b： t b b sb MSe ， dfn2
SSx
式中：S b ：回归系数标准误;
误差均方： MSeSSY bSP
n2
时拒绝 t tn2,(双侧 )
H0
。
a：t a
a
sa
MS(e1
2
x
)
，
dfn2
n SSX
时拒绝 t tn2,(双侧 )
H0
。
11
例8－1. 从小白鼠出生后的第六天起，每隔3 天称重一次，直到第18天，得到如下数据，试计 算日龄 x 与体重 y 的直线回归方程，并对回归关 系进行显著性检验。
U b S 1 P .4 1 2 1.4 6 76
Q Sy S U 2 8 13 .7 4 1 6.0 66
（2）F检验：
FU (n2)1.7 4 6 (52)4.96
Q
1.0 66
因为 F4.9 6F 0.0(1 5 ,3)1.1 0，3 所以， p0.05 。说明小白鼠体重和日龄间
的直线关系不显著。
n 观测值的对数; x 自变量的总和; x2自变量的平方和 y 因变量的总和; y2 因变量的平方和; xy 两变量的乘积和
6
（2）由一级数据推算5个二级数据：
SxS
x2(
x)2
;
n
SySy2(ny)2(显著性检验时采用);
SP x y( x)n ( y) ;
SP（乘积和）：表示变量x的离均差和y的离均
n6
x 0 . 1 0 . 0 0 . 0 9 0 . 0 8 0 . 0 7 5 0 . 0 6 0 . 4 56 5 x 2 0 . 1 2 0 . 0 2 0 . 9 0 2 0 8 . 0 2 5 0 . 7 0 2 0 . 6 0 2 5 0 . 05 y 0 . 7 0 . 7 5 0 . 8 8 0 . 8 0 0 . 8 5 0 . 8 8 4 . 9 95 y 2 0 . 7 2 0 . 5 7 2 0 . 8 2 0 . 0 8 2 0 . 5 8 2 0 . 8 4 . 0 99
4 .09 99 0 .0161
n
6
S P x y ( x ) n (y ) 0 .37 0 .4 4 6 4 6 4 .9 5 5 0 .00
y 2 1 2 2 1 2 7 2 2 2 2 2 5 2 2 9 2488
x 6 y 1 9 2 1 7 1 2 8 1 938
13
（2）由一级数据推算5个二级数据：
SxS
x2(
x)2 8
1 306 900
n
5
SyS
y2(
y)224 1 82 0 8 2 583
直线回归与相关分析
第八章
第一节 第二节 第三节
回归与相关的概念 直线回归 直线相关
第一节：回归与相关的概念
பைடு நூலகம்因果关系
相
一个变量的变化受另一个 变量或几个变量的制约
关
回归分析（regression analysis）
变 量 平行关系
两个以上变量之间共同受 到另外因素的影响
相关分析（correlation analysis）2
回归和相关分析结果仅适用于自变量的试验取值 范围。
8
2. 进行直线回归分析时应符合的基本条件 （基本假定）
（1）x是没有误差的固定变量；而y是随机 变量，具有随机误差。
（2）x的任一值都对应着一个y的总体，且 呈正态分布。
（3）随机误差是相互独立的，且呈正态分 布。
9
二、假设检验
对两个变量间的线性关系的显著性进行检验时， 采用的方法是 F 检验或 t 检验。
x 0 . y 1 0 . 7 0 . 0 5 0 . 7 9 8 0 . 0 0 . 5 8 0 . 5 3 97 18
（2）由一级数据推算5个二级数据：
SxS
x2(
x)20 .03 6 0 .48 26 5 0 .0015
n
6
SyS
y2 (
y)2
4 .925
直线回归中，只有一个自变量，所以回归平方和 的自由度为1，离回归平方和的自由度为n－2 。
1. 计算回归平方和U和离回归平方和Q：
UbSP; QSSy U
2. F检验： F U/1 U(n2) Q/n (2) Q
F1n,2F;p
说明两个变量间存在显著性的线性回归关系。 10
3. b和 a的显著性检验：
n
5
S P x y ( x ) n (y ) 13 68 5 1 06 0 15 26
xx6012 n5
yy10521 n5
14
（3）计算回归系数b和截距a的值：
b SP1261.4 SSx 90
ay b x 2 1 .4 1 2 4 .2
（4）列出回归方程： y4.21.4x
15
（二）假设检验： （1）计算回归平方和U和离回归平方和Q：
序号
1
2
3
4
5
日龄 x
6
9
12
15
18
体重 y
12
17
22
25
29
12
（一）求回归方程： （1）由观测值计算6个一级数据
n5
x 6 9 1 1 2 1 5 8 60 x 2 6 2 9 2 1 2 2 1 2 5 1 2 8 810 y 1 1 2 2 7 2 2 2 5 1 905
差的乘积之和，简称乘积和，记作SP。
x x ;
y y
n
n
7
（3）计算回归系数b和截距a的值：
b SP SS x
a ybx
( b (xi(xix)(yxi)2y)SSxSP)
回归系数：回归直线的斜率叫做回归系数，其含 义是自变量x增加一个单位，y平均增加或减少的单 位数。
（4）列出回归方程： yabx
研究“一因一果”，即一个自变量与一个依 变量的回归分析称为一元回归分析；
直线回归分析
曲线回归分析
研究“多因一果”，即多个自变量与一个依 变量的回归分析称为多元回归分析。
多元线性回归分析 多元非线性回归分析
一、回归方程的建立和直线回归的基本假定
1．回归方程的建立(求出离差最小的直线)
（1）由观测值计算6个一级数据
16
例8－2. 研究了鲟鱼对某种饲料的摄食率 （x）和消化率（y），得到如下资料，试求出 直线回归方程，并进行显著性检验。
编号 摄食率x 消化率y
1
2
3
4
5
6
0.1 0.09 0.085 0.07 0.06 0.055
0.75 0.78 0.80 0.85 0.88 0.89
17
（一）求回归方程： （1）由观测值计算6个一级数据