b a
f ( x )dx G ( b) G ( b) G ( a ) F ( b) F ( a ) .
严格证明: 设 { [ xk 1 , xk ]: k 1, 2, , n } 是 [a, b] 的分割,其中 a x0
x1 x2 xn b .由 Lagrange 中值定理,可取 tk ( xk 1 , xk ) 使得 F ( xk ) F ( xk 1 ) f (tk )( xk xk 1 ) , k 1,2,, n .
f (
k 1
n
k
)( xk xk 1 )
n
1

.
这说明不可能存在有限极限 lim f ( k )( xk xk 1 ) ,从而与 f 在 [a, b]
0
k 1
上可积相矛盾.□
定理 7.3(积分区间的可加性) 设 f 是有限闭区间 [a, b] 上的函数, c
f (k )( xk xk 1 ) f (k )( yk yk 1 ) ,
k 1 k 1
m
n
故

b
a
n m f ( x )dx lim f (k )( xk xk 1 ) f (k )( yk yk 1 ) 0 k 1 k 1 c b
(1) 将 [a, b] 分割成 n 个小闭区间 { [ xk 1 , xk ]: k 1, 2, , n } ,其中
a x0 x1 x2 xn b ,称 max( xk xk 1 ) 为 [a, b] 的分割 的模；
1 k n
(2) 对 每 个 小 闭 区 间 [ xk 1 , xk ] , 任 取 k [ xk 1 , xk ] , 建 立 和 式

b a
, k 1,2,, n .于是,
n
v(
k 1
n
k
)(tk tk 1 ) L [max v(I k ) min v(I k )](tk tk 1 ) .
k 1 n
这说明, lim v (k )(tk tk 1 ) L .□
0
定理 7.1 的推广(Newton-Leibniz 公式) 若 [a,b] 上的可积函数 f 有原函
数 F, 则

b
a
f ( x )dx F ( x ) |b a F ( b) F ( a ) .
证: 设 { [ xk 1 , xk ]: k 1, 2, , n } 是 [a, b] 的分割,其中 a x0 x1


定理 7.4
设 f 是有限闭区间 [a, b] 上的非负连续函数,那么
(1) f 0

b
a
f ( x )dx 0 ； (2) f 0

b
a
f ( x )dx 0 .
证: 因为(1)和(2)是同一个结论,故只需证(1).
“ ”.假定 x0 [a, b] 使得 f ( x0 ) 0 ,则存在 [ , ] [a, b], x0 [ , ] , 使得 x [ , ] 成立 f ( x ) f ( x0 )
f ( x )dx f ( x )dx .□
a c
122
约定 对于 [a, b] 上的可积函数 f ,约定
(1)

a
b
f ( x )dx f ( x )dx ；(2)
a
b

a
a
f ( x )dx 0 .

于是, , , [a, b] ,总成立 f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx .
故
f (t
k 1
n
k
)(xk xk 1) [ F ( xk ) F ( xk 1 )] F (b) F ( a) .
k 1
n
0, 0 , , k [ xk 1 , xk ] 都成立 f (k ) f (tk )
k 1
物理背 2
设质点在力 F ( x ) 的作用下从直线上的 a 处移动到 b 处,
则也可用类似的方法计算力 F ( x ) 对该质点所做的功.
物理背景 3
对于一根以 ( x ) 为电荷密度的细直棒,也可用类似的方
法计算该细直棒所带的总电量.
定义 7.1 设 f 是有限闭区间 [a, b] 上的函数.
k 1 n
n
这说明, lim f (k )( xk xk 1 ) S .□
0
k 1
物理背景 1 设质点在直线上以速度 v (t ) 运动,如何计算在时刻 a 到时
刻 b 这段时间内该质点的位移 L ?
解: (1) 将时间段 [a, b] 分割成 n 个小时间段 {I k [tk1, tk ]: k 1,2,,n} ,
1 k n
(2) 对每个小闭区间 [ xk 1 , xk ] ,任取 k [ xk 1 , xk ] ,建立和式
f (
k 1
n
k
)( xk xk 1 ) ,
n
则
min f (I )(x x
k 1 k k
n
k1
) S , f ( k )(xk xk1) max f (I k )(xk xk1) ；

ba
(x x
k 1 k
n
k 1
) .
120
即

b
a
f ( x )dx lim f ( k )(xk xk 1) F (b) F ( a) .□
0
k 1
n
注记 7. 1 以后会看到, [a,b] 上的连续函数一定是可积函数； 任意区间
上的连续函数一定有原函数.
x2 xn b .由 Lagrange 中值定理,可取 tk ( xk 1 , xk ) 使得 F ( xk ) F ( xk 1 ) f (tk )( xk xk 1 ) , k 1,2,, n .
故 于是,
f (t
k 1 b
n
k
)(xk xk 1) [ F ( xk ) F ( xk 1 )] F (b) F ( a) .
则 f 在 [a, b] 上可积,并且

b
a
f ( x )dx F ( x ) |b a F ( b) F ( a ) .
直观证明: 如图所示,以 G ( x ) 表示阴影部分的面积,则
lim G( x h) G( x) f ( x) . h 0 h
这说明 G 是 f 在 [a, b] 上的一个原函数,故 F ( x ) G ( x ) c, x [a, b] . 于是,
第7章
§7.1
几何背景
函数的积分
积分的概念
设 f 0 是有限闭区间 [a, b] 上的连续函数,由 x a, x b,y 0
和 y f (x) 所围成的曲边梯形的面积 S 存在,如何计算 S ? 解: (1) 将 [a, b] 分割成 n 个小闭区间 {I k [ xk 1 , xk ]: k 1,2,, n} , 其中 a x0 x1 x2 xn b ,记 max( xk xk 1 ) ；
(4)

b
a b
[ f ( x ) g ( x )]dx f ( x )dx g ( x )dx ；(线性性质)
a a
b
b
a
f ( x )dx f (t )dt .(定积分与积分变量无关)
a
b
定理 7.1(Newton-Leibniz 公式) 若 [a, b] 上的连续函数 f 有原函数 F ,
c
b
证: 有关可积性的结论易由§7.6 的 Lebesgue 定理得到.对于 [a, b] 的
分割 ,其分点为 a x0 x1 xm c y0 y1 yn b ,任取 k [xk1 , xk ]
( k 1,2,, m) ,k [ yk 1 , yk ] ( k 1,2,, n ) ,相应于分割 的和式便为

b a
, k 1,2,, n .
于是,
f (
k 1
n
k
)(xk xk 1) [ F (b) F ( a)]
n


k 1 n k 1
n
f (k )(xk xk 1) f (tk )(xk xk 1)
k 1
f (k ) f (tk ) (xk xk 1)
其中 a t0 t1 t2 tn b ,记 max(tk tk 1 ) ；
1 k n
(2) 对每个小时间段 [tk 1 , tk ] ,任取 k [tk 1 , tk ] ,建立和式
v(
k 1
n
k
)(tk tk 1 ) ,
n
则
minv(I )(t t
k 1 k 1
n
(3) 0, 0 , ,成立 max f (I k ) min f (I k )
k 1,2,, n .于是,

b a
,
f (
k 1
n
k
)( xk xk 1 ) S [max f (I k ) min f (I k )]( xk xk 1 ) .
若函数 f 在有限闭区间 [a, b] 上可积,则
定理 7.2(可积的必要条件)
它必在 [a, b] 上有界.