z
绕 z 轴旋转一周
.
C
o
y
x
求旋转面的方程
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
得旋转曲面 S
绕 z轴旋转一周
z
M(x,y,z) S
P M
N (0, y1 , z1 )
.
f (y1, z1)=0
z1 z
| y1 | MP
2
S
x2 y2
z
o
z1
C
.
S：f ( x y , z ) 0
一、旋转曲面
通过轴线的平面与旋转曲面相截
所得的平面曲线叫旋转曲面的子

Ｌ
午线。

任意一条子午线都可以当做这个 旋转曲面的生成曲线。
Ｃ
求旋转面的方程
1、坐标面上曲线绕坐标轴旋转所成的旋转曲面方程 z
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
绕z轴 C o
y
x
求旋转面的方程
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
பைடு நூலகம்
x y
f (t ) g (t ) cos 2 2 f (t ) g (t ) sin ,(a t b,0 2 )
2 2
z h(t )
例4
x y z 1 ： 求直线 绕 Z轴旋转所得的旋转曲面的方程 2 1 0
z
例 2：求 oyz 平面上的直线 y=ztanθ 绕 z 轴旋转一周所得旋转曲面方程．
O
y x z tan
2 2
y
x
即： x 2 y 2 z 2 tan2 0
2 2 2 例3：将oyz平面上的圆 （y b) z r (b r 0)
绕 Z轴 旋转一周所成的曲面方程 z
第三节 旋转曲面、二次旋转曲面 • 一、旋转曲面
• 二、二次旋转曲面
• 三、基本类型二次曲面方程 • 四、基本类型二次曲面图形与性质
一、旋转曲面
定义：空间中一条曲线Ｃ绕一条直线Ｌ旋转一周所成的曲 面称为旋转曲面。
z
旋转曲面的生成 平面曲线 C 曲线
绕定直线旋转 旋转曲面的轴
O
y
形成旋 转曲面
x

f ( y , x z ) 0 。
2 2
一般地，
欲求将平面曲线绕某轴旋转的曲面方程，只需将 其对应的坐标不动，而另一变量换成其余二变量的完 全平方和之正负方根的形式。
例 1：将 oyz 平面上的直线 z=R 绕 y 轴旋转一周所 得旋转曲面方程．
z 2 x2 R
即： x 2 z 2 R 2
x
( x y b) z r
2 2 2 2 2
即 ( x y z b . r 2 )2 4b2 ( x 2 y 2 )
2 2 2
. 2
圆环面
.
救生圈
求旋转面的方程
2、不在坐标面上曲线绕坐标轴旋转所成的旋转曲面方程
x f (t ) 曲线 C y g (t )( a t b) 绕 z 轴旋转一周所得曲面方程。 z h(t )
2
y1
y
x
在这里， 将 oyz 面 上 有 一 曲 线 f ( y, z) 0 中 y 换 成 了
x 2 y 2 ， z 不变即得曲线绕 z 轴旋转的曲面方程．
f ( x 2 y 2 , z ) 0
同理，
oyz 面上的曲线 f ( y, z) 0 绕 y 轴旋转的曲面方程为
o
r
b
y
2 2 2 例3：将oyz平面上的圆 （y b) z r (b r 0)
绕 Z轴 旋转一周所成的曲面方程
z
o
y
.
x
2 2 2 例3：将oyz平面上的圆 （y b) z r (b r 0)
绕 Z轴 旋转一周所成的曲面方程
z
生活中见过这个曲面吗？
o
y
.