−1
e
对于三角形常应变单元：
{δ ′}
e
= [u1 u3
v1 v3 ]
T
1 xi [ A′] = 1 x j 1 xm
yi yj ym
124
[ A′]
e
−1
ai 1 = bi 2∆ ci
aj bj cj
am bm cm
二维或三维连续体离散为有限个单元的集合体， 要求单元具有简单而规则的几何形状以便于计算。 常用的二维单元有三角形或矩形，常用的三维单元有四面体(三角锥)、五面体或平行六面体。同样 形状的单元还可有不同的单元结点数，如二维三角单元除 3 结点外还可有 6 结点、10 结点的三角形 单元，因此单元种类繁多。图 2．8 中例举了一些二、三维问题中常用的单元形式。如何选择合适的 单元进行计算，涉及到求解问题的类型、对计算精度的要求以及经济性等多方面的因素。这一节要 讨论的是对于众多的单元建立有限元方程的一般格式。
e e
N2 Nn ]
{u} = [ N ]{δ }
对于三角形常应变单元：
e
且
[N ] = [ N1 ] [ N 2 ]
−1

[ N n ]
= [ N ′]
= [φ ]1×3 [ A′] 3×3 [ N1
N2
N3
]
N = i
1 ( ai + bi x + ci y ) 2∆
[ N ′] = 0i
T e e e e
{P }
σ0
e
= − ∫ [ B ] {σ 0 }dV Pε 0
T Ve
{ }= ∫ [ B ] [ D ]{ε }dV
e T 0 Ve
6．引入强制边界条件 7．解方程得到结点位移 8. 进行需要的辅助计算 如利用几何方程和物理方程式计算单元应变和应力，也可按需要计算其他项目。 由上面过程可以看到： 1～3 是假定位移模式、求解广义坐标，最后得到单元插值函数。这三步是广义坐标有限元的特征。 4～5 是利用变分原理建立有限元格式的一般方法。这里用的是最小位能原理，建立以位移为基本 场变量的有限元求解方程，求解平衡问题。 6～8 是建立有限元方程后的一般解法和计算步骤。 广义坐标有限元可能产生的困难是：当位移函数选择不恰当时，可能不存在 [ A] 而使求解广义坐
3. 以单元结点位移 {δ } 表示单元位移函数 {u}
{u} = [φ ][ A] {δ ′}
−1
e
′ e = N {δ }
[ N ′] N = [ 0]
[ 0] [ N ′ ]
[ N ′] = [ N1
将结点位移 {δ ′} 改为一般排列顺序 {δ } ，则有
= {σ }
其中， {ε 0 }为由于温度变化引起的变形
[ D ] ({ε } − {ε 0 })
(2.2.1)
{ε 0 } = αT [1
将 {ε } = [B ] ⋅ { δ } 式代入即可写成：
e
1 1 0 0 0]
T
(2.2.2)
式中， α 为材料的线膨胀系数， T 为温度的变化。
= {σ }
e Ve
(
) (
)
=
{δe T [T ] [ k ] [T ] {δ } − {δ } ∑ 2 e
T T Ve e
(
)
∑ ([T ] {R} )
T e e T T Ve
−∑ {δ }
e
T [T ] ∫ [ B ] [ D ]{ε 0 } dV + ∑ {δ } [T ] ∫ [ B ] {σ 0 } dV
{δ }
e
= [u1 v1 un
vn ]
T
为方便求广义坐标也可表示为： 如前节所述，则有
{δ ′} {δ ′}
e
e
= [u1 un
v1 vn ]
T
= [ A] { β }
对于二维问题，有
[ A′] [ 0] [ A] = 0 A′ [ ] [ ]
从而解得 {β }
{β } = [ A] {δ ′}
−1
标 {β }成为不可能。同时，当单元结点较多时，解广义坐标的过程显得繁琐，因此也可以利用自然 坐标直接构造单元的插值函数，这样就可以避免求解广义坐标的过程，建立有限元的方程和求解只 需从第 4 步开始。
123
不同结点单元位移模式的选择将在以后进行讨论。
二、广义坐标有限元的一般格式
结合一般格式我们将给出 2．1 节中已讨论过的 3 结点三角形元的相应式子，以帮助掌握和应用 一般格式。 1. 以广义坐标 {β } 为待定参数，给出单元内位移 {u}
{u} = [φ ]{β }
其中：
{u} =
u ， v
0 E ci 和 [D ] = 1 − µ 2 bi
1 µ 0
µ
1 0
ci
0 0 式代入上式，得到 1− µ 2
bj cj bm cm
T
{H }
e
=
Eα T bi 2 (1 − µ ) ∆
Se
∫ Tdxdy
(2.2.11)
如果温度 T 的分布函数为已知时，上式中的积分总可用数值积分求得。特别是当 T 是 x、y 的多项式 时，则很容易写出精确积分的表达式。对于 T 为线性分布时，则有
T e T 0
e
(2.2.7)
V
e
也就是
{R}
e
+ ∫ [ B ] [ D ]{ε 0 } dV = [ k ] {δ }
T e e Ve
(2.2.8)
上式左边第二项是由于考虑温度变化而增添出来的，它在(2.2.8)式中是处于结点力的地位，相当于 考虑温度变化而施加于结点的一个假想的等效结点力，称为热载荷
∆U e = ∆ {δ }
(
) [ D] ({ε }
eT Ve
T
− {ε 0 } dV
T
T
)
(
eT
) ∫ [ B] [ D][ B] dV {δ } − ∆ ({δ } ) ∫ [ B] [ D]{ε } dV
T e 0 Ve
(2.2.6)
代入最小势能原理的表达式，应当是
= {R}
e
V
∫ [ B ] [ D ][ B ] dV {δ } − ∫ [ B ] [ D ]{ε } dV
121
{H } 6×1 = ∫ [ B ] [ D ]{ε 0 } tdxdy
e T S
e
(2.2.9)
对于平面应力问题将 {ε 0 } = α T [1 1 0] 式代入得
T
{H } 6×1 = ∫ [ B ] [ D ]α T [1
e T Se
1 0] tdxdy
T
(2.2.10)
bi 1 0 将 [ Bi ] = 2∆ ci
2.2 热应力计算
当物体温度发生变化时，物体将由于膨胀而产生线应变 αT 其中 α 为材料的线膨胀系数， T 表 示弹性体内任意点的温度改变值(从整个物体处于初始均匀温度状态算起)。在平面问题中，它是坐 如果物体各部分的热变形不受任何约束， 则虽有变形却不会引起应力。 但 是， 标 x, y 及时间 t 的函数。 如果物体各部分的温度不均匀，或表面与其他物体相联系，即受到一定的约束，热变形不能自由地 。 进行，就将产生应力。这种由于温度变化而引起的应力称为“热应力”或“温度应力” 热应力问题与一般应力分析问题相比较，主要是应力一应变关系上稍有差别。如果考虑到热应 力物理方程将具有以下形式：
= ∫ Tdxdy
Se
(T + T
i
j
+ Tm )
3
∆
(2.2.12)
其中 Ti ,T j ,Tm 分别为结点 i,j,m 处的温度。在此情况下，热应力的等效结点载荷列阵为
{H }
e
=
Eα (Ti + T j + Tm ) t 6 (1 − µ )
bi
ci
bj
cj
bm
cm
T
(2.2.13)
对于平面应力问题，其中
e [ D ] ([ B ]{δ } − {ε 0 })
(2.2.3)
{ε 0 } = α T [1
对于平面应变问题，其中
1 0]
T
(2.2.4)
= (1 + µ ) α T [1 {ε 0 }
于是，如果考虑到热应力，弹性体内应力的虚应变能将为
1 0]
T
(2.2.5)
1 1 T T T Ue = {σ } {ε } dV = {ε } − {ε 0 } ∫ ∫ 2 Ve 2 Ve
图 2．8 二、三维常用单元举例
一、选择单元位移函数的一般原则
单元中的位移模式一般采用以广义坐标为待定参数的有限项多项式作为近似函数，如 3 结点三角 形单元的
u = β1 + β 2 x + β 3 y v = β4 + β5 x + β6 y
式。有限项多项式选取的原则应考虑以下几点：
1．广义坐标是由结点场变量确定的，因此它的个数应与结点自由度数相等。如 3 结点三角形单 元有 6 个结点自由度(结点位移)，广义坐标个数应取 6 个，因此二个方向的位移“和”各取三项多 项式。对于 4 结点的矩形单元，广义坐标数为 8，位移函数可取四项多项式作为近似函数。 2．选取多项式时，常数项和坐标的一次项必须完备。位移模式中的常数项和一次项反映了单元 刚体位移和常应变的特性。当划分的单元数趋于无穷时，单元缩小趋于一点．此时单元应变应趋于 常应变。 为了保证单元这两种最基本的特性能得到满足，因此要求位移模式中一定要有常数项和完全的 一次项。3 结点三角形单元的位移模式正好满足这个基本要求。 3．多项式的选取应由低阶到高阶，尽量选取完全多项式以提高单元的精度。一般来说对于单元 边每边具有 2 个端结点的应保证一次完全多项式，如图 2．8 中的二维 3 结点、4 结点单元或三维 4 结点、6 结点单元及 8 结点单元。每边有 3 个结点时应取二次完全多项式，如图中的二维 6 结点、8 结点单元和三维 20 结点单元。若由于项数限制不能选取完全多项式时，选择的多项式应具有坐标的 对称性。并且一个坐标方向的次数不应超过完全多项式的次数。