4．“水流星”问题绳系装满水的杯子在竖直平面内做圆周运动，即使到了最高点杯子中的水也不会流出，这是因为水的重力提供水做圆周运动的向心力。

(1)杯子在最高点的最小速度v min ＝(gL)1/2(2)当杯子在最高点速度为v 1>v min 时，杯子内的水对杯底有压力，若计算中求得杯子在最高点速度v 2<v min ，则杯子不能到达最高点．若“水流星”问题中杯子中水的质量为m ，当在最高点速度为v 2>v min 时，水对杯底的压力为多大? 5.斜面、悬绳弹力的水平分力提供加速度a ＝gtan α的问题 a ．斜面体和光滑小球一起向右加速的共同加速度a ＝gtan α 因为F 2＝F N cos α＝mg F 1＝F N sin α＝ma 所以a ＝gtan αb ．火车、汽车拐弯处把路面筑成外高内低的斜坡，向心加速度和α的关系仍为a ＝gtan α，再用tan α＝h/L,a ＝v 2/R 解决问题．c ．加速小车中悬挂的小球、圆锥摆的向心加速度、光滑锥内不同位置的小球，都有a ＝gtan α的关系．6.典型的非匀速圆周运动是竖直面内的圆周运动这类问题的特点是：由于机械能守恒，物体做圆周运动的速率时刻在改变，物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大。

物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力；而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向就不能确定了，要分三种情况进行讨论。

1．如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直面内作圆周运动通过最高点，弹力只可能向下，如绳拉球。

这种情况下有mg Rmv mg F ≥=+2即gR v ≥，否则不能通过最高点。

①临界条件是绳子或轨道对小球没有力的作用，在最高点v =Rg ．②小球能通过最高点的条件是在最高点v >Rg ．③小球不能通过最高点的条件是在最高点v <Rg ．2．弹力只可能向上，如车过桥。

在这种情况下有：gR v mg Rmv F mg ≤∴≤=-,2，否则车将离开桥面，做平抛运动。

3．弹力既可能向上又可能向下，如管内转（或杆连球、环穿珠）。

这种情况下，速度大小v 可以取任意值。

但可以进一步讨论：①当gR v >时物体受到的弹力必然是向下的；当gR v <时物体受到的弹力必然是向上的；当gR v =时物体受到的弹力恰好为零。

②当弹力大小F <mg 时，向心力有两解：mg ±F ；当弹力大小F >mg 时，向心力只有一解：F +mg ；当弹力F =mg 时，向心力等于零。

【重难点例题启发与方法总结】1、如图所示，质量为m =0.1kg 的小球和A 、B 两根细绳相连，两绳固定在细杆的A 、B 两点，其中A 绳长L A =2m ，当两绳都拉直时，A 、B 两绳和细杆的夹角θ1=30°，θ2=45°，g =10m/s 2．求： （1）当细杆转动的角速度ω在什么范围内，A 、B 两绳始终张紧？ （2）当ω=3rad/s 时，A 、B 两绳的拉力分别为多大？[解析]（1）当B 绳恰好拉直，但T B =0时，细杆的转动角速度为ω1， 有： T A cos30°=mg21030sin 30sin A A L m T ω= 解得：ω1=2．4 rad/s当A 绳恰好拉直，但T A =0时，细杆的转动角速度为ω2， 有：mg T B =045cos022030sin 45sin A B L m T ω=解得：ω2=3.15（rad/s ）要使两绳都拉紧2.4 rad/s ≤ω≤3.15 rad/s （2）当ω=3 rad/s 时，两绳都紧．︒=︒+︒30sin 45sin 30sin 2A B A L m T T ωmg T T B A =︒+︒45cos 30cos T A =0.27 N ， T B =1.09 N2、如图所示，倾斜放置的圆盘绕着中轴匀速转动，圆盘的倾角为37°.在距转动中心0.1 m 处放一小木块，小木块跟随圆盘一起转动，小木块与圆盘的动摩擦因数为0.8，木块与圆盘的最大静摩擦力与相同条件下的滑动摩擦力相同.若要保持木块不相对圆盘滑动，圆盘转动的角速度最大值约为A.8 rad/sB.2 rad/sC.124rad/sD.60rad/s〖解析〗木块在最低点时容易相对圆盘滑动，此时木块相对圆盘将要滑动，圆盘的角速度最大，则μmg cos37°－mg sin37°=m ω2r ω=rg ）（︒-︒37sin 37cos μ=1.06.08.08.010）（-⨯⨯ rad/s=2 rad/s所以，选项B 正确.3、如图所示，在倾角为α=300的光滑斜面上，有一根长为L =0.8m 的细绳，一端固定在O 点，另一端系一质量为m =0.2kg 的小球，沿斜面作圆周运动，试计算：（1）小球通过最高点A 的最小速度；（2）小球通过最高点的最小速度。

（3）若细绳的抗断拉力为F max =10N ，小球在最低点B 的最大速度是多少？ 〖解析〗（1）小球在最低点时的等效重力为G=mgsin α 小球在最高点A 速度最小。

s m gL gL v A /2sin min ===α（2）根据动能定理：2221212sin A B mv mv L mg -=⨯α当小球在最高点速度最小时，在最低点速度一定最小 解得最低点速度的最小值是s m v Bm /52= （3）若绳子的抗断拉力为10N ，根据牛顿第二定律Rv m mg F 2sin =-α解得小球在最低点B 的最大速度是v BM =6m/sALOBα 图26【重难点关联练习巩固与方法总结】1、汽车通过拱桥颗顶点的速度为10 m ／s 时，车对桥的压力为车重的34 。

如果使汽车驶至桥顶时对桥恰无压力，则汽车的速度为 （ ） A 、15 m ／sB 、20 m ／sC 、25 m ／sD 、30m ／s2、如图所示，在匀速转动的圆盘上，沿直径方向上放置以细线相连的A 、B 两个小物块。

A 的质量为m k g A =2，离轴心r c m 120=，B 的质量为m k g B =1，离轴心r c m 210=，A 、B 与盘面间相互作用的摩擦力最大值为其重力的0.5倍，试求 （1）当圆盘转动的角速度ω0为多少时，细线上开始出现张力？（2）欲使A 、B 与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度为多大？（g m s =102/）解析：（1）ω较小时，A 、B 均由静摩擦力充当向心力，ω增大，F mr =ω2可知，它们受到的静摩擦力也增大，而r r 12>，所以A 受到的静摩擦力先达到最大值。

ω再增大，AB 间绳子开始受到拉力。

由F m r f m =1022ω，得： ω011111055===F m r m g m r r a d s f m ./ （2）ω达到ω0后，ω再增加，B 增大的向心力靠增加拉力及摩擦力共同来提供，A 增大的向心力靠增加拉力来提供，由于A 增大的向心力超过B 增加的向心力，ω再增加，B 所受摩擦力逐渐减小，直到为零，如ω再增加，B 所受的摩擦力就反向，直到达最大静摩擦力。

如ω再增加，就不能维持匀速圆周运动了，A 、B 就在圆盘上滑动起来。

设此时角速度为ω1，绳中张力为F T ，对A 、B 受力分析：对A 有F F m r f m T 11121+=ω 对B 有F F m r T f m -=22122ω 联立解得： ω112112252707=+-==F F m r m r r a ds r a ds f m f m /./3、一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R （比细管半径大得多）。

在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）。

A 球的质量m 1，B 球的质量为m 2，它们沿环形管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v 0，设A 球运动到最低点，B 球恰好运动到最高点。

若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m 1、m 2、R 与v0应满足的关系式是＿＿＿＿＿＿。

4、如图39－3所示，物体P用两根长度相等、不可伸长的细线系于竖直杆上，它们随杆转动，若转动角速度为ω，则[ABC ]A．ω只有超过某一值时，绳子AP才有拉力B．绳子BP的拉力随ω的增大而增大C．绳子BP的张力一定大于绳子AP的张力D．当ω增大到一定程度时，绳AP的张力大于BP的张力5、如图2所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线连接的质量相等的两物体A和B，它们与盘间的摩擦因数相同．当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，烧断细线，则两物体的运动情况将是【】A．两物体均沿切线方向滑动B．两物体均沿半径方向滑动，离圆盘圆心越来越远C．两物体仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动D．物体A仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动；物体B发生滑动，沿一条曲线向外运动，离圆盘圆心越来越远6、半径为R的光滑半圆球固定在水平面上，如图所示．顶部有一小物体甲，今给它一个水平初速度v0=gR，物体甲将A．沿球面下滑至M点B．先沿球面下滑至某点N，然后便离开球面做斜下抛运动C．按半径大于R的新的圆弧轨道做圆周运动D．立即离开半圆球做平抛运动7、长度为0．5m的轻质细杆OA，A端有一质量为 3kg 的木球，以O点为圆心，在竖直面内作圆周运动，如图所示，小球通过最高点的速度为 2m/s，取g = 10 m/s2，则此时球对轻杆的力大小是，方向向。

8、如图所示，木板B托着木块A在竖直平面内作匀速圆周运动，从与圆心相平的位置a运动到最高点b的过程中 ( )A、B对A的支持力越来越大B、B对A的支持力越来越小C、B对A的摩擦力越来越大D、B对A的摩擦力越来越小9、如图所示，两根长度相同的细绳，连接着相同的两个小球让它们在光滑的水平面内做匀速圆周运动，其中O 为圆心，两段绳子在同一直线上，此时，两段绳子受到的拉力之比T1∶T2为( )A、1∶1B、2∶1C、3∶2D、3∶110、如图所示,小球 M 与穿过光滑水平板中央的小孔 O 的轻绳相连，用手拉着绳的另一端使 M 在水平板上作半径为 a ，角速度为ω１的匀速圆周运动，求：(1) 此时 M 的速率.(2)若将绳子突然放松一段，小球运动 t 时间后又拉直，此后球绕 O 作半径为 b的匀速圆周运动，求绳由放松到拉直的时间 t .11、一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多），在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点），A球的质量为m1，B球的质量为m2，它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都是v0，设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，B那么m1，m2，R与v0应满足的关系。