有限元方法 Finite Elements Method
本课程主要内容： 一、有限元方法基础理论知识 二 、数值计算程序
主要的参考书目
《有限元方法的数学基础》；许学军；科学出版社 《有限元方法》； 陈志明；英文版
一、有限元分析概念
有限元分析（FEA）的基本概念就是用较简单 的问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成 是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每 一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后 推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条 件），从而得到问题的解。这个解不是准确解， 而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代 替。由于大多数实际问题难以得到准确解，而有 限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状， 因而成为行之有效的工程分析手段
为保证问题求解的收敛性，单元推导有许多 原则要遵循。 对工程应用而言，重要的是应注意 每一种单元的解题性能与约束。例如，单元形状 应以规则为好，畸形时不仅精度低，而且有缺秩 的危险，将导致无法求解。 第五步：总装求解：将单元总装形成离散域的总 矩阵方程（联合方程组），反映对近似求解域的 离散域的要求，即单元函数的连续性要满足一定 的连续条件。总装是在相邻单元结点进行，状态 变量及其导数（可能的话）连续性建立在结点处。
第六步：联立方程组求解和结果解释：
有限元法最终导致联立方程组。联立方程 组的求解可用直接法、选代法和随机法。 求解结果是单元结点处状态变量的近似值。 对于计算结果的质量，将通过与设计准则 提供的允许值比较来评价并确定是否需要 重复计算。
简言之，有限元分析可分成三个阶段，
前处理、处理和后处理。前处理是建立有 限元模型，完成单元网格划分；后处理则 是采集处理分析结果，使用户能简便提取 信息，了解计算结果
❖ 复合材料加工传热传质问题
本门课程的学习目标
理解有限元方法的基本思想 认识不同类型单元的行为和应用范围 根据实际问题，能够给出合适的有限元模型 给出正确的误差理论分析 能够解释并正确评估结果的合理性 有限元数值程序的实现
二、有限元法的优点
有线元法的特点是适用于求解各种形式(几何上、物理 上)复杂的问题，精度高，通用性强，对问题的处理既彻 底又系统，适用于采用电子计算机方式。它本是线性问题 的解法，但通过迭代法(如牛顿一拉裴森迭代法)也能巧妙 地解决非线性问题。其优点如下。
有限元可以运用于任何场问题：
没有几何形状的限制
为什么需要有限元分析？ 减少模型试验的数量
计算机模拟容许对大量的假设情况进行快速 有效的试验。 模拟不适合在原型上试验的设计。 例如：器官移植，比如人造膝盖。 概要: 节省费用 节省时间…缩短产品开发时间! 创造出更可靠、高品质的设计
传统产品设计流程 引入有限分析的设计
以电子产品为例，80%的电子产品都 要进行高速碰击实验，研究人员往往耗费 大量的时间和成本，针对产品进行相关的 质量实验，如下落冲击实验等，这些不仅 耗费了大量的研发时间和成本，而且实验 本身也存在很多缺陷，如：
第三步：确定状态变量及控制方法：一个具体的 物理问题通常可以用一组包含问题状态变量边界 条件的微分方程式表示，为适合有限元求解，通 常将微分方程化为等价的泛函形式。
第四步：单元推导：对单元构造一个适合的近似 解，即推导有限单元的列式，其中包括选择合理 的单元坐标系，建立单元势函数，以某种方法给 出单元各状态变量的离散关系，从而形成单元矩 阵（结构力学中称刚度阵或柔度阵）。
边界条件和载荷没有限制
材料性质并不限于各向同性
具有不同行为和不同数学描述的分量可以结合。
有限元结构和被分析的物体或区域很类似
通过网格细分可以很容易地改善解的逼近度
三、有限元求解的基本步骤
对于不同物理性质和数学模型的问题，有限 元求解法的基本步骤是相同的，只是具体公式推 导和运算求解不同。有限元求解问题的基本步骤 通常为： 第一步：问题及求解域定义：根据实际问题近似 确定求解域的物理性质和几何区域。 第二步：求解域离散化：将求解域近似为具有不 同有限大小和形状且彼此相连的有限个单元组成 的离散域，习惯上称为有限元网络划分。显然单 元越小（网络越细）则离散域的近似程度越好， 计算结果也越精确，但计算量及误差都将增大， 因此求解域的离散化是有限元法的核心技术之一。
（1）实验发生的历程很短，很难观察实验 过程和现象
（2）测试条件难以控制，实验的重复性很 差
（3）实验时很难测量产品内部特性和观察 内部现象
（4）一般只能得到实验结果，而无法观察 实验原因
引入有限元分析仿真以后，可以在产品 开发前，通过模拟实验仿真求得设计最佳 解，进而一次实验甚至无实验既可使产品 通过测试规范，大大的节约了产品开发周 期和成本。
例
一 前处理
确定求解域，零件材料，离散化，确 定边界条件
二 处理过程 选择迭代算法稀疏矩阵法(SPARSE
DIRECT SOLVER)、预共轭梯度法(PCG SOLVER)和波前法(FRONT DIRECT SLOVER)，通过计算机有限元分析软件进 行总装求解
三 后处理结果
四、有限元应用领域
例：
有限元是那些集合在一起能够表示实际连续
域的离散单元。有限元的概念早在几个世纪前就 已产生并得到了应用，例如用多边形（有限个直 线单元）逼近圆来求得圆的周长，但作为一种方 法而被提出，则是最近的事。有限元法最初被称 为矩阵近似方法，应用于航空器的结构强度计算， 并由于其方便性、实用性和有效性而引起从事力 学研究的科学家的浓厚兴趣。经过短短数十年的 努力，随着计算机技术的快速发展和普及，有限 元方法迅速从结构工程强度分析计算扩展到几乎 所有的科学技术领域，成为一种丰富多彩、应用 广泛并且实用高效的数值分析方法。
机械/航空航天/土木工程/自动化工程 结构分析（静力/动力分析，线形/非线性分
析） 热分析/流体力学分析 电磁场分析 地质力学分析 生物医学分析
例
例
例
❖ 轴承强度分析
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❖ 三维椭圆封头开孔补强