例6
求方程yn11源自3yn2n的通解.
5, 2
所以
y(n) 1 n2 5 n, 22
所给方程通解为 y(n) C 1 n2 5 n, 22
其中C 为任意常数.
例2 求差分方程 yn1 2 yn 2n2 1 的通解. 解 因a 2, 对应齐次方程的通解为
y C (2)n C2n 设 y(n) a0n2 a1n a2 , 代入原方程, 有
y C(2)n 设 y1(n) a0n a1 , y2(n) Aen , 于是
y(n) a0n a1 Aen 代入方程有
3a0n a0 3a1 ( Ae 2A)en 2n 1 en
比较系数,
得
a0
2, 3
a1
5, 9
A
e
1
, 2
从而有
y(n) 2 n 5 1 en 3 9 e2
于是方程 (10 17) 的特解为 y(n) b d n ad
当a d 时, 要使等式恒成立, 应取 k 1, 从而得到 y(n) And n
代入方程 (10 17) , 可得 A b , d
于是方程(10 17)的特解为 y(n) b nd n , d
综上讨论, 于是方程 (10 17)的通解可表示为
例1 求差分方程 yn1 yn n 3 的通解.
解 特征方程为 1 0,
对应齐次方程的通解为 y C 1n C
由于1是特征根，设 y(n) n(a0n a1) , 代入原方程, 有 a0(n 1)2 a1(n 1) a0n2 a1n n 3
比较系数得
a0
1, 2
a1
(10 13) (10 14)
方程 (10 14变) 形后改写为 yn1 ayn , n 0, 1, 2,
这是等比数列所满足的关系式, 由等比数列通项公式
可以得到 yn (a)n y0 , n 0, 1, 2,
从而得到方程 (10 14) 的通解
y C(a)n , n 0, 1, 2,
(10 16)
根据 f (n) 的形式, 可设 y(n) Q(n)为特解,
Q(n) 为多项式, 代入方程 (10 16), 有
Q(n 1) aQ(n) Pm (n) 于是, 若 a 1, 要使方程恒等 , 则应设
y(n) a0nm a1nm1 am1n am
其中a0,a1,,am为待定系数, 代入方程后, 比较同幂次系数, 可以解代数方程确定待定系数.
(10 15)
其中C 为任意常数.
或特征根法：
yn1 ayn 0, n 0, 1, 2,
其特征方程：
a 0,
从而得到方程的通解。
(10 14)
二、非齐次方程的特解与通解
1. f (n) Pm (n), Pm(n) 为m 次多项式, 则方程(10 13)为
yn1 ayn Pm (n)
§10.2 一阶常系数线性差分方程
一、齐次方程的通解 二、非齐次方程的特解与通解
一、齐次方程的通解
一阶常系数线性差分方程一般形式为 yn1 ayn f (n), n 0, 1, 2,
其中a 为非零常数, f (n)为已知函数 , 方程 (10 13) 的对应齐次方程为
yn1 ayn 0, n 0, 1, 2,
若 a 1, 要使方程恒等, 则应设
y(n) nQm (n) a0nm1 a1nm am1n2 amn. 代入方程
代入方程, 比较同幂次系数, 可以解出式中的待定系数 a0 , a1 , ,am .
即（1）若1不是特征方程的根，则 y (n) Qm (n). （2）若1是特征方程的根，则 y (n) nQm (n).
为
yn1 ayn bd n
其中a , b 为非零常数.
(10 17)
根据 f (n) 的形式,可设 yn Ankd n, A为待定系数, 代入方程有 (n 1)k Ad nk Aa b
于是, 当a d 时, 要等式恒成立, 应取 k 0,
从而得到
y(n) Ad n
代入方程, 解得 A b , ad
a0n2 (2a0 a1)n (a0 a1 a2 ) 2n2 1 比较系数得 a0 2, a1 4, a2 5, 所以得
y(n) 2n2 4n 5, 从而所给方程的通解为 y C2n 2n2 4n 5
其中C 为任意常数.
2. f (n) bd n , 即 f (n) 为指数函数, 这时方程 (10 13)
yn
C
(a)n
a
b
C
b d
n
d
n
,
d
d
n,
a d a d
其中C 为任意常数.
例3 求方程 yn1 2 yn 3 2n 满足初始条件 y0 4 的 特解.
所给方程的通解为
yn
C (2)n
3 4
2n
由
y0
4,
得
C
13 , 4
例5 求方程 yn1 2 yn 2n 1 en 的通解. 解 对应齐次方程的通解为