）根据小球运动到最高点的临界条件由机械能守恒或动能定理求得小球圆周运动的半径大小，再根据半径大小确定OC距离的大小．解答：解：（1）小球从A到B的过程中，只有重力对小球做功，根据动能定理有：可得小球到达B点时的速度大小（2）小球在最低点时，绳的拉力和重力的合力提供圆周运动的向心力有：可得（3）令小球碰到钉子后做圆周运动的半径为R，则小球能通过最高点时重力恰好提供圆周运动向心力有：mg=可得v小球从A开始到圆周运动最高点时只有重力对小球做功，根据动能定理有：mg（L﹣2R）=代入可解得R=所以OC间的最小距离为x=L﹣R=答：（1）小球运动到最低点B时的速度大小为；（2）小球运动到最低点B时，绳子对小球的拉力大小为3mg；（3）假设在O点正下方C处有一铁钉，小球运动到最低点B时，绳子被铁钉挡住，欲使小球绕铁钉C能在竖直面内做完整的圆周运动，0C距离的最小值为．点评：小球在运动过程中只有重力做功，机械能守恒，应用机械能守恒定律与牛顿第二定律即可正确解题；解题时要注意，小球恰好到达最高点时，重力提供向心力．2．（2015•眉山模拟）根据公式F向=m和F向=mrω2，某同学设计了一个实验来感受向心力．如图甲所示，用一根细绳（可视为轻绳）一端拴一个小物体，绳上离小物体40cm处标为点A，80cm处标为点B．将此装置放在光滑水平桌面上（如图乙所示）抡动细绳，使小物体做匀速圆周运动，请另一位同学帮助用秒表计时．操作一：手握A点，使小物体在光滑水平桌面上每秒运动一周，体会此时绳子拉力的大小F1．操作二：手握B点，使小物体在光滑水平桌面上每秒运动一周，体会此时绳子拉力的大小F2．操作三：手握B点，使小物体在光滑水平桌面上每秒运动两周，体会此时绳子拉力的大小F3．（1）小物体做匀速圆周运动的向心力由绳子拉力提供；（2）操作二与操作一相比，是为了控制小物体运动的周期（或角速度、转速）相同；（3）如果在上述操作中突然松手，小物体将做匀速直线运动．考点：向心力．专题：匀速圆周运动专题．分析：（1）匀速圆周运动的向心力是合外力提供向心力，通过分析受力即知．（2）根据向心力公式F=mω2r，采用控制变量法，结合牛顿第二定律进行求解．（3）突然松手，小物体将做离心运动，结合物体的受力情况，分析其运动情况．解答：解：（1）小物体做匀速圆周运动时，竖直方向受到重力与支持力，二力平衡，向心力由绳子拉力提供．（2）操作二与操作一相比，是为了控制小物体运动的周期（或角速度、转速）相同．（3）在上述操作中突然松手，绳子的拉力突然消失，小物体将做匀速直线运动．故答案为：（1）绳子拉力．（2）周期（或角速度、转速）．（3）匀速直线．点评：本题关键选择向心力公式的恰当形式结合题意讨论，并掌握牛顿第二定律的应用，及控制变量法的思想．3．（2015•天水一模）如图所示，用一根长为l=1m的细线，一端系一质量为m=1kg的小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ=37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为T．（g取10m/s2，结果可用根式表示）求：（1）若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？（2）若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？考点：向心力．专题：匀速圆周运动专题．分析：（1）小球刚要离开锥面时的速度，此时支持力为零，根据牛顿第二定律求出该临界角速度ω0．（2）若细线与竖直方向的夹角为60°时，小球离开锥面，由重力和细线拉力的合力提供向心力，运用牛顿第二定律求解．解答：解：（1）若要小球刚好离开锥面，则小球受到重力和细线拉力如图所示．小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平．在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得：mgta n θ=mωlsin θ解得：ω=，即ω0==rad/s．（2）同理，当细线与竖直方向成60°角时，由牛顿第二定律及向心力公式有：mgtan α=mω′2lsin α解得：ω′2=，即ω′===2rad/s．答：（1）小球的角速度ω0至少为rad/s．（2）小球的角速度ω′为=2rad/s．点评：本题的关键点在于判断小球是否离开圆锥体表面，不能直接应用向心力公式求解．4．（2015春•保定校级月考）如图所示，水平转盘的中心有个竖直小圆筒，质量为m的物体A放在转盘上，A到竖直筒中心的距离为r，物体A通过轻绳、无摩擦的滑轮与物体B相连，B与A质量相同，物体A与转盘间的最大静摩擦力是正压力的μ倍，则转盘转动的角速度在什么范围内，物体A才能随盘转动．考点：向心力；牛顿第二定律．专题：牛顿第二定律在圆周运动中的应用．分析：取物体A为研究对象，物体A随转盘转动的向心力应由绳的拉力和摩擦力提供，摩擦力可能为零，可能指向圆心，也可能背离圆心，绳的拉力F总等于B物体的重力mg．根据牛顿第二定律即可解题．解答：解：由于A在圆盘上随盘做匀速圆周运动，所以它受的合外力必然指向圆心，而其中重力与支持力平衡，绳的拉力指向圆心，所以A所受的摩擦力的方向一定沿着半径，或指向圆心，或背离圆心．当A将要沿盘向外滑时，A所受的最大静摩擦力指向圆心，A受力分析如图（甲）所示，A的向心力为绳的拉力与最大静摩擦力的合力，即：F+F m′=mω12r①由于B静止，故：F=mg；②由于最大静摩擦力是压力的μ倍，即：F m′=μF N=μmg．③由①、②、③解得：ω1=当A将要沿盘向圆心滑时，A所受的最大静摩擦力沿半径向外，A受力分析如图（乙）所示，这时向心力为：F﹣F m′=mω22r④由②③④解得ω2=则转盘转动的角速度的范围是≤ω≤．答：转盘转动的角速度≤ω≤，物体A才能随盘转动．点评：该题要注意摩擦力摩擦力可能为零，可能指向圆心，也可能背离圆心，再根据牛顿第二定律解题．5．（2014•宿州模拟）如图所示，质量分别为M和m的两个小球A、B套在光滑水平直杆P 上，整个直杆被固定于竖直转轴上，并保持水平，两球间用劲度系数为K，自然长度为L的轻质弹簧连接在一起，左边小球被轻质细绳拴在竖直转轴上，细绳长度也为L，现欲使横杆P随竖直转轴一起在水平面内匀速转动，其角速度为ω，求当弹簧长度稳定后，细绳的拉力和弹簧的总长度各为多少？考点：向心力；胡克定律．专题：匀速圆周运动专题．分析：横杆P随竖直转轴在水平面内匀速转动，B球靠弹簧的弹力提供向心力，A靠拉力和弹簧的弹力的合力提供向心力，结合牛顿第二定律和胡克定律求出细绳的拉力大小和弹簧的总长度．解答：解：设直杆匀速转动时，弹簧伸长量为x，对A球有：F T﹣F=Mω2L对B球有：F=mω2（2L+x）F=Kx解以上方程组可得：则弹簧的总长为：答：当弹簧长度稳定后，细绳的拉力为，弹簧的总长度为．点评：解决本题的关键搞清向心力的来源，结合牛顿第二定律进行求解．6．（2014•象山县校级模拟）如图所示，把一个质量m=1.0kg的物体通过两根等长的细绳与竖直杆上的A、B两个固定点相连接．绳a、b长都是1.0m，AB长1.6m．求：（1）直杆和球旋转的角速度等于多少时，b绳上才有作用力？（2）当转速等于最低转速的2倍时，a、b绳上的张力各是多少？考点：向心力．专题：匀速圆周运动专题．分析：（1）当b绳刚好伸直还无张力时的角速度为球旋转的最小角速度．此时小球靠重力和a绳的拉力的合力提供向心力，结合牛顿第二定律和几何关系求出最小的角速度大小．（2）对小球分析，抓住竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力求出两根绳子的拉力大小．解答：解：抓住临界条件，当b绳刚好伸直还无张力时的角速度为球旋转的最小角速度．已知a、b绳长均为1m，如图所示，即AC=BC=1m，AO==0.8m，在△AOC中，cos=0.8得sinθ=0.6，θ=37°小球做圆周运动的轨道半径r=OC=AC•sinθ=1×0.6m=0.6mb绳被拉直但无张力时，小球所受的重力mg与a绳拉力F Ta的合力F提供向心力，其受力分析如图所示，由图可知小球的向心力为F=mgtanθ根据牛顿第二定律得F=mgtanθ=mr•ω2解得直杆和球的角速度为．（2）当角速度，则有F a cosθ=mg+F b cosθ代入数据解得F a=31.25N，F b=18.75N．答：（1）直杆和球旋转的角速度等于rad/s时，b绳上才有拉力；（2）a、b绳的张力分别为：31.25N、18.75N．点评：解决本题的关键抓住临界状态，搞清向心力的来源，结合牛顿第二定律进行求解．。