东南大学(2014～2015)年第一学期桥梁结构振动与稳定分析研究报告成绩：姓名：高明天学号：145511专业：桥梁与隧道工程授课教师：万水日期：2015年1月目录2薄板的振动理论及应用2.1薄板的自由振动薄板自由振动的一般问题是这样提出的：在一定的横向荷载作用下处于平衡位置的薄板，受到干扰力的作用而偏离这一位置，当干扰力被除去以后，在该平衡位置附近作微幅振动。

（1）试求薄板振动的频率，特别是最低频率。

（2）设已知薄板的初始条件，即已知处挠度及初速度，试求薄板在任意瞬时的挠度。

设薄板在平衡位置的挠度为),(y x w w e e =，这时，薄板所受的横向静荷载为),(y x q q =。

则薄板的弹性曲面微分方程为：q w D e =∇4 （a)式（a)标示：薄板每单位面积上所受的弹性力e w D 4∇和它所受的横向荷载q 成平衡。

设薄板在振动过程中的任意瞬时t 的挠度为),,(t t y x w w t =，则薄板每单位面积上在该瞬时所受的弹性力t 4w D ∇，将与横向荷载q 及惯性力i q 成平衡，即i q q w D +=∇t 4 （b)薄板的加速度是22tw t∂∂，因而每单位面积上的惯性力是 22tw m q ti ∂∂-=其中m 为薄板每单位面积内的质量（包括薄板本身的质量和随同薄板振东的质量），则式（b ）可以改写为22t 4tw m q w D t∂∂-=∇ (c)将式（c ）与式（a)相减，得到22t 4)(tw m w w D te ∂∂-=-∇由于),(y x w w e e =不随时间改变，02e2=∂∂t w ，所以上式可以改写成为 )()(22t 4e t e w w tm w w D -∂∂-=-∇ (d)命薄板在任意瞬时的挠度为e t w w w -=，而式(d)成为224twm w D ∂∂-=∇或0224=∂∂+∇t wD m w （2-1） 这就是薄板自由振动的微分方程。

微分方程(2-1)有如下形式的解答：),()sin cos (11y x W t B t A ww m m m m m m m mωω+==∑∑∞=∞= （2-2）在这里，薄板上每一点(x,y)的挠度，被标示成为无数多个简谐振动下的挠度相叠加，而每一个简谐振动的频率是m ω。

另一方面，薄板在每一瞬时t 的挠度，则被标示成为无数多钟振形下的挠度相叠加，而每一种振形下的挠度是由振形函数),(y x W m 标示的。

为了求出各种振形下的振形函数m W ，以及与之相应的频率m ω，我们取),()sin cos (y x W t B t A w ωω+=代入式(2-1),然后消去因子)sin cos (t B t A ωω+，得出所谓振形微分方程024=-∇W Dm W ω （2-3） 如果由这一微分方程求得W 的满足边界条件的非零解，即可由关系式WWm D 42∇=ω （e ）求得相应的频率ω。

自由振动的频率，称为自然频率或固有频率，它们完全决定于薄板的固有特性，而与外来因素无关。

实际上，只有当薄板的m 为常量时，才有可能求得函数形式的解答。

这时，命42γω=Dm（2-4)则方程（2-3)简化为常系数微分方程044=-∇W W γ （2-5）现在就可能比较简便地求得W 的满足边界条件的、函数形式的非零解，从而求得相应的γ值，然后再用（2-4）式求出相应的频率。

将求出的那些振形函数及相应的频率取为m W 及m ω，代入表达式（2-2），就有可能利用初始条件求得该表达式中的系数m A 及m B 。

设初始条件为。

),(),,()(0000y x t w y x w w t t ν=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=== 则由（2-2）式得。

),(),(),,(),(0101y x y x WB y x w y x WA m mmmmm mνω==∑∑∞=∞=于是可见，为了求得m A 及m B ，必将已知的初挠度0w 及初速度0v 展为m W 的级数，这在数学处理上是比较困难的。

因此，只有在特殊情况下，才有可能求得薄板自由振动的完整解答，即任一瞬时的挠度。

在绝大多数的情况下，只能求得各种振形的振形函数及相应的频率。

2.2四边简支的矩形薄板的自由振动取振形函数为bsins xn a x m inW ππ= （2a ） 其中m 及n 为整数，可以满足边界条件，代入（2-5）式，得 图2-10b sin s -a m 4222224=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x n a x m in b n ππγπ 为了这一条件在薄板中面上的所有各点都能满足，也就是在x 和y 取任意值时都满足，必须有22222444222224a m 0-a m ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⇒=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b n b n πγγπ （2b ）将式（b ）代入（2-4）式，得出自然频率的公式m D b n m D 22222442am ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==πγω （2c ） 命m 及n 取不同的整数值，可以求得相应于不同振形的自然频率m D b n mn⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22222a m πω （2-6）当薄板以这一频率振动时，振形函数为bsin s xn a x m inW mn ππ= 而薄板的挠度为bsins )sin cos (mn xn a x m int B t A w mn mn mn ππωω+= （2d) 则薄板在自由振动中任一瞬时的总挠度为∑∑∞=∞=+=11mn bsin s )sin cos (m n mn mn mn xn a x m int B t A w ππωω （2e) 初挠度0w 及初速度0v 标示成振形函数的级数为：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====∑∑∑∑∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞=。

b sin s v ,b sin s C w 1111011110x n a x m in D W D x n a x m inC W m n mn mnm n mn m n mn mn m n mn ππππ （2f) 按照级数展开的公式，有⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==⎰⎰⎰⎰。

dxdy x n a x m in ab D dxdy xn a x m in ab mn mn b sin s 4,b sin s w 4C a 0b00a 0bππνππ （2-7） 根据初始条件。

),(),,()(0000y x t w y x w w t t ν=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=== 由式（2e)及式（2f)得，，b sin s b sin s b sin s b sin s 11111111mn xn a x m in D x n a x m inB xn a x m in C x n a x m in A m n mn m n mn mn m n mnm n ππππωππππ∑∑∑∑∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞===由此得。

，mnmn A ωmnmn mn D B C ==代入式（2e),即得完整的解答如下：,bsin s )sin cos C (11mn ∑∑∞=∞=+=m n mn mnmnmn xn a x m int D t w ππωωω （2-8） 2.3两对边简支的矩形薄板的自由振动设薄板的x=0及x=a 的两边为简支边。

取振形函数为 ,s Y axm inW m π= （3a) 其中Y m 只是y 的函数，可以满足该简支边的边界条件。

将式（3a ）代入（2-5），得出常微分方程,02dy Y d 24442222244=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-m m m Y a m dy Y d a m γππ （3b ） 它的特征方程式 图2-2,022********=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-γππa m r a m r 而这个代数方程的四个根是22222222,γππγ-±+±am am （3c ） 大多数情况，2222a m πγ>，而式（3c)所示的四个跟是两实两虚，可以写做。

22222222,am i am πγπγ-±+± 注意D m ωγ=2，取正实数⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-=-=+=+=,,22222222222222a m D m a m a m D m a m πωπγβπωπγα （3d)则上述四个跟成为α±及βi ±，而式（b)的解答可以写成y C y C y C y C Y m ββααsin cos sinh cosh 4321+++=从而得振形函数的表达式()。

axm y C y C y C y C πββααsinsin cos sinh cosh W 4321+++= （2-9） 在少数情况下，2222a m πγ<，而式（3c)所示的四个跟都是实根。

这时，取正实数⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-=-=+=+=,',22222222222222D m a m a m am D m a m ωπγπβπωπγα （3e ）则振形函数的表达式成为()。

axm y C y C y C y C πββααsin'sin 'cos sinh cosh W 4321+++= （2-10） 其中1C 至4C 由y=0及y=b 处的四个边界条件求出。

2.4圆形薄板的自由振动薄板的自由振动微分方程仍然是（2-1），即0224=∂∂+∇twD m w （4a) 但其中),,(w t w ϕρ=，而 222222411⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∇ρρρρρ仍把方程（4a ）的解答取为无数多简谐振动的叠加，即),()sin cos (11ϕρωωm m m m m m m m W t B t A w w +==∑∑∞=∞= （4b ）为了求出m W 及相应的m ω，取),()sin cos A (ϕρωωW t B t w += （4c ） 代入方程（a)，仍得 044=-∇W W γ（其Dm24ωγ=） （4d ）方程（4d ）可以改写为 0))((2222=+∇-∇W γγ 也就是01111222222222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂+∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂+∂∂+∂∂W γρρρρργρρρρρ （4e ） 显然（4e ）的解也是（4d)的解。

取 ϕρn W cos )(F =， n=0,1,2,... （4f ） 将式（4f)代入式（4e ）,得常微分方程0F 122222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-±++ργρρρn d dF d F d 或引用量纲一的变量γρ=x 而得()0F 22222=-±++n x dxdF x dx F d x这一微分方程的解答是 )()()()(4321x K C x I C x N C x J C F n n n n +++= （4g ） 其中)(x J n 及)(N x n 分别为实宗量的、n 阶的第一种及第二种贝塞尔函数，)(I x n 及)(K x n 分别为虚宗量的、n 阶的第一种及第二种贝塞尔函数。