函数的奇偶性的判断和证明
一、函数的奇偶性的定义
对于函数 f(x) ，其定义域 D 关于原点对称，如果 x D,恒有 f( x) f ( x) ，那么函数 f(x)为奇
函数；如果 x D,恒有 f( x) f (x) ，那么函数 f (x)为偶函数 . 二、奇偶函数的性质
1、奇偶函数的定义域关于原点对称；
2、 偶函数的图像关于 y 轴对称，奇函数的图像关于原点对称；
3、偶函数在对称区间的增减性相同，奇函数在对称区间的增减性相反；
4、 奇函数在原点有定义时，必有
f(0) 0.
三、判断函数的奇偶性的方法 判断函数的奇偶性的方法，一般有三种：定义法、和差判别法、作商判别法 .
1 、定义法 首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如
果 函数的定义域关于原点对称，则继续求 f( x) ；最后比较 f( x)和 f (x)的关系，如果有 f( x)=f (x)， 则函数是偶函数，如果有 f ( x) 2、和差判别法
=- f (x) ，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数 .
对于函数定义域内的任意一个
x ，若
f( x) f(x) 0，则 f(x) 是奇函数；若
f(x) f ( x)
0 ，
则 f (x) 是偶函数 .
3、 作商判别法
对于函数定义域内任意一个 x ，设 f ( x) 0，若
f (x)
1，则 f(x) 是奇函
数，
f (x) 1，则 f
(x)
f( x)
f ( x)
是偶函数
解题步骤
首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非 偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求 f( x) ；最后比较 f ( x) 和 f(x)的关 系，如果有 f( x)= f (x) ，则函数是偶函数，如果有 f( x)=- f ( x) ，则函数是奇函数，否 则是非
奇非偶函数 .
例 1】判断下列函数的奇偶性
②令 x 0，则 f (y) f( y) 2f (0) f (y)
2) f (x)
2
lg(1 x 2
) x2
2
点评】(1)判断函数的奇偶性首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则 函数是非奇非偶函数 . (2) 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇偶函数的必要非充分条件 . (3)函数的
定义域求出来之后，还要注意在解题中应用，不是走一个过场和形式 .第 2小题就是利用求出的定义域对函
数进行了化简 .
例 2】定义在实数集上的函数
f (x) ，对任意 x 、y R ，有 f(x y) f(x y) 2f (x) f(y)
且 f (0) 0
①
证： f (0) 1 ②求证： y f (x)是偶函数
解析】证明：①令 x y 0，则 f (0) f (0) 2[ f (0)] 2
f (0) 0 ∴ f(0) 1
∴ f ( y) f (y)
1) f (x) (1 x)
1x 1x
∴ y f (x) 是偶函数
【点评】 对于抽象函数的奇偶性的判断， 和具体函数的判断方法一样， 不同的是， 由于它是抽象函数， 所以在判断过程中，多要利用赋值法，常赋一些特殊值，如 0、-1、1等. 学科 * 网
【例 3】判断函数
f (x)
x x (x 0)
的奇偶性
x 2
x (x 0)
【点评】(1)对于分段函数奇偶性的判断，也是要先看函数的定义域，再考虑定义，由于它是分段函 数，所以要分类讨论 . (2)注意，当 x 0时，求 f ( x) 要代入下面的解析式，因为 x 0, 不是还代入上 面一段的解析式 .
1)证明函数 f (x)是奇函数；(2)讨论函数 f(x)在区间 [ 1,1]上的单调性；
3)设 f(1) 1 ，若 f (x) m 2
2am 1，对所有 x [ 1,1]， a [ 1,1]恒成立，求实数 m 的取值范 围.
反馈检测 1】已知 f(x)
2x 1 2x 1
1)判断 f(x) 的奇偶性； 2)求 f(x) 的值域．
反馈检测 2】已知函数 f (x) 定义域为 [ 1,1] ，若对于任意的 x,y [ 1,1]，都有
f (x y) f(x)
f (y)，且 x 0时，有 f (x) 0.
例 4】判断函数 f(x) lg(x x 1) 的奇偶性 .
【点评】 和差判别法实际上是奇偶函数定义的等价形式， 但是利用定义判断， 计算较为复杂， 利用和差 判别法可以化繁为简，简捷高效 .
【反馈检测 3】已知函数 f(x) log a x 2
(a 0且a 1).
a
x 2
(1)求 f (x)的定义域； (2)判定 f (x)的奇偶性；
3)是否存在实数 a ，使得 f (x)的定义域为 [ m,n ]时，值域为 [log a
n
数 a 的取值范围；若不存在，请说明理由
xx
例 5】判断函数 g(x)
x x
x
的奇偶性 .
2x
1 2
x x x 0，所以 g( x) g(x) ，所以g(x)是偶函数 .
点评】 和差判别法实际上是奇偶函数定义的等价形式， 但是利用定义判断， 计算较为复杂， 利用和差
判别法可以化繁为简，简洁高效
1, log a m 1] ？若存在，求出实
解析】由题得 x 0 ，因为 g( x) g(x)
xx
2 x 1 2 xx 2x 1 2
x(2x 1)
2x 1
a1
例 6】 证明函数 f (x) x (a 0， a 1)是奇函数 .
a
x 1
【点评】 作商判别法实际上是奇偶函数定义的等价形式， 判别法可以化繁为简，简捷高效 .
参考答案
反馈检测 1答案】(1)奇函数；(2){y| 1 y 1} ．
但是利用定义判断， 计算较为复杂， 利用作商
奇函数；( 2)单调递增函数；( 3)m 2或 m 2.
令x y 0 ，得 f (0) f (0) f (0) ，所以 f (0) 0 ， 令y x 可
得：
f (0) f (x) f( x) 0, 所以 f ( x)
f (x) ，所以 f (x)为奇
函数
(2)
f (x) 是定义在 ［
1,1］上的奇函
数，
由题意设 1 x 1
x 2 1，则
f(x 2) f (x 1) f (x 2) f ( x 1) f (x 2 x 1)
由题意
x 0时，有 f(x) 0， f(x 2) f (x 1)
反馈检测 2 详细解析】 1)因为有 f (x y) f (x) f(y) ， f (x) 是在 ［ 1,1］上为单调递
增函数；
反馈检测 2 答案】( 1)
3)因为 f (x)在 ［ 1,1］上为单调递增函数，所以 f (x)在［ 1,1］上的最大值为 f (1) 1，
2
所以要使 f (x) <m 2
2am 1，对所有
x [ 1,1],a [ 1,1] 恒成立，
22
只要 m 2 2am 1 1 ，即 m 2 2am
0，
22
令 g(a) m 2am 2am m
2 由
g( 1) 0 得
2m m 2 g(1) 0 2m
m 2
m 2或 m 2.
反馈检测 3 答案】(1)定义域为 (
2) (2, )；(2)f (x) 在定义域上为奇函数； ( 3)a (0,
3 2 2
)
2
) .
x2
即m、n是方程log a log a x 1的两个实根，于是问题转化成关于x的方程
x2
2
ax2 (2a 1)x 2 0在(2, ) 上有两个不同的实数解
令g(x)
ax
2(2a1)x2, 则有：
322 3 2 2
(2a1)28a0a或a
22
2a 11 3 2 2 2a0 a 又0 a 1 2a62
g(2) 8a 0a0
故存在这样的实数a(0,3222
) 符合题意.
2。