匀速圆周运动的多解问题
郭建 白头然
匀速圆周运动的多解问题常涉及两个物体的两种不同的运动，其一做匀速圆周运动，另一个物体做其他形式的运动。

因此，依据等时性建立等式求解待求量是解答此类问题的基本思路。

特别需要提醒同学们注意的是，因匀速圆周运动具有周期性，使得前一个周期中发生的事件在后一个周期中同样可能发生，这就要求我们在表达做匀速圆周运动物体的运动时间时，必须把各种可能都考虑进去，以下几例运算结果中的自然数“n ”正是这一考虑的数学外化。

例1：如图1所示，直径为d 的圆筒绕中心轴做匀速圆周运动，枪口发射的子弹速度为v ，并沿直径匀速穿过圆筒。

若子弹穿出后在圆筒上只留下一个弹孔，则圆筒运动的角速度为多少？
解析：子弹穿过圆筒后作匀速直线运动，当它再次到达圆筒壁时，若原来的弹孔也恰好运动到此处，则圆筒上只留下一个弹孔。

在子弹运动位移为d 的时间内，圆筒转过的角度为2n ππ+，其中n =0123，，，…，即 d v n =+2ππω
解得角速度为：ωππ=
+=20123n d v n ()，，，… 例2：质点P 以O 为圆心做半径为R 的匀速圆周运动，如图2所示，周期为T 。

当P 经过图中D 点时，有一质量为m 的另一质点Q 受到力F 的作用从静止开始作匀加速直线运动。

为使P 、Q 两质点在某时刻的速度相同，则F 的大小应满足什么条件？
解析：速度相同包括大小相等和方向相同。

由质点P 的旋转情况可知，只有当P 运动到圆周上的C 点时P 、Q 速度方向才相同。

即质点P 应转过()n +34周（n =0123，，，…），经历的时间 t n T n =+=()()()3401231，，，…
质点P 的速度v R
T =
22π() 在同样的时间内，质点Q 做匀加速直线运动，速度应达到v ，由牛顿第二定律及速度公式得
v =F m t ()3
联立以上三式，解得：F mR n T n =
+=84301232π()()，，，…
例3：如图3所示，在同一竖直面内A 物体从a 点做半径为R 的匀速圆周运动，同时B 物体从圆心O 处自由落下，要使两物体在b 点相遇，求A 物体的角速度。

解析：A 、B 两物体在b 点相遇，则要求A 从a 匀速转到b 和B 从O 自由下落到b 用的时间相等。

A 从a 匀速转到b 的时间t n T n 134342=+
=+()()πω
()n =0123，，，…
例4：如图4所示，半径为R 的水平圆盘正以中心O 为转轴匀速转动，从圆板中心O 的正上方h 高处水平抛出一球，此时半径OB 恰与球的初速度方向一致。

要使球正好落在B 点，则小球的初速度及圆盘的角速度分别为多少？
解析：要使球正好落在B 点，则要求小球在做平抛运动的时间内，圆盘恰好转了n 圈（n =123，，…）。

对小球：h gt =
1212() R v t =02()
对圆盘：21233n t n πω==()()，，…
联立以上三式：解得：ωπ=⋅=n g h
n 2123()，，… v R g h
02=。