2 0 1 4年 全 国 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试上海 数学试卷（理工农医类）考生注意：1、本试卷共4页，23道试题，满分150分。

考试时间120分钟。

2、本考试分设试卷和答题纸。

试卷包括试题与答题要求。

作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上。

在试卷上作答一律不得分。

3、答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸正面清楚地填写姓名。

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1、函数._______)2(cos 212的最小正周期是x y -=【答案】 2π【解析】2π4π2∴4cos -)2(cos 2-12====T x x y 周期2、若复数z=1+2i ，其中i 是虚数单位，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛_z 1 +z z ⋅=___________. 【答案】 6【解析】61)41(1)1(∴21=++=+=•++=z z z zz i z3、若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________.【答案】 x=-2 【解析】2-2-)0,2(2)0,2(159222==∴=∴=+x x px y y x 所以，是其准线方程为焦点为右焦点为4、设⎩⎨⎧+∞∈-∞∈=),,[,),,(,)(2a x x a x x x f 若4)2(=f ，则a 的取值范围为_____________.【答案】 ]2,∞-( 【解析】]2,∞-(.2≤),∞,[∈2∴4)2(所以，是解得a a f +=5、若实数x,y 满足xy=1,则2x +22y 的最小值为______________. 【答案】 22 【解析】22,2222≥22y ∴1222222所以，是=•+=+=x x x x x xy6. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面所成角的大小为 （结果用反三角函数值表示）。

【答案】 22arctan 【解析】22arctan 22arctan θ,22θtan 83ππ∴3,π221,,2222222222所以，是，即解得，化简得则底面半径设圆锥高底侧底侧=====+=+•==+••=rhh r r h r r h r r S S r S h r r S r h π7. 已知曲线C 的极坐标方程为)sin 4cos 3(θθρ-=1，则C 与极轴的交点到极点的距离是 。

【答案】 31【解析】31).0,31(14-3∴1)θsin 4-θcos 3(ρ所以，是交于点==y x8. 设无穷等比数列{n a }的公比为q ，若)(lim 431 ++=∞→a a a n ，则q= 。

【答案】 21-5【解析】21-5).(25-1-,1251-,01-∴-1-1)-1-1(lim )(lim ,1≠22132-3∞→543∞→1所以，是舍去或解得=>+==+==•=++++=q q q q q q a q a q q a a a a a a q n n n n9. 若2132)(--=x x x f ，则满足0)(<x f 的x 取值范围是 。

【答案】 )1,0( 【解析】)1,0(.101,01-0,0-67676721--32Q <<∴<<∴><x x x x x x10. 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率 是 （结构用最简分数表示）。

【答案】 151【解析】151.1518310所以，是概率==C p11.已知互异的复数a,b 满足ab ≠0，集合{a,b}={2a ,2b },则a+b= 。

【答案】 -1 【解析】1-.1-),-)((--,0≠,0≠,≠,20≠,0≠,≠,)1(.222222所以，是解得则且，）若（，则解集为空且，若若分类讨论b a a b a b b a b a b a b a a b b a b a b a b b a a +=+=+=====12.设常数a 使方程sin x x a =在闭区间[0,2π]上恰有三个解123,,x x x ，则123x x x ++= 。

【答案】 37π【解析】37ππ23π0]π2,0[∈,)3πsin(2π3π2π,,03]π2,0[∈,sin 2]π2,0[∈,)3πsin(2cos 3sin 2212321221221==+∴====+==+=====+=+x x x x x x x x a x x x x x x x x a x x a x x x ，，时，当，根，则时有当13.某游戏的得分为1,2,3,4，5，随机变量ξ表示小白玩游戏的得分。

若()ξE =4.2，则小白得5分的概率至少为 。

【答案】 2.0 【解析】是最小值这时，取最小值取最大值时，同理，当这时，取最小值取最大值时，即当则设解析则为对应的概率分别设随机变量2.0∴1,02.4431,220.2.44321,20,2≤-22],1,0[∈2.44321543220130616ξ,,,,,3737805925,4,3,2,1ξ55432154543354353222323254325432154321==+====+++==++++==+=+=++++=++++==p p p p p p p p p p p p p p p p p p p m p m p p m p p p p p p p p p p p E p p p p p qq14.已知曲线C：x =l ：x=6。

若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为 。

【答案】 ]3,2[【解析】]3,2[]3,2[∈∴]0,2-[∈,62),6(),,()0,(∴,0]0,2-[∈211111所以，是的中点为轴左侧，的半个圆，在图像是半径为m x x m t Q y x P m A AQ AP x y C +==+二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。

15.设R b a ∈,,则“4>+b a ”是“2,2>>b a 且”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 【答案】 B 【解析】Bb a b a b a b a 所以，选必要不充分条件是必要条件成立，则且若不是充分条件且无法推出显然，.∴422∴22,4∴>+>>>>>+16.如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，)8,...,2,1(=i P i 是上底面上其余的八个点，则)8,...,2,1(=⋅→→i AP AB i 的不同值的个数为（ ）（A ）1 (B)2 (C)4 (D)8 【答案】 A 【解析】A∴111,cos ||||选只有一个值=•>=<•=•AP AB AP AB AP AB17.已知),(111b a P 与),(222b a P 是直线y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组⎩⎨⎧=+=+112211y b x a y b x a 的解的情况是（）（A ）无论k ，21,P P 如何，总是无解 （B)无论k ，21,P P 如何，总有唯一解 （C ）存在k ，21,P P ，使之恰有两解 （D ）存在k ，21,P P ，使之有无穷多解 【答案】 B 【解析】B. y x,-,1,1)-(1-00)-()-(0)-()-(∴1,1≠)-(-∴1,111112121212122112121212211选唯一解有所以，即，化简：代入：，即即，k x y y k a b y b ky a ky x y a a k x a a y b b x a a y b x a y b x a a a a a k b b ka b ka b ====+=+=+=+=+=+=+=+=18. ⎪⎩⎪⎨⎧>++≤-=,0,1,0,)()(2x a x x x a x x f 若)0(f 是)(x f 的最小值，则a 的取值范围为（ ）。

(A)[-1,2] (B)[-1，0] (C)[1，2] (D)[0，2]【答案】 D 【解析】Da aa f x a a xx x f x a x x f 选解得是单调递增的，且是单调递减的，.2≤≤02)0(0,21)(0,)-()(22+≤=>+≥++=≤=三．解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。

19、（本题满分12分） 底面边长为2的正三棱锥P ABC -,其表面展开图是三角形321P P P，如图，求△321P P P的各边长及此三棱锥的体积V.【答案】 4,4,4； 322【解析】322-32236233131-∴362,)332(-2,-4ΔP P ΔP 2AC ΔP BC,ΔP AB,ΔP ∴2ΔAC ΔP BC,ΔP AB,ΔP ∴-Δ222321321321的体积为所以，正三棱锥的体积正三棱锥解得则高为设正三棱锥的正三角形是边长为所以，的正三角形均是边长为的正三角形，是边长为为全等等腰三角形是正三棱锥ABC P h S V ABC P h h h ABC P ABC ABC P ABC =••=••===20.（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分8分。

设常数0≥a ，函数aax f x x -+=22)(（1）若a =4，求函数)(x f y =的反函数)(1x fy -=；（2）根据a 的不同取值，讨论函数)(x f y =的奇偶性，并说明理由. 【答案】(1) )∞(1,)1,-∞-(∈,1-1log 2)(21-+∪++=x x x x f(2)是非奇非偶函数；时，，且且当是奇函数；时，是偶函数；当时，当)(1≠0≠,0)(1)(0x f a a a x f a x f a >==【解析】 (1))∞(1,)1,-∞-(∈,1-1log 2)(.1-1log 2)1-44(log ,1-442,42)4-2(∴)∞)(1,1,-∞-(∈4-242-22)(421-22+∪++=++=+=+=+=++=+===x x x x f y y y y x y y y a a x f y a x x x x x x x 所以即解得时当(2)是非奇非偶函数；时，，且且当是奇函数；时，是偶函数；当时，当所以是奇函数时，若是偶函数，时，若或则若定义域对称的的奇偶性讨论如下)(1≠0≠,0)(1)(0,)(∴)(-2-1211-212)-(1-212)(0)2()(∴1)(0)1(1,0,.-22)(--x f a a a x f a x f a x f x f x f x f a x f x f a a a aax f y xx x x x x x x >===+=+=+======+==21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某公司要在A B 、两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米，设A B 、在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为βα和.（1）设计中CD 是铅垂方向，若要求βα2≥，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后.CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得，，45.1812.38==βα求CD的长（结果精确到0.01米）？【答案】 (1) 米28.28 (2) 米93.26【解析】 (1)米的最大长度是所以，解得）（即则令28.2828.2822000,h -8080h 280h -180h2≥35h 0βtan -12tan ββ2tan ≥αtan ∴0β2≥α2π80h CB h βtan ,35h DC h αtan ,2222AC h h DC ≈≤<>•=•>=>>=====(2)米的长度是所以，米解得中，由余弦定理得，在解得中，由正弦定理得，在设93.2693.26≈,18.45cos 802-80CD Δ064.85≈sin38.12)18.45sin(38.128035,)18.45sin(38.128035sin38.12m Δ,,222AC h m m h B m ABD m BD h DC °•••+=°•°+°+=°+°+=°==22（本题满分16分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.在平面直角坐标系xOy 中，对于直线l ：0ax by c++=和点),,(),,(22211y x P y x P i 记1122)().ax by c ax by c η=++++（若η<0，则称点21,P P 被直线l 分隔。