命题 1 如果 um(1) , um(2) ,L, um(k) 是齐次差分方程（2）的解，则它们的任意组合
（3）
vm = c1um(1) + c2um(2) + L + ckum(k)
也是（2）的解，其中 cj ( j = 1, 2,L, k ) 为常数。
命题 2 设 um(1) , um(2) ,L, um(k) 是 k 阶齐次差分方程（2）的解，且行列式
命题 4 如果 um(1) , um(2) ,L, um(k) 为齐次方程（2）的线性无关解，则（1）的通解可以表为
（9）
k
m−k
∑ ∑ um = c jum( j) + g b m,n n
j =1
n=0
其中 gm,n 为（5）的解。
命题 4 把求非齐次方程解的问题化成求齐次方程的解。
当差分方程的初始值 u0 , u1,L, uk−1 已经给定，则利用通解表达式（9）我们有
（7）
∑ ⎧
⎪ ⎨
( ) a j m gm+ j,n = δm,n , m = 0,1, 2,L
⎪⎩ gl,n = 0, 当l < n + k时, n = 0,1, 2,L
容易证明，
（8）
m−k
∑ um = gm,nbn n=0
是非齐次方程（1）的解。事实上，利用（8）和（7）式，有
k
kቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n+ j−k
（5）
ak (m) um+k + ak−1 ( )m um+k−1 +L+ a0 (m) um = 0
其初始条件为
当m > n ，
（6）
( ) ak n un+k = 1 ， un+k−1 = un+k−2 = L = un+1 = 0
这 个 问 题 的 解 显 然 与 n 有 关 ， 记 为 gm,n ， m = n +1, n + 2,L ， 为 了 形 式 统 一 ， 对
为
ξ1 ξ2 L ξk
∏ ∏( ) ξ12
L
ξ22 L
L L
ξ
2 k
L
=
k
ξj
j =1
j>l
ξ j −ξl
≠0
ξ1k
ξ
k 2
L ξkk
在这种情形下，（2）的通解可以表为
（12）
k
∑ um =
c
jξ
m j
j =1
如果有某一ξ j 为（11）的 rj 重根，容易验证，
（13）
ξ
m j
,
mξ
m j
,
L
,
m = 0,1,L, n ，我们补充定义 gm,n = 0 ，从而有
gm,n = 0 ，当 m < n + k
由此，特别得到
( ) ( ) ( ) ak n gn+k,n + ak−1 n −1 gn+k−1,n + L+ a0 0 gn,n = 1
综合上述讨论得出，对 n = 0,1, 2,L ， gm,n 为下列差分方程的解：
m
rj
−1ξ
m j
为（2）的 rj 个线性无关解。这样一来，在特征多项式（11）有重根的情形，（2）的通解可
表为
（14）
k0 rj
∑ ∑ um =
c
jl
ml
−1ξ
m j
j=1 l =1
k0 为（11）互异根的个数。
若（11）有复根ξ j ，因为他的系数是实数，故 ξ j 也是它的根。令
ξ j = ρeiθ = ρ (cosθ + i sinθ )
解：将上式改写成为
( ) um+1 − 2 1+ h2q um + um−1 = 0
它的特征方程为
( ) λ 2 − 2 1+ h2q λ +1 = 0
它的根为
( ) λ = 1+ h2q ± h q 2 + h2q
1） 当 q = 0 时，特征方程二根相等： ξ1 = ξ2 = 1，
此时通解为
um = c1 + c2m
成下列形式： k 阶齐次线性差分方程的通解可以表为它的任意 k 个线性无关解的线性组合。 k 阶齐次线性差分方程线性无关解的个数不超过 k ，而且必存在 k 个线性无关解。
命题 3 非齐此方程（1）的通解可以表成为它的任一解与齐次方程（2）的通解之和。
证明：对 n = 0,1, 2,L ，考虑下列齐次差分方程
∑ ∑ ∑ aj (m)um+ j = aj (m)
gm+ j,nbn
j=0
j=0
n=0
k
m
∑ ∑ ( ) = aj m
gm+ b j,n n
j=0
n=0
∑ ∑ ( ) m ⎛ k
⎞
= ⎜ a j m gm+ j,n ⎟ bn
⎝ n=0 j=0
⎠
m
∑ = δ b m,n n n=0
= bm
即（8）满足方程（1）。 这样一来，利用命题 3 得到
m = 0,1, 2,L
称为 k 阶线性差分方程，其中 a j (m) ,bm 为给定的关于 m 的函数，并且 ak (m) a0 (m) ≠ 0 。
当 bm = 0 时方程
（2）
ak (m) um+k + ak−1 ( )m um+k−1 +L+ a0 (m) um = 0
m = 0,1, 2,L
cosθ = 1+ h2q , 0 ≤ θ < 2π
确定，通解为
um = c1 cos mθ + c2 sin mθ
（11）
ak λ k
+
λ a k −1 k −1
+L+
a1λ
+ a0 = 0
的根。反之，容易验证，如果 ξ 为（11）的根，则 um = ξ m 必为（2）的解。方程式（11）
叫做（1）或（2）的特征方程。
设
ξ1
,
ξ2
,L,
ξk
为（11）的
k
个互异的根，则
ξ1m
,
ξ
m 2
,L,
ξ
m k
为（2）的线性无关解，因
得满足给定初始条件的解。
对常系数线性差分方程，即当 a j (m) = a j 与 m 无关时，其次方程的通解可以利用特征
方程的根求得。
设（2）的系数与 m 无关。考虑形如
（10）
um = ξ m
的解。将其代入（2）得到
akξ k + ak−1ξ k−1 + L + a1ξ + a0 = 0
即ξ 为代数方程
2） 当 q > 0 时，特征方程有相异二实根：
( ) ξ1 = 1+ h2q + h q 2 + h2q ( ) ξ2 = 1+ h2q − h q 2 + h2q
并且当 h 充分小时 ξ1 > 1,ξ2 < 1，此时通解为
um
=
c1ξ1m
+
c2ξ
m 2
3） 当 q < 0 时，有二共轭复根，其模为 1，幅角θ 由关系式
k
∑ cjum( j) = um , m = 0,1, 2,L, k −1
j =1
因为当 m < k 时（9）式中第二个和为零。由于 um(1) , um(2) ,L, um(k) 线性无关，从上式可以唯一
地解出 c1, c2 ,Lck ，它们是 u0 , u1,L, uk−1 的线性组合。将求得的 c1, c2 ,Lck 代入（9）即求
ξ j = ρe−iθ = ρ (cosθ − i sinθ )
此时可取
ρ cos mθ , ρ sin mθ
为相应二线性无关解。
例 求下列二阶常系数差分方程的通解：
um+1
− 2um h2
+ um−1
− 2qum
=
0
其中 h, q 均为常数，且 h > 0 。上述方程是微分方程 u'' − 2qu = 0 的差分近似。
称为齐次差分方程。如果整变量 j 的函数 u j 使（1）和（2）成为等式，则称 u j 为相应方程
的解。容易看出，如果 u0 , u2 ,Luk−1（称为初始值）已给定，则由（1）或（2）可以逐次地
定出 u j ( j = k, k +1,L) 。
与线性方程组及线性常微分方程类似，对上述差分方程有
（4）
u1(1) u1(2) L u1(k ) u2(1) u2(2) L u2(k ) ≠ 0 L LLL uk(1) uk(2) L uk(k )
则齐次差分方程（2）的任何解均可表成（3）的形式，此时称（3）为（2）的通解。
如果 um(1) , um(2) ,L, um(k) 满足条件（4），则称 um(1) , um(2) ,L, um(k) 线性无关，故命题 2 可叙述
线性差分方程
在数学大家庭中，线性差分方程是重要的一员。如离散状态下的数学建模一般会产生差 分方程，将微分方程离散化仍然会产生差分方程。线性差分方程与线性方程组及线性常微分 方程有许多相似的性质，下面让我们讨论其解性质。
考虑如下一般的线性差分方程
（1）
ak (m) um+k + ( ) ak−1 m um+k−1 +L+ a0 (m) um = bm