13
N的总不确定度△N :
N
(
f x
)2

2 x

(
f y
)2

2 y

( f z
)2
z
2


N的相对不确定度:
Er

N N

(
ln x
f
)2 2x

( ln y
f
)2 2y

(
ln z
f
)2 2z

常用的不确定度传递公式见P9
14
1、函数关系为加减的，先求总不确定度
有效数字的多少，往 往反映出测量时所用 的仪器
②当“0”不用作表示小数点位置时,即“0”在数 字中间或末尾时是有效数字. (1.35cm≠1.3500cm)
18
二 有效数字运算法则
1.可靠与可靠→可靠
2.可疑与
可靠 可疑
可疑
但进位是可靠的。
3.尾数的取舍原则：4舍6入5凑偶。5凑偶后使末位 为偶数。否则将5舍去。（不确定度的相关规定另 外说明）
M
D
H
Er
从而，求得
17
§2 有效数字及运算法则
一、有效数字
1．定义：若干位可靠数字加一位可疑数字构成。 例：6.35mA 3位； 102.50Kg 5位；
l=10.34cm 4位。
注意：①数字前面“0”不是有效数字 0.0436m 0.0000436km 4.36cm
①加减法
结果的有效字位数与诸数中绝对误差最大者的有效数 字的末位对齐。
例：6.35－1.7+5.003=9.6
19
②乘除法
结果的有效数字位数与诸数中有效数字位数最少者 相同。
例：6.02515 9.6 9.43
③乘方，开方
结果的有效数字位数与自变量的有效数字位数相同。
例：4.322 18.7
机 误 差
感官限制 本身不均匀性
* 随机误差的正态分布：
单峰性
性 质
有对界称性性

抵偿性lim
1

n n
n i1
Ni

0
测量值的置信概率：
x2
P p(x)dx
x1
3
其中：p（x）为概率密度。
取μ为n→∞时测量的平均值，σ为正态分布的 标准偏差，则有：

即： 取A＝Sx
(7)
若n不在此范围或要求更高，用 公式（6）
2. 总不确定度的B类分量△ B: ——指测量仪 器误差带来的不确定度。
8
（1） 对于单次测量：其B类不确定度△B＝△仪； (单次测量的ΔA=0)
（2）对于多次测量：为了简化教学，规定B类不确
定度：
B
1 3
仪
(8)
当△仪未知时，取仪器的最小分度值的一半为△仪。
4
（3）标准偏差Sx
定义： Sx
(xi x)2 n 1
Bessel公式 (3)
为n次测量的标准偏差。
5
二、测量结果的表示 1.用总不确定度表示
x xx
x


x与x


之间出现真切值可能性较大
x
2.用相对不确定度表示
Er

x x
100%
3.用百分偏差表示
B x x公 100% x公
大学物理实验
绪论
1
第一章 测量的不确定度和数据处理方法
§1 测量的不确定度
一 、测量与误差 1.直接测量与间接测量 2.测量误差 及误差的种类
仪器误差
（1）系统误差 理论误差方法误差
（有一定的规律） 条件误差 习惯误差
可通过一定的方法来减少或“消除”
2
（2）
随 条件微小差异
P p(x)dx 0.68
2
P p(x)dx 0.95 2
3.随机误差的估计：
(1) 算术平均值 对于有限次的n个等精度测量值
x1, x2 , x3, xn （2）每次测量的算术平均偏
x

1 n
n i 1
xi
差 (残差）
xi xi x
④对数
(1)自然对数的有效数字位数与真数的有效数字位 数相同。
需要注意的是：一些常用的长度测量仪器的仪器 不确定度由其测量范围决定，并不是其最小分度 值的1/2。（P30）
11
例：用千分尺分别测量铜棒的直径得到下列
数据：
直径 D (mm)
7.859 7.854 7.846
7.857
7.854
D
Di
S A
x
B2

1 3
仪2
0.005
0.000 0.005
3. 总不确定度的合成 遵循 “方一和一根” 的基本方法，
2A 2B9小：△A单次测量 直
0
接
测
量
多次测量 Sx
△B △仪
1 3 仪
2A 2B
△＝△仪

S
2 X
2仪
/3
10
例：用米尺测得金属棒的长度为35.68cm,则应将
结果表示为L=(35.68±0.05)cm.
直接将函数对各自变量求偏导，再代入公式（13）
例：N x y3
则 N x y3
N
x2

(3 y 2
)2

2 y
结果： N (x y3) N
15
2、函数关系为乘除的，先求相对不确定度
（1）将函数两边取对数，再对各自变量求偏导， 再代入公式（14）
(2)
求出N并由Er
6
三 直接测量总不确定度的估算和结果的表示 1. 总不确定度的A类分量△ A: ——指多次重 复测量用统计方法计算出的不确定度。 （1）单次测量 △ A=0
7
（2）多次测量
N趋于无穷时， 服从正态分布, 而进行有限次测量，一般服从t分布(学生分布)。
大学物理实验中n的次数一般不大于10次 , 在5＜n≤10时，作△A＝Sx近似，置信概率p为0.95 或更大。所以作为简化计算，可直接把Sx的值当 作测量结果的总不确定度的A类分量△A。
7.854 0.008 0.003
0.000006
0.000
D
0.006
结果
D (7.854 0.006)mm
12
四、 间接测量结果及不确定度的计算 设间接测量的函数关系式为： N＝f (x，y，z……)，
其中x，y，z为相互独立的直接测量量，N为 间接测量量 。
设x, y, z，的不确定度分别为△x、△y、△z， 它们必然影响间接测量结果，使N也有相应的 不确定度△N

N N
求得 N Er N
16
例：
4M D 2 H
已知：M M M , D D D H H H
Ln Ln 4 LnM 2LnD LnH
对各直接测量量偏导：
1 ; 2; 1 M DH
而



4M
2
DH
Er




(M )2 (2 D )2 (H )2