高考专题突破四高考中的立体几何问题【考点自测】1．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BC的中点，E为A1C1的中点，则DE与平面A1B1BA 的位置关系为()A．相交B．平行C．垂直相交D．不确定答案B解析如图取B1C1的中点为F，连接EF，DF，则EF∥A1B1，DF∥B1B，且EF∩DF＝F，A1B1∩B1B＝B1，∴平面EFD∥平面A1B1BA，∴DE∥平面A1B1BA.2．设x，y，z是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x，y，z均为直线；②x，y是直线，z是平面；③z是直线，x，y是平面；④x，y，z均为平面．其中使“x⊥z且y⊥z⇒x∥y”为真命题的是()A．③④B．①③C．②③D．①②答案C解析由正方体模型可知①④为假命题；由线面垂直的性质定理可知②③为真命题．3．(2018届黑龙江海林市朝鲜中学模拟)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．9＋4(2＋5) B．10＋2(2＋3)C ．11＋2(2＋5)D ．11＋2(2＋3)答案 C解析 根据三视图还原几何体为一个直四棱柱，两底面为四边形(侧视图)，其余各侧面为矩形，两底面面积为2⎝⎛⎭⎫12×2×2＋12×1×1＝5，四个侧面面积为2×2＋1×2＋2×5＋2×2＝6＋25＋22，几何体的表面积为11＋2(5＋2)，故选C.4．(2017·天津滨海新区模拟)如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD ⊥AC ；②△BAC 是等边三角形； ③三棱锥D －ABC 是正三棱锥； ④平面ADC ⊥平面ABC . 其中正确的是( ) A ．①②④ B ．①②③ C ．②③④ D ．①③④答案 B解析 由题意知，BD ⊥平面ADC ，故BD ⊥AC ，①正确；AD 为等腰直角三角形斜边BC 上的高，平面ABD ⊥平面ACD ，所以AB ＝AC ＝BC ，△BAC 是等边三角形，②正确；易知DA ＝DB ＝DC ，又由②知③正确；由①知④错．故选B.5．(2017·沈阳调研)设α，β，γ是三个平面，a ，b 是两条不同的直线，有下列三个条件： ①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________．(把所有正确的序号填上) 答案 ①或③解析 由线面平行的性质定理可知，①正确；当b ∥β，a ⊂γ时，a 和b 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.题型一 求空间几何体的表面积与体积例1 (2016·全国Ⅱ)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ，EF 交BD 于点H ，将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置． (1)证明：AC ⊥HD ′；(2)若AB ＝5，AC ＝6，AE ＝54，OD ′＝22，求五棱锥D ′-ABCFE 的体积．(1)证明 由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD ，又由AE ＝CF 得AE AD ＝CFCD，故AC ∥EF ，由此得EF ⊥HD ，折后EF 与HD 保持垂直关系，即EF ⊥HD ′，所以AC ⊥HD ′. (2)解 由EF ∥AC 得OH DO ＝AE AD ＝14.由AB ＝5，AC ＝6得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4，所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3，于是OD ′2＋OH 2＝(22)2＋12＝9＝D ′H 2， 故OD ′⊥OH .由(1)知AC ⊥HD ′，又AC ⊥BD ，BD ∩HD ′＝H ， BD ，HD ′⊂平面BHD ′，所以AC ⊥平面BHD ′，于是AC ⊥OD ′，又由OD ′⊥OH ，AC ∩OH ＝O ，AC ，OH ⊂平面ABC ， 所以OD ′⊥平面ABC . 又由EF AC ＝DH DO 得EF ＝92.五边形ABCFE 的面积S ＝12×6×8－12×92×3＝694.所以五棱锥D ′-ABCFE 的体积 V ＝13×694×22＝2322.思维升华 (1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积．(2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解． 跟踪训练1 (2018·乌鲁木齐质检)正三棱锥的高为1，底面边长为26，内有一个球与它的四个面都相切(如图)．求： (1)这个正三棱锥的表面积；(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积．解 (1)底面正三角形中心到一边的距离为13×32×26＝2，则正棱锥侧面的斜高为12＋(2)2＝3，∴S 侧＝3×12×26×3＝92，∴S 表＝S 侧＋S 底＝92＋12×32×(26)2＝92＋6 3.(2)设正三棱锥P －ABC 的内切球球心为O ，连接OP ，OA ，OB ，OC ，而O 点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r . ∴V三棱锥P －ABC ＝V 三棱锥O －P AB ＋V 三棱锥O －PBC ＋V 三棱锥O －P AC ＋V 三棱锥O－ABC＝13S 侧·r ＋13S △ABC ·r ＝13S 表·r ＝(32＋23)r .又V P －ABC ＝13×12×32×(26)2×1＝23，∴(32＋23)r ＝23，得r ＝2332＋23＝23(32－23)18－12＝6－2.∴S 内切球＝4π(6－2)2＝(40－166)π. V 内切球＝43π(6－2)3＝83(96－22)π.题型二 空间点、线、面的位置关系例2 (2017·广州五校联考)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是菱形，P A ＝PD ，∠BAD ＝60°，E 是AD 的中点，点Q 在侧棱PC 上．(1)求证：AD ⊥平面PBE ；(2)若Q 是PC 的中点，求证：P A ∥平面BDQ ； (3)若V P －BCDE ＝2V Q －ABCD ，试求CPCQ的值．(1)证明 由E 是AD 的中点，P A ＝PD 可得AD ⊥PE . 因为底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°， 所以AB ＝BD ，所以AD ⊥BE ， 又PE ∩BE ＝E ，PE ，BE ⊂平面PBE ， 所以AD ⊥平面PBE .(2)证明 连接AC ，交BD 于点O ，连接OQ .因为O 是AC 的中点，Q 是PC 的中点， 所以OQ ∥P A ，又P A ⊄平面BDQ ，OQ ⊂平面BDQ ， 所以P A ∥平面BDQ .(3)解 设四棱锥P －BCDE ，Q －ABCD 的高分别为h 1，h 2. 所以V 四棱锥P －BCDE ＝13S 四边形BCDE h 1，V 四棱锥Q －ABCD ＝13S 四边形ABCD h 2.又V P －BCDE ＝2V Q －ABCD ，且S 四边形BCDE ＝34S 四边形ABCD ，所以CP CQ ＝h 1h 2＝83.思维升华 (1)平行问题的转化利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化解决平行关系的判定问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而应用性质定理时，其顺序正好相反．在实际的解题过程中，判定定理和性质定理一般要相互结合，灵活运用． (2)垂直问题的转化在空间垂直关系中，线面垂直是核心，已知线面垂直，既可为证明线线垂直提供依据，又可为利用判定定理证明面面垂直作好铺垫．应用面面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，从而把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而可转化为线线垂直问题．跟踪训练2 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，E 是BC 的中点，求证：(1)平面AB 1E ⊥平面B 1BCC 1； (2)A 1C ∥平面AB 1E .证明 (1)在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， CC 1⊥平面ABC .因为AE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥AE .因为AB ＝AC ，E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC . 因为BC ⊂平面B 1BCC 1，CC 1⊂平面B 1BCC 1， 且BC ∩CC 1＝C ，所以AE ⊥平面B 1BCC 1. 因为AE ⊂平面AB 1E ， 所以平面AB 1E ⊥平面B 1BCC 1.(2)连接A 1B ，设A 1B ∩AB 1＝F ，连接EF .在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，四边形AA 1B 1B 为平行四边形，所以F 为A 1B 的中点． 又因为E 是BC 的中点，所以EF ∥A 1C . 因为EF ⊂平面AB 1E ，A 1C ⊄平面AB 1E ， 所以A 1C ∥平面AB 1E .题型三 平面图形的翻折问题例3 (2016·全国Ⅱ)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ＝54，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置，OD ′＝10. (1)证明：D ′H ⊥平面ABCD ； (2)求二面角B -D ′A -C 的正弦值． (1)证明 由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD . 又由AE ＝CF 得AE AD ＝CFCD ，故AC ∥EF .因此EF ⊥HD ，从而EF ⊥D ′H . 由AB ＝5，AC ＝6得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4.由EF ∥AC 得OH DO ＝AE AD ＝14.所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3.于是D ′H 2＋OH 2＝32＋12＝10＝D ′O 2，故D ′H ⊥OH . 又D ′H ⊥EF ，而OH ∩EF ＝H ， 所以D ′H ⊥平面ABCD .(2)解 如图，以H 为坐标原点，HF ，HD ，HD ′所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则H (0,0,0)， A (－3，－1,0)，B (0，－5,0)，C (3，－1,0)，D ′(0,0,3)，AB →＝(3，－4,0)，AC →＝(6,0,0)，AD ′—————→＝(3,1,3)． 设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面ABD ′的法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧m ·AB →＝0，m ·AD ′—————→ ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 1－4y 1＝0，3x 1＋y 1＋3z 1＝0，所以可取m ＝(4,3，－5)．设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACD ′的法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AD ′—————→ ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧6x 2＝0，3x 2＋y 2＋3z 2＝0，所以可取n ＝(0，－3,1)．于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝－1450×10＝－7525，sin 〈m ，n 〉＝29525.因此二面角B -D ′A -C 的正弦值是29525.思维升华 平面图形的翻折问题，关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况．一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化．跟踪训练3 如图(1)，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，AB ＝1，BC ＝PC ＝2，作如图(2)折叠，折痕EF ∥DC .其中点E ，F 分别在线段PD ，PC 上，沿EF 折叠后，点P 叠在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF .(1)证明：CF ⊥平面MDF ； (2)求三棱锥M －CDE 的体积．(1)证明 因为PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， 所以PD ⊥AD .又因为ABCD 是矩形，CD ⊥AD ， PD ∩CD ＝D ，PD ，CD ⊂平面PCD ， 所以AD ⊥平面PCD .又CF ⊂平面PCD ，所以AD ⊥CF ，即MD ⊥CF . 又MF ⊥CF ，MD ∩MF ＝M ，MD ，MF ⊂平面MDF ， 所以CF ⊥平面MDF .(2)解 因为PD ⊥DC ，PC ＝2，CD ＝1，∠PCD ＝60°， 所以PD ＝3，由(1)知FD ⊥CF ， 在Rt △DCF 中，CF ＝12CD ＝12.如图，过点F 作FG ⊥CD 交CD 于点G ， 得FG ＝FC sin 60°＝12×32＝34，所以DE ＝FG ＝34，故ME ＝PE ＝3－34＝334， 所以MD ＝ME 2－DE 2＝⎝⎛⎭⎫3342－⎝⎛⎭⎫342＝62.S △CDE ＝12DE ·DC ＝12×34×1＝38.故V三棱锥M－CDE＝13MD·S△CDE＝13×62×38＝216.题型四立体几何中的存在性问题例4 (2017·安徽江南名校联考)如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，DC＝6，AD＝8，BC＝10，∠P AD＝45°，E 为P A的中点．(1)求证：DE∥平面BPC；(2)线段AB上是否存在一点F，满足CF⊥DB？若存在，请求出二面角F—PC—D的余弦值；若不存在，请说明理由．(1)证明取PB的中点M，连接EM和CM，过点C作CN⊥AB，垂足为点N.在平面ABCD内，∵CN⊥AB，DA⊥AB，∴CN∥DA，又AB∥CD，∴四边形CDAN为平行四边形，∴CN＝AD＝8，DC＝AN＝6，在Rt△BNC中，BN＝BC2－CN2＝102－82＝6，∴AB＝12，而E，M分别为P A，PB的中点，∴EM∥AB且EM＝6，又DC∥AB，∴EM∥CD且EM＝CD，四边形CDEM为平行四边形，∴DE∥CM.∵CM⊂平面PBC，DE⊄平面PBC，∴DE∥平面BPC.(2)解由题意可得DA，DC，DP两两互相垂直，如图，以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则A(8,0,0)，B(8,12,0)，C(0,6,0)，P(0,0,8)．假设AB上存在一点F使CF⊥BD，设点F的坐标为(8，t,0)(0<t<12)，则CF→＝(8，t－6,0)，DB→＝(8,12,0)，由CF →·DB →＝0，得t ＝23.又平面DPC 的一个法向量为m ＝(1,0,0)， 设平面FPC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 又PC →＝(0,6，－8)，FC →＝⎝⎛⎭⎫－8，163，0. 由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·PC →＝0，n ·FC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧6y －8z ＝0，－8x ＋163y ＝0， 即⎩⎨⎧z ＝34y ，x ＝23y ，不妨令y ＝12，则n ＝(8,12,9)．则cos 〈n ，m 〉＝n·m|n||m |＝81×82＋122＋92＝817. 又由图可知，该二面角为锐二面角， 故二面角F —PC —D 的余弦值为817.思维升华 对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设．跟踪训练4 (2018·成都模拟)如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，AD ＝CD ＝1，AA 1＝AB ＝2，E 为棱AA 1的中点． (1)证明：B 1C 1⊥CE ；(2)求二面角B 1－CE －C 1的正弦值；(3)设点M 在线段C 1E 上，且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为26，求线段AM 的长． (1)证明 如图，以点A 为原点，分别以AD ，AA 1，AB 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，由题意得A (0,0,0)，B (0,0,2)，C (1,0,1)，B 1(0,2,2)，C 1(1,2,1)，E (0,1,0)．易得B 1C 1————→ ＝(1,0，－1)，CE →＝(－1,1，－1)，于是B 1C 1————→ ·CE →＝0，所以B 1C 1⊥CE .(2)解 B 1C →＝(1，－2，－1)． 设平面B 1CE 的法向量m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·B 1C →＝0，m ·CE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －z ＝0，－x ＋y －z ＝0.消去x ，得y ＋2z ＝0，不妨令z ＝1， 可得一个法向量为m ＝(－3，－2,1)．由(1)知，B 1C 1⊥CE ，又CC 1⊥B 1C 1，CC 1∩CE ＝C ， CC 1，CE ⊂平面CEC 1，可得B 1C 1⊥平面CEC 1， 故B 1C 1————→＝(1,0，－1)为平面CEC 1的一个法向量．于是cos 〈m ，B 1C 1————→〉＝m ·B 1C 1————→ |m ||B 1C 1————→ |＝－414×2＝－277，从而sin 〈m ，B 1C 1————→ 〉＝217，所以二面角B 1－CE －C 1的正弦值为217. (3)解 AE →＝(0,1,0)，EC 1→＝(1,1,1)，设EM →＝λEC 1→＝(λ，λ，λ)(0≤λ≤1)，则AM →＝AE →＋EM →＝(λ，λ＋1，λ)．可取AB →＝(0,0,2)为平面ADD 1A 1的一个法向量． 设θ为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角，则 sin θ＝|cos 〈AM →，AB →〉|＝|AM →·AB →||AM →||AB →|＝2λλ2＋(λ＋1)2＋λ2×2＝λ3λ2＋2λ＋1，于是λ3λ2＋2λ＋1＝26，解得λ＝13(负值舍去)，所以AM＝ 2.1．(2017·北京)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为()A．3 2 B．23C．2 2 D．2答案B解析在正方体中还原该四棱锥，如图所示，可知SD为该四棱锥的最长棱．由三视图可知正方体的棱长为2，故SD＝22＋22＋22＝2 3.故选B.2．(2018·沈阳质检)如图所示，已知平面α∩平面β＝l，α⊥β.A，B是直线l上的两点，C，D是平面β内的两点，且AD⊥l，CB⊥l，DA＝4，AB＝6，CB＝8.P是平面α上的一动点，且有∠APD＝∠BPC，则四棱锥P－ABCD体积的最大值是()A．48 B．16 C．24 3 D．144答案A解析由题意知，△P AD，△PBC是直角三角形，又∠APD＝∠BPC，所以△P AD∽△PBC.因为DA＝4，CB＝8，所以PB＝2P A.作PM⊥AB于点M，由题意知，PM⊥平面β.令BM＝t，则AM＝|6－t|，P A2－(6－t)2＝4P A2－t2，所以P A2＝4t－12.所以PM＝－t2＋16t－48，即为四棱锥P－ABCD的高，又底面ABCD为直角梯形，S＝12×(4＋8)×6＝36.＋16t－48＝12－(t－8)2＋16所以V＝13×36×－t2≤12×4＝48.3．(2017·云南省11校调研)设已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n；②若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n.其中所有正确命题的序号是________．答案②④解析对于①，当两个平面互相垂直时，分别位于这两个平面内的两条直线未必垂直，因此①不正确；对于②，依据结论“由空间一点向一个二面角的两个半平面(或半平面所在平面)引垂线，这两条垂线所成的角与这个二面角的平面角相等或互补”可知②正确；对于③，分别与两条平行直线平行的两个平面未必平行，因此③不正确；对于④，由n∥β得，在平面β内必存在直线n1平行于直线n，由m⊥α，α∥β得m⊥β，m⊥n1，又n1∥n，因此有m⊥n，④正确．综上所述，所有正确命题的序号是②④.4.如图梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，给出四个结论：①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面DBF⊥平面BFC；④平面DCF⊥平面BFC.在翻折过程中，可能成立的结论是________．(填写结论序号)答案②③解析因为BC∥AD，AD与DF相交不垂直，所以BC与DF不垂直，则①错误；设点D在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF时就有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，可使条件满足，所以②正确；当点P落在BF上时，DP⊂平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，所以③正确；因为点D 的投影不可能在FC上，所以平面DCF⊥平面BFC不成立，即④错误．5.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E 上，则点P到直线CC1的距离的最小值为________．答案25 5解析点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离，设点P在平面ABCD上的射影为P′，显然点P到直线CC1的距离的最小值为P′C的长度的最小值．连接DE，当P′C⊥DE时，P′C的长度最小，此时P′C＝2×122＋1＝255.6．(2018·烟台模拟)如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AC⊥B1D，BB1⊥底面ABCD，E，F，H分别为AD，CD，DD1的中点，EF与BD交于点G.(1)证明：平面ACD1⊥平面BB1D；(2)证明：GH∥平面ACD1.证明(1)∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1.又AC⊥B1D，BB1∩B1D＝B1，BB1，B1D⊂平面BB1D，∴AC⊥平面BB1D.∵AC⊂平面ACD1，∴平面ACD1⊥平面BB1D.(2)设AC∩BD＝O，连接OD1.∵E，F分别为AD，CD的中点，EF∩OD＝G，∴G为OD的中点．∵H为DD1的中点，∴HG∥OD1.∵GH⊄平面ACD1，OD1⊂平面ACD1，∴GH∥平面ACD1.7．(2017·青岛质检)在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图所示．(1)求证：AB⊥CD；(2)若M为AD的中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．(1)证明∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD.又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.(2)解 过点B 在平面BCD 内作BE ⊥BD ，如图． 由(1)知AB ⊥平面BCD ，BE ⊂平面BCD ，BD ⊂平面BCD . ∴AB ⊥BE ，AB ⊥BD .以B 为坐标原点，分别以BE ，BD ，BA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．由题意，得B (0,0,0)，C (1,1,0)，D (0,1,0)，A (0,0,1)，M ⎝⎛⎭⎫0，12，12， 则BC →＝(1,1,0)，BM →＝⎝⎛⎭⎫0，12，12，AD →＝(0,1，－1)． 设平面MBC 的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·BC →＝0，n ·BM →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋y 0＝0，12y 0＋12z 0＝0， 取z 0＝1，得平面MBC 的一个法向量n ＝(1，－1,1)． 设直线AD 与平面MBC 所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈n ，AD →〉|＝|n ·AD →||n ||AD →|＝63，即直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值为63.8．(2017·郑州模拟)等边三角形ABC 的边长为3，点D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且满足AD DB ＝CE EA ＝12，如图1.将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使二面角A 1—DE —B 为直二面角，连接A 1B ，A 1C ，如图2.(1)求证：A 1D ⊥平面BCED ；(2)在线段BC 上是否存在点P ，使直线P A 1与平面A 1BD 所成的角为60°？若存在，求出PB 的长；若不存在，请说明理由．(1)证明 因为等边三角形ABC 的边长为3， 且AD DB ＝CE EA ＝12，所以AD ＝1，AE ＝2. 在△ADE 中，∠DAE ＝60°，由余弦定理得 DE ＝12＋22－2×1×2×cos 60°＝ 3.从而AD 2＋DE 2＝AE 2，所以AD ⊥DE .折起后有A 1D ⊥DE ，因为二面角A 1—DE —B 是直二面角， 所以平面A 1DE ⊥平面BCED ，又平面A 1DE ∩平面BCED ＝DE ，A 1D ⊥DE ， 所以A 1D ⊥平面BCED .(2)解 存在．理由：由(1)可知ED ⊥DB ，A 1D ⊥平面BCED .以D 为坐标原点，分别以DB ，DE ，DA 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz . 设PB ＝2a (0≤2a ≤3)，作PH ⊥BD 于点H ， 连接A 1H ，A 1P ，则BH ＝a ，PH ＝3a ，DH ＝2－a .所以A 1(0,0,1)，P (2－a ，3a,0)，E (0，3，0)． 所以P A 1→＝(a －2，－3a,1)． 因为ED ⊥平面A 1BD ，所以平面A 1BD 的一个法向量为DE →＝(0，3，0)． 要使直线P A 1与平面A 1BD 所成的角为60°， 则sin 60°＝|P A 1→·DE →||P A 1→||DE →|＝3a 4a 2－4a ＋5×3＝32， 解得a ＝54.此时2a ＝52，满足0≤2a ≤3，符合题意．所以在线段BC 上存在点P ，使直线P A 1与平面A 1BD 所成的角为60°，此时PB ＝52.9．(2018·合肥模拟)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠BCD ＝2π3，四边形BFED 为矩形，平面BFED ⊥平面ABCD ，BF ＝1. (1)求证：AD ⊥平面BFED ；(2)点P 在线段EF 上运动，设平面P AB 与平面ADE 所成锐二面角为θ，试求θ的最小值．(1)证明 在梯形ABCD 中，∵AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠BCD ＝2π3， ∴AB ＝2，∴BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos π3＝3. ∴AB 2＝AD 2＋BD 2，∴AD ⊥BD .∵平面BFED ⊥平面ABCD ，平面BFED ∩平面ABCD ＝BD ，DE ⊂平面BFED ，DE ⊥DB ， ∴DE ⊥平面ABCD ，∴DE ⊥AD ，又DE ∩BD ＝D ，∴AD ⊥平面BFED .(2)解 由(1)可建立以点D 为坐标原点，分别以直线DA ，DB ，DE为x 轴，y 轴，z 轴的空间直角坐标系，如图所示．令EP ＝λ(0≤λ≤3)，则D (0,0,0)，A (1,0,0)，B (0，3，0)，P (0，λ，1)，∴AB →＝(－1，3，0)，BP →＝(0，λ－3，1)．设n 1＝(x ，y ，z )为平面P AB 的一个法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·AB →＝0，n 1·BP →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3y ＝0，(λ－3)y ＋z ＝0， 取y ＝1，得n 1＝(3，1，3－λ)， ∵n 2＝(0,1,0)是平面ADE 的一个法向量， ∴cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝13＋1＋(3－λ)2×1＝1(λ－3)2＋4 .∵0≤λ≤3，∴当λ＝3时，cos θ有最大值1 2，又∵θ为锐角，∴θ的最小值为π3.。