苏科版八年级上册数学 三角形解答题（培优篇）（Word版 含解析）

一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）

1．如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，1与2互补.

(1)试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由.

(2)如图2，BEF与EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GHEG，求证：//PFGH.

(3)如图3，在(2)的条件下，连接PH，K是GH上一点使PHKHPK，作PQ平分EPK，求HPQ的度数.

【答案】(1)AB//CD，理由见解析；(2)证明见解析；(3)45HPQ.

【解析】

【分析】

（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF、∠CFE互补，即可证明；

（2）利用（1）中平行线的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理可得∠EPF=90°，即EG⊥PF，再结合GH⊥EG，即可证明;

（3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得∠A=90°-∠3=90°-2∠2；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知∠QPK=-12∠EPK=45°+∠2，最后根据角与角间的和差关系即可求解.

【详解】

(1)//ABCD，

理由如下：如图1，

图1

∵1与2互补，

∴12180，

又∵1AEF，2CFE，

∴180AEFCFE，

∴//ABCD；

(2)如图2，由(1)知，//ABCD，

图2

∴180BEFEFD．

又∵BEF与EFD的角平分线交于点P，

∴1(2)90FEPEFPBEFEFD，

∴90EPF，即EGPF．

∵GHEG，

∴//PFGH；

(3)如图3，

∵PHKHPK，

2PKGHPK.

又∵GHEG，

∴90902KPGPKGHPK．

∴180902EPKKPGHPK．

∵PQ平分EPK，

∴1452QPKEPKHPK．

∴45HPQQPKHPK．

【点睛】

本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和定理等知识.解题过程关注中“数形结合”思想是解答本题的关键.

2．小明在学习三角形的知识时, 发现如下三个有趣的结论：

(1)如图①, ∠A＝∠C＝90°, ∠ABC的平分线与∠ADC的平分线交于点E, 则BE、DE的位置关系是 ；

(2)如图②, ∠A＝∠C＝90°, BE平分∠ABC, DF平分∠ADC的外角, 则BE与DF的位置关系是 ；

(3)如图③, ∠A=∠C＝90°, ∠ABC的外角平分线与∠ADC的外角平分线交于点E, 则BE、DE的位置关系是 . 请你完成命题 (3)证明.

【答案】（1）BE⊥DE； （2）BE//DF； （3）BE⊥DE.证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)由∠A＝∠C＝90°可以得到∠HDC＝∠ABH,设∠HDC＝∠ABH=x，可得∠HDG＝∠CDG=∠FBH＝∠ABF=12x，则有∠CDG+∠CGD=90°，由∠CGD=∠BGE,可得∠BGE+∠FBE=90°，即BE⊥DE；

(2) 由∠A＝∠C＝90°可以得到∠HDC＝∠ABH,设∠HDC＝∠ABH=x，可得∠EBH＝∠ABE=12x,则∠DGE=90°+12x，∠CDM=180°-x，由DF平分∠CDM,则∠CDF=12 （180°-x），所以∠CDF+∠HDC=12 （180°-x）,然后运用同位角相等，即可证明；

（3）设∠BFA＝∠CFD=x,由∠A＝∠C＝90°可以得到∠EBC＝∠FDN=90°+x，由根据题意可得：∠EDF＝∠EBF=12（90°+x）；且∠BFD=180°+x，最后用四边形内角和，求出∠BED=90°，完成证明.

【详解】

解：（1）BE⊥DE，理由如下：

∵∠A＝∠C＝90°，∠DHC＝∠BHA

∴∠HDC＝∠ABH

设∠HDC＝∠ABH=x

∵∠ABC的平分线与∠ADC的平分线交于点E

∴∠HDG＝∠CDG=∠FBH＝∠ABF=12x

又∵∠CDG+∠CGD=90°，∠CGD=∠BGE

∴∠BGE+∠FBE=90°，即BE⊥DE；

（2）

DF∥AB,理由如下：

∵∠A＝∠C＝90°，∠DHC＝∠BHA

∴∠HDC＝∠ABH

∵∠A＝∠C＝90°，∠DHC＝∠BHA

∴∠HDC＝∠ABH

∵BE平分∠ABH，

∴∠EBH＝∠ABE=12x

∴∠DGE=90°+12x

∵∠CDM=180°-x，DF平分∠CDM

∴∠CDF=12 （180°-x）=90°-12x

∴∠HDF=∠CDF+∠CDH=90°-12x+x=90°+12x

∴∠DGE=∠HDF

∴DF∥AB

（3）

BE⊥DE，证明如下：

设∠BFA＝∠CFD=x,

∵∠A＝∠C＝90°

∴∠EBC＝∠FDN=90°+x，

∵∠ABC的外角平分线与∠ADC的外角平分线交于点E

∴∠EDF＝∠EBF=12（90°+x）

又∵∠BFD=180°-∠AFB=180°-x

∴∠BFD=360°-12（90°+x）-12（90°+x）-（180°-x）=90°

即BE⊥DE

【点睛】

本题主要考查了直角三角形和多边形内角和的知识，考查知识点简单，但过程复杂，难度较大，运用方程思想是一个不错的方法.

3．如图，在△ABC 中，记∠A=x 度，回答下列问题：

（1）图中共有三角形 个．

（2）若 BD，CE

为△ABC 的角平分线，则∠BHC= 度（结果用含 x 的代数式

表示），并证明你的结论．

（3）若 BD，CE 为△ABC 的高线，则∠BHC= 度（结果用含 x

的代数式表示），并证明你的结论．

【答案】（1）图中共有三角形 8 个；（2）(90+ 12 x ) ；（3）(180－x).

【解析】

【分析】

本题考查的是三角形内角和定理，分析题意观察图形，根据三角形内角和为180°可知∠ABC=180-2x，根据角平分线的性质可以求出∠BHC，根据高线的性质可知∠CDB=∠BEC=90º，再次利用三角形内角和定理可以求答案

【详解】

解：（1）图中共有三角形 8 个；

（2）∠BHC=(90+ 12x )度．

∵BD，CE 分别是∠ABC，∠ACB 的平分线，

∴∠BHC=180º－∠HBC－∠HCB=180º－12 (∠ABC+∠ACB)= (90+ 12x )度．

（3）∠BHC=(180－x)度，

∵BD，CE 为△ABC 的高线，

∴BD⊥AC，CE⊥AB，

∴∠CDB=∠BEC=90º，

∵∠BEC+∠ABC+∠BCH=180°

∠CDB+∠ACB+∠CBH=180°

∴∠BEC+∠ABC+∠BCH+∠CDB+∠ACB+∠CBH=360°

∠ABC+∠BCH+∠ACB+∠CBH=180°

∵∠ABC+∠ACB=180°－∠A

∠BCH+∠CBH=180°－∠BHC

∴180°－∠A+180°－∠BHC=180°

∴∠BHC=(180－x)度

【点睛】

本题的关键是掌握三角形内角和定理

4．已知：点D是△ABC所在平面内一点，连接AD、CD．

（1）如图1，若∠A＝28°，∠B＝72°，∠C＝11°，求∠ADC；

（2）如图2，若存在一点P，使得PB平分∠ABC，同时PD平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明；

（3）如图3，在 （2）的条件下，将点D移至∠ABC的外部，其它条件不变，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明．

【答案】(1) 111º ；(2)

∠A－∠C=2∠P,理由见解析；(3) ∠A+∠C=2∠P,理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）延长AD交BC于E，利用三角形外角的性质即可求解；

（2）∠A－∠C=2∠P，由三角形外角等于不相邻的两个内角的和以及（1）结论即可求解；

（3）∠A+∠C=2∠P，由（2）结论以及角平分线的性质即可得到.

【详解】

（1）如图1,延长AD交BC于E，

在△ABE中，∠AEC=∠A+∠B＝28º+72º=100º，

在△DEC中，∠ADC=∠AEC+∠C＝100º+11º=111º ；

（2）∠A－∠C=2∠P，理由如下：

如图2，

∠5=∠A+∠1,∠5=∠P+∠3

∴∠A+∠1=∠P+∠3

∵PB平分∠ABC,PD平分∠ADC

∴ ∠1=∠2,∠3=∠4

∴∠A+∠2=∠P+∠4

由(1)知∠4=∠2+∠P+∠C

∴∠A+∠2=∠P+∠2+∠P+∠C

∴∠A－∠C=2∠P

（3）∠A+∠C=2∠P,理由如下:

如图3,

同（2）理知∠A+∠1=∠P+∠3,∠C+∠4=∠P+∠2

∴∠A+∠C+∠1+∠4=2∠P+∠2+∠3

∵PB平分∠ABC,PD平分∠ADC

∴ ∠1=∠2,∠3=∠4

∴∠1+∠4=∠2+∠3

∴∠A+∠C=2∠P

【点睛】

本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．

5．（1）如图1，有一块直角三角板XYZ（其中∠X=90°）放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY，XZ分别经过B，C两点，且直角顶点X在△ABC内部．