m −1
(3)
1. 若(3)有一实特征根 λ ,其重数为 m ( m ≤ n ) ,则 )
λ , tλ , L , t
t
λ
t
为齐次方程(2)的 个线性无关的特解 个线性无关的特解； 为齐次方程 的m个线性无关的特解； 2. 若(3)有一对共轭复根： λ = a ± b i ( b > 0 ) 有一对共轭复根： 有一对共轭复根
yt +n + a1 yt +n−1 +L+ an−1 yt +1 + an yt = 0
t
t 将 yt = λ 代入方程 (2), 得
(2)
的特解. 下面来寻找方程 (2)的形如 y t = λ ( λ ≠ 0) 的特解.
(λ + a1λ
n
n −1
+ L a n −1λ + a n ) λ = 0 ,
3
yt +n + a1 yt +n−1 +L+ an−1 yt +1 + an yt = 0
λn + a1λn−1 +Lan−1λ + an = 0
(2) (3)
上述特解共有n个 将它们用任意常数组合起来， 上述特解共有 个，将它们用任意常数组合起来， 即得齐次方程(2)的通解 的通解. 即得齐次方程 的通解.
t
而 λ ≠ 0 ,于是有
t
λn + a1λn−1 +Lan−1λ + an = 0
(3)
代数方程(3)称为差分方程 的特征方程, 代数方程 称为差分方程(2)的特征方程, 称为 它的根称为特征根 特征根( 特征值). 它的根称为特征根(或特征值).
2λ + a1λn Nhomakorabeat
n−1
+Lan−1λ + an = 0
相应齐次方程的通解为
yc ( t ) = C1 ( −3) + 2 (C 2 cos
t t
π
2
t + C 3 sin
π
2
t) .
设特解为 y t = B ， 入原方程得 B = 1 ， 一特解为 yt = 1 ， 代 方程得 得
故原方程通解为
yt = C1 ( −3) + 2 (C 2 cos
t t
故原方程通解为
yt = (C1 + C 2 t )( −1) + C 3 + C 4 t + t .
t 2
9
例3 求三阶差分方程 yt + 3 + 3 yt + 2 + 4 yt +1 + 12 yt = 13 + 20t
的通解. 的通解.
解 例1已求出相应齐次方程的通解为 已求出相应齐次方程的通解为
π
2
t + C 3 sin
π
2
t) + 1 ,
8
其中 C1 , C 2 , C 3 为任意常数 .
的通解. 例2 求 四 阶差分方程 y t + 4 − 2 y t + 2 + y t = 8 的通解.
解 特征方程为 λ4 − 2λ2 + 1 = 0 ⇒ ( λ 2 − 1) 2 = 0 , 特征根为 λ1 = λ2 = −1 , λ3 = λ4 = 1 相应齐次方程的通解为
7
例1 求三阶差分方程 yt + 3 + 3 yt + 2 + 4 yt +1 + 12 yt = 20 的通解. 的通解 . 解 特征方程为 λ 3 + 3λ 2 + 4λ + 12 = 0
⇒ ( λ + 3)(λ 2 + 4) = 0 , 特征根为 λ1 = −3, λ2 = 2i , λ3 = −2i
4
阶常系数非齐次线性差分方程的解法 非齐次线性差分方程的 二、 n 阶常系数非齐次线性差分方程的解法
yt +n + a1 yt +n−1 +L+ an−1 yt +1 + an yt = b
对应齐次方程 (1)
常数， 其中 a1 , L , a n −1 , a n , b 为常数，且 a n ≠ 0 , b ≠ 0 ，
yc ( t ) = C1 ( −3) + 2 (C 2 cos
t t
π
2
t + C 3 sin
π
2
t) .
设特解为 yt = B0 + B1 t ，代入原方程可得 B0 = 0 , B1 = 1 ，
得一特解为 yt = t ，
故原方程通解为
yt = C1 ( −3) + 2 (C 2 cos
t t
若 n + ( n − 1)a1 + L + 2a n −1 + a n ≠ 0 ， 则得 (1)的特解
b yt = . n + (n −1)a1 +L+ 2an−1 + an
若 n + ( n − 1)a1 + L + 2an−1 + an = 0 ， 则再改设(1)的
2 特解 yt = B t ,
5
yt +n + a1 yt +n−1 +L+ an−1 yt +1 + an yt = b
(1)
为待定常数 代入(1)得 常数. 设特解为 y t = B ，B 为待定常数 代入 得
(1 + a1 + L + a n−1 + a n ) B = b .
则得(1)的特解 若 1 + a1 + L + a n−1 + a n ≠ 0 ，则得 的特解
(1)的对应齐次方程为 的对应齐次方程为
yt +n + a1 yt +n−1 +L+ an−1 yt +1 + an yt = 0
(2)
(1)、(2)可与二阶常系数线性差分方程类似地求解. 、 可与二阶常系数线性差分方程类似地求解 可与二阶常系数线性差分方程类似地求解.
1
阶常系数齐次线性差分方程的解法 齐次线性差分方程的 一、 n 阶常系数齐次线性差分方程的解法
yc ( t ) = (C1 + C 2 t )( −1) t + C 3 + C 4 t .
直接验证可知， 都不是原方程的解， 直接验证可知， y t = B 和 y t = B t 都不是原方程的解，
2 2 得一特解 yt = t ， 方程得 设特解为 y t = B t ， 入原方程得 B = 1 ， 代
如此继续下去，至多到设 有特解 如此继续下去，至多到设(1)有特解 y t = B t 求得(1)的一个特解 求得 的一个特解. 的一个特解
n −1
，必可
为多项式函数, 若 f ( t )为多项式函数,指数函数正弦-余弦型三角函 为多项式函数 指数函数正弦以及它们的线性组合等情形,可类似地进行. 数,以及它们的线性组合等情形,可类似地进行.
yt +n + a1 yt +n−1 +L+ an−1 yt +1 + an yt = 0
是方程(1)的一个特解 的一个特解, 设 y t 是方程 的一个特解,
(2)
yc (t ) 是(2)的通解, 的通解, 的通解
那么方程(1)的通解为 那么方程 的通解为
yt = yc (t ) + yt .
问题归结为求方程(1)的一个特解. 问题归结为求方程 的一个特解. 的一个特解 用待定系数法求解. 待定系数法求解. 求解
b yt = . 1+ a1 +L+ an−1 + an
若 1 + a1 + L + an−1 + an = 0 ， 则改设 (1)的特解 yt = B t ,
[n + ( n − 1)a1 + L + 2a n−1 + a n ]B = b .
6
[n + ( n − 1)a1 + L + 2a n −1 + a n ]B = b
π
2
t + C 3 sin
π
2
t) + t ,
其中 C1 , C 2 , C 3 为任意常数 .
10
练习： 练习：
P384 习题十
11
其重数为 k ( 2 k ≤ n ) , 则
r t cos ω t , t r t cos ω t , L , t k − 1 r t cos ω t t r sin ω t , t r t sin ω t , L , t k − 1 r t sin ω t 为齐次方程(2)的 个线性无关的特解 个线性无关的特解， 为齐次方程 的2k个线性无关的特解，其中 b 2 2 r = a + b , tan ω = , ω ∈ ( 0 , π ) a
第四节 n 阶常系数线性差分方程
n 阶常系数线性差分方程一般形式
yt +n + a1 yt +n−1 +L+ an−1 yt +1 + an yt = f (t ) (1)
常数， 其中 a1 , L , a n−1 , a n 为常数，且 an ≠ 0 ，
函数 f (t ) 为 t 的已知函数，当 t = 0, 1, 2, L 时有定义 的已知函数， 时有定义.