函数的奇偶性【学习目标】1.理解函数的奇偶性定义；2。

会利用图象和定义判断函数的奇偶性；3。

掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用。

【要点梳理】要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤 1．函数奇偶性的概念偶函数:若对于定义域内的任意一个x ，都有f(—x)=f （x ），那么f （x)称为偶函数。

奇函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f （-x)=—f(x ）,那么f(x)称为奇函数。

要点诠释：（1）奇偶性是整体性质；（2）x 在定义域中,那么—x 在定义域中吗?--—-具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的; （3）f （—x)=f （x)的等价形式为:()()()0,1(()0)()f x f x f x f x f x ---==≠， f(-x ）=—f(x ）的等价形式为：()()()01(()0)()f x f x f x f x f x -+-==-≠，; （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义,则必有f （0)=0； (5）若f （x ）既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0。

2.奇偶函数的图象与性质（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.(2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y 轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y 轴对称，则这个函数是偶函数.3。

用定义判断函数奇偶性的步骤(1)求函数()f x 的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数,也不是偶函数，若关于原点对称,则进行下一步;（2）结合函数()f x 的定义域，化简函数()f x 的解析式;（3)求()f x -,可根据()f x -与()f x 之间的关系，判断函数()f x 的奇偶性。

若()f x -=-()f x ，则()f x 是奇函数； 若()f x -=()f x ,则()f x 是偶函数；若()f x -()f x ≠±,则()f x 既不是奇函数，也不是偶函数；若()f x -()f x =且()f x -=—()f x ，则()f x 既是奇函数，又是偶函数要点二、判断函数奇偶性的常用方法(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称,则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()f x -与()f x ±之一是否相等.（2)验证法：在判断()f x -与()f x 的关系时，只需验证()f x -()f x ±=0及()1()f x f x -=±是否成立即可. (3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称.（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数;两个偶函数的和仍为偶函数;两个奇函数的积是偶函数;两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.(5）分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时,通常利用定义法判断.在函数定义域内，对自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系,这样的函数叫做分段函数。

分段函数不是几个函数，而是一个函数。

因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()f x -与()f x 的关系.首先要特别注意x 与x -的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()f x 与()f x -对应不同的表达式,而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较。

要点三、关于函数奇偶性的常见结论奇函数在其对称区间[a ，b]和［-b,-a ］上具有相同的单调性,即已知()f x 是奇函数，它在区间［a,b ］上是增函数（减函数）,则()f x 在区间［-b ，—a ］上也是增函数(减函数）;偶函数在其对称区间[a ，b]和［—b ，-a ］上具有相反的单调性,即已知()f x 是偶函数且在区间［a ，b]上是增函数（减函数），则()f x 在区间［-b ，—a ］上也是减函数（增函数）。

【典型例题】类型一、判断函数的奇偶性例1。

判断下列函数的奇偶性：（1）()(f x x =+； （2)f(x)=x 2—4｜x|+3 ；（3）f （x)=|x+3|-｜x —3|； (4)()f x =；（5）22-(0)()(0)x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩； (6）1()[()-()]()2f x g x g x x R =-∈【思路点拨】利用函数奇偶性的定义进行判断。

【答案】（1）非奇非偶函数；（2)偶函数;（3）奇函数;（4)奇函数；（5）奇函数；(6)奇函数． 【解析】(1）∵f （x ）的定义域为(]-1,1，不关于原点对称,因此f （x)为非奇非偶函数；(2）对任意x ∈R ，都有-x ∈R ，且f （-x ）=x 2—4|x ｜+3=f(x ），则f （x)=x 2—4|x ｜+3为偶函数 ; (3)∵x ∈R,f(—x ）=|-x+3|—｜-x-3｜=|x-3｜-|x+3|=—f （x ），∴f （x)为奇函数；（4）[)(]2-1x 11-x 0 x -1,00,1x 0x -4x+22≤≤⎧≥⎧∴∴∈⋃⎨⎨≠≠≠±⎩⎩且()(2)-2f x x x∴==+(-)--()f x f x x∴===，∴f （x ）为奇函数;（5)∵x ∈R ，f （x)=-x ｜x|+x ∴f （-x ）=—(—x)|—x ｜+(-x ）=x ｜x ｜—x=-f （x ），∴f(x ）为奇函数；(6）11(-){(-)-[-(-)]}[(-)-()]-()22f xg x g x g x g x f x ===，∴f(x)为奇函数。

【总结升华】判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域。

函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则，即优先研究函数的定义域，否则就会做无用功.如在本例(4）中若不研究定义域，在去掉|2|x +的绝对值符号时就十分麻烦.举一反三：【变式1】判断下列函数的奇偶性：（1)23()3xf x x =+；（2）()|1||1|f x x x =++-；(3)222()1x xf x x +=+；（4)22x 2x 1(x 0)f (x)0(x 0)x 2x 1(x 0)⎧+-<⎪==⎨⎪-++>⎩。

【答案】（1）奇函数；(2)偶函数；（3）非奇非偶函数；（4）奇函数． 【解析】（1)()f x 的定义域是R , 又223()3()()()33x xf x f x x x --==-=--++，()f x ∴是奇函数． （2）()f x 的定义域是R ，又()|1||1||1||1|()f x x x x x f x -=-++--=-++=，()f x ∴是偶函数． （3)22()()()11f x x x x x -=-+-+=-+()()()()f x f x f x f x ∴-≠--≠且，∴()f x 为非奇非偶函数．(4）任取x 〉0则—x<0，∴f （—x ）=（—x)2+2（—x ）—1=x 2—2x-1=-(-x 2+2x+1）=—f （x)任取x 〈0，则—x>0 f(-x ）=—（—x ）2+2（—x)+1=-x 2—2x+1=-(x 2+2x-1)=—f(x ） x=0时，f(0）=—f （0） ∴x ∈R 时，f(-x ）=—f （x ） ∴f(x)为奇函数. 【高清课堂：函数的奇偶性356732例2（1）】【变式2】已知f （x),g(x ）均为奇函数，且定义域相同，求证：f （x)+g(x)为奇函数，f(x ）·g(x)为偶函数.证明:设F （x)=f(x ）+g （x)，G(x)=f(x ）·g （x)则F （-x)=f （—x ）+g(—x ）=—f(x)—g （x)=-[f （x)+g （x ）］=-F(x ） G(—x ）=f(—x ）·g （-x)=—f(x)·[—g （x ）]=f(x ）·g(x)=G(x ）∴f （x ）+g(x ）为奇函数，f （x)·g （x)为偶函数. 【高清课堂:函数的奇偶性356732例2（2)】【变式3】设函数()f x 和g （x ）分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论 恒成立的是 （ ）.A ．()f x +｜g(x)｜是偶函数B ．()f x —|g （x ）｜是奇函数C ．｜()f x ｜ +g （x)是偶函数D ．｜()f x |- g （x)是奇函数 【答案】A例2.已知函数(),f x x R ∈，若对于任意实数,a b 都有()()()f a b f a f b +=+，判断()f x 的奇偶性。

【答案】奇函数【解析】因为对于任何实数,a b ，都有()()()f a b f a f b +=+，可以令,a b 为某些特殊值，得出()()f x f x -=-.设0,a =则()(0)()f b f f b =+，∴(0)0f =. 又设,a x b x =-=，则(0)()()f f x f x =-+，()()f x f x ∴-=-，()f x ∴是奇函数。

【总结升华】判断抽象函数的单调性，可用特殊值赋值法来求解.在这里,由于需要判断()f x -与()f x 之间的关系，因此需要先求出(0)f 的值才行.举一反三：【变式1】 已知函数(),f x x R ∈，若对于任意实数12,x x ,都有121212()()2()()f x x f x x f x f x ++-=⋅，判断函数()f x 的奇偶性。

【答案】偶函数【解析】令120,,x x x ==得()()2(0)()f x f x f f x +-=,令210,,x x x ==得()()2(0)()f x f x f f x += 由上两式得:()()()()f x f x f x f x +-=+,即()()f x f x -=∴()f x 是偶函数.类型二、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)例3. f(x ），g(x)均为奇函数,()()()2H x af x bg x =++在()0,+∞上的最大值为5,则()H x 在(-,2∞)上的最小值为 ． 【答案】 -1【解析】考虑到(),()f x g x 均为奇函数，联想到奇函数的定义，不妨寻求()H x 与()H x -的关系．()H x +()H x -=()()2()()2af x bg x af x bg x +++-+-+()(),()()f x f x g x g x -=--=-，()()4H x H x ∴+-=．当0x <时，()4()H x H x =--， 而0x ->,()5H x ∴-≤，()1H x ∴≥- ∴()H x 在(,0)-∞上的最小值为-1．【总结升华】本例很好地利用了奇函数的定义，其实如果仔细观察还可以发现()()af x bg x +也是奇函数，从这个思路出发，也可以很好地解决本题．过程如下:0x >时，()H x 的最大值为5，0x ∴>时()()af x bg x +的最大值为3，0x ∴<时()()af x bg x +的最小值为—3,0x ∴<时，()H x 的最小值为—3+2=—1．举一反三：【变式1】已知f （x ）=x 5+ax 3—bx-8，且f （-2)=10，求f(2）. 【答案】-26【解析】法一：∵f （—2）=（-2)5+（—2）3a-（—2）b —8=—32—8a+2b —8=-40-8a+2b=10∴8a —2b=-50 ∴f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=—50+24=—26 法二:令g （x ）=f(x ）+8易证g （x)为奇函数∴g （—2）=—g （2） ∴f （—2）+8=-f （2)—8 ∴f （2)=—f(-2）—16=—10-16=-26.【总结升华】本题要会对已知式进行变形，得出f （x ）+8= x 5+ax 3-bx 为奇函数，这是本题的关键之处,从而问题(2)g 便能迎刃而解。