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初中数学中的折叠问题

初中数学中的折叠问题关于折叠问题,我们要理解:1、折叠问题(翻折变换)实质上就是轴对称变换.2、折叠是一种对称变换,它属于轴对称.对称轴是对应点的连线的垂直均分线,折叠前后图形的形状和大小不变,地址变化,对应边和对应角相等.3、关于折叠较为复杂的问题能够实质操作图形的折叠,在画图时,画出折叠前后的图形,这样便于找到图形之间的数量关系和地址关系.4、在矩形(纸片)折叠问题中,重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形5、利用折叠所获取的直角和相等的边或角,设要求的线段长为x,尔后依照轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度,选择合适的直角三角形,运用勾股定理列出方程求解.一、矩形中的折叠1.将一张长方形纸片按如图的方式折叠,其中BC, BD为折痕,折叠后 BG和 BH在同一条直线上,∠CBD=度.BC、BD是折痕,所以有∠ABC = ∠GBC,∠ EBD = ∠ HBD则∠ CBD = 90°折叠前后的对应角相等2.以下列图,一张矩形纸片沿BC折叠,极点 A 落在点 A′处,再过点A′折叠使折痕 DE∥ BC,若 AB=4, AC=3,则△ ADE的面积是.1 沿 BC折叠,极点落在点A’处,依照对称的性质获取BC垂直均分 AA’,即 AF =2 AA’,又 DE∥BC,获取△ ABC ∽ △ ADE,再依照相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出三角形ADE的面积= 24对称轴垂直均分对应点的连线3.如图,矩形纸片ABCD中, AB=4,AD=3,折叠纸片D C使 AD边与对角线BD重合,得折痕DG,求AG 的长.A'由勾股定理可得BD = 5,由对称的性质得△ADG ≌ △A’ DG,由A’D = AD = 3,AG’= AG,则A’ B A G B = 5 –3 = 2 ,在Rt △ A’BG中依照勾股定理,列方程能够求出AG的值依照对称的性质获取相等的对应边和对应角,再在直角三角形中依照勾股定理列方程求解即可4.把矩形纸片ABCD沿BE折叠,使得BA边与BC重合,尔后再沿着BF折叠,使得折痕BE也与BC边重合,张开后以下列图,则∠DFB等于()依照对称的性质获取∠ABE=∠ CBE,∠ EBF=∠CBF,据此即可求出∠ FBC的度数,又知道∠C=90°,依照三角形外角的定义即可求出∠DFB= 112.5 °注意折叠前后角的对应关系5.如图,沿矩形 ABCD的对角线 BD折叠,点 C落在点 E 的地址,已知 BC=8cm,AB=6cm,求折叠后重合部分的面积.∵点 C 与点 E 关于直线 BD对称,∴∠ 1 =∠ 2 ∵AD∥ BC,∴∠ 1 = ∠3∴∠2 = ∠3∴FB = FD设 FD = x ,则 FB = x , FA = 8 – x22= BF 2在 Rt △BAF 中, BA + AF∴ 62 + (8 - x)2= x225解得 x =4所以,阴影部分的面积 S= 11 × 25 × 6 = 7522 FD ×AB =244 cm△ FBD重合部分是以折痕为底边的等腰三角形6.将一张矩形纸条 ABCD 按以下列图折叠, 若折叠角∠ FEC=64°,则∠ 1= 度;△ EFG 的形状三角形.∵四边形 CDFE 与四边形 C ’D ’FE 关于直线 EF 对称∴∠2=∠3=64 °∴∠4=180 ° -2×64°=52 °∵ AD ∥ BC∴∠1=∠4=52 °∠ 2= ∠5又∵∠2=∠3∴∠3 = ∠5∴ GE=GF∴△ EFG 是等腰三角形对折前后图形的地址变化,但形状、大小不变,注意一般状况下要画出对折前后的图形,便于搜寻对折前后图形之间的关系,注意以折痕为底边的等腰△GEF 7.如图,将矩形纸片ABCD按以下的序次进行折叠:对折,展平,得折痕EF(如图①);延 CG折叠,使点 B 落在 EF上的点 B′处,(如图②);展平,得折痕 GC(如图③);沿 GH折叠,使点 C落在 DH上的点 C′处,(如图④);沿 GC′折叠(如图⑤);展平,得折痕 GC′, GH(如图 ?⑥).(1)求图 ?②中∠ BCB′的大小;(2)图⑥中的△ GCC′是正三角形吗?请说明原由.1 ( 1)由对称的性质可知:B’ C=BC,尔后在 Rt△ B′ FC中,求得 cos ∠B’CF= 2,利用特别角的三角函数值的知识即可求得∠BCB’= 60 °;(2)第一依照题意得: GC均分∠ BCB’,即可求得∠ GCC’= 60 °,尔后由对称的性质知: GH是线段 CC’的对称轴,可得 GC’ = GC,即可得△ GCC’是正三角形.理清在每一个折叠过程中的变与不变8.如图,正方形纸片ABCD的边长为 8,将其沿 EF 折叠,则图中①②③④四个三角形的周长之和为四边形BCFE与四边形B′ C′ FE关于直线EF 对称,则①②③④这四个三角形的周长之和等于正方形ABCD的周长折叠前后对应边相等9.如图,将边长为 4 的正方形ABCD沿着折痕EF 折叠,使点 B落在边AD的中点G处,求四边形BCFE的面积设AE = x ,则BE = GE = 4 - x ,在 Rt △AEG中,依照勾股定理有: AE 2 + AG 2=GE 2即: x 2 + 4 = (4 - x)2解得 x = 1.5 ,BE=EG=4 – 1.5 = 2.5 ∵∠1 + ∠2=90 °,∠2+ ∠3=90 °∴∠1 = ∠ 3又∵∠A= ∠D=90°∴△ AEG ∽ △ DGPAE EG1.52.510 ∴ DG = GP,则 2 =GP ,解得 GP =3102PH=GH – GP=4-3 =33∵∠ 3 =∠ 4, tan ∠ 3 = tan3 FH33321∴ tan ∠ 4 = 4 ,PH = 4 ,FH= 4 ×PH= 4 × 3 = 21∴ CF=FH= 21 15∴S 梯形 BCFE = 2 ( 2 + 2) ×4=6注意折叠过程中的变与不变,图形的形状和大小不变,对应边与对应角相等10.如图,将一个边长为 1 的正方形纸片 ABCD 折叠,使点 B 落在边 AD 上 不与 A 、 D 重合. MN 为折痕,折叠后 B ’C ’与 DN 交于 P . (1) 连接 BB ’,那么 BB ’与 MN 的长度相等吗?为什么?(2) 设 BM=y , AB ’ =x ,求 y 与 x 的函数关系式;(3)猜想当 B 点落在什么地址上时,折叠起来的梯形 MNC’ B’面积最小?并考据你的猜想.(1)BB ’ = MN过点 N 作 NH∥BC交 AB于点 H),证△ ABB’ ≌AHNM(2)MB’ = MB = y , AM = 1 – y , AB’ = x M在 Rt △ABB’中BB’ =2 2 2 B AB + AB' = 1 + x由于点 B 与点 B’关于 MN对称,所以 BQ = B’ Q,1 2则BQ=2 1 + x由△ BMQ∽△ BB’A 得BM×BA = BQ× BB’1 2 2 1 2∴ y = 2 1 + x × 1 + x = 2(1 + x ) A (3) 梯形 MNC′ B′的面积与梯形 MNCB的面积由 (1) 可知, HM = AB’ = x ,MH BH = BM – HM = y – x ,则 CN = y - xB ∴梯形 MNCB的面积为:1 12 (y – x + y) × 1 = 2 (2y - x)1 1 2= 2 (2 ×2(1 + x ) – x)1 12 3= 2 (x - 2 )+ 8B'B'QD△PC'NCD相等PC'NC1当 x = 2 时,即B点落在AD的中点时,梯形MNC’B’的面积有最小值,且最小值3是8二、纸片中的折叠11.如图,有一条直的宽纸带,按图折叠,则∠α 的度数等于()∵∠ α =∠1,∠ 2 =∠ 1∴∠ α =∠2∴2∠α +∠ ABE=180°,即2∠α+30°=180°,解得∠α=75°.题观察的是平行线的性质,同位角相等,及对称的性质,折叠的角与其对应角相等,和平角为 180 度的性质,注意△ EAB是以折痕 AB为底的等腰三角形12.如图,将一宽为2cm的纸条,沿BC,使∠ CAB=45°,则后重合部分的面积为作 CD⊥AB,∵CE∥ AB,∴∠ 1=∠ 2,依照翻折不变性,∠ 1=∠ BCA,故∠2=∠BCA.∴AB=AC.又∵∠ CAB=45°,∴在 Rt△ ADC中, AC = 2 2 ,AB=2 21S△ABC=2 AB×CD = 2 2在折叠问题中,一般要注意折叠前后图形之间的联系,将图形补充完满,关于矩形(纸片)折叠,折叠后会形成“平行线+角均分线”的基本构造,即重叠部分是一个以折痕为底边的等腰三角形ABC13.将宽 2cm的长方形纸条成以下列图的形状,那么折痕PQ的长是如图,作 QH⊥PA,垂足为 H,则 QH=2cm,由平行线的性质,得∠DPA=∠ PAQ=60°由折叠的性质,得∠DPA =∠ PAQ,∴∠ APQ=60°,又∵∠ PAQ=∠APQ=60°,∴△ APQ为等边三角形,HQ在 Rt △PQH中, sin ∠HPQ = PQ3 24 3∴2 = PQ,则 PQ= 3注意掌握折叠前后图形的对应关系.在矩形(纸片)折叠问题中,会出现“平行线+角均分线”的基本构造图形,即有以折痕为底边的等腰三角形APQ14.如图 a 是长方形纸带,∠DEF=20°,将纸带沿EF折叠成图 b,再沿 BF折叠成图 c,则图 c 中的∠ CFE的度数是()∵AD∥ BC,∴∠ DEF=∠ EFB=20°,在图 b 中, GE = GF,∠ GFC=180° -2 ∠ EFG=140°,在图 c 中∠ CFE=∠GFC-∠ EFG=120°,此题观察图形的翻折变换,解题过程中应注意折叠是一种对称变换,它属于轴对称,依照轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变.由题意知∠ DEF=∠EFB=20°图 b∠ GFC=140°,图 c 中的∠ CFE=∠ GFC-∠ EFG 15.将一张长为70?cm的长方形纸片ABCD,沿对称轴EF 折叠成如图的形状,若折叠后, AB与 CD间的距离为 60cm,则原纸片的宽AB是()设 AB=xcm.右图中, AF = CE = 35 , EF = x依照轴对称图形的性质,得AE=CF=35-x(cm).则有 2( 35-x ) +x=60,x=10.16.一根 30cm、宽 3cm 的长方形纸条,将其依照图示的过程折叠(阴影部分表示纸条的反面),为了雅观,希望折叠完成后纸条两端超出点P 的长度相等,则最初折叠时,求 MA的长将折叠这条张开如图,依照折叠的性质可知,两个梯形的上底等于纸条宽,即3cm,下底等于纸条宽的 2 倍,即 6cm,两个三角形都为等腰直角三角形,斜边为纸条宽的 2 倍,即 6cm,故超出点 P 的长度为( 30-15 )÷ 2=7.5 ,AM=7.5+6=13.5三、三角形中的折叠17.如图,把 Rt △ ABC(∠ C=90°),使 A,B 两点重合,获取折痕E D,再沿 BE折叠, C 点恰好与 D点重合,则CE: AE=18.在△ ABC中,已知 AB=2a,∠ A=30°, CD是 AB边的中线,若将△ABC沿 CD对折起来,折叠后两个小△ ACD与△ BCD重叠部分的面积恰好等于折叠前△ABC的面积1的4.( 1)中间线 CD等于 a 时,重叠部分的面积等于;( 2)有以下结论(不在“CD等于 a”的限制条件下):①AC边的长能够等于a;②折叠前的△ ABC的面积能够等于 ?3a2;③折叠后,以A、B为端点的线段AB与2中线 CD平行且相等.其中,结论正确(把你认为正确结论的代号都填上,若认为都不正确填“无”).1(1) ∵CD = 2 AB CB'∴∠ACB = 90°∵ AB = 2a ,BC = a ,∴ AC = 3aAD B1 3 2∴S△ABC = 2×AC×BC = 2a1 323 2∴重叠部分的面积为:4×2 a = 8a(2)若 AC = a ,如右图180° - 30 °∵ AD = a ,∴∠ 2 == 75 ° 2 ∠BDC = 180° - 75 °= 105 °C12A E 3 D BB'∴∠ B'DC = 105 °∴∠3 = 105 °- 75 °= 30 °∴∠1 = ∠3∴AC∥ B'D∴四边形 AB'DC是平行四边形∴重叠部分△ CDE的面积等于△ABC的面积的3 2若折叠前△ ABC的面积等于2 a过点 C 作 CH⊥AB于点 H,则1 3 22×AB×CH = 2 a143CH = 2 aCH 又 tan ∠ 1 = AH3∴ AH = 2aB2 C42E13A BD H1∴ BH = 2aCH则 tan ∠ B = BH,得∠ B = 60 °∴△ CBD是等边三角形∴∠2 = ∠4∴∠3 =∠4,AD∥CB2又 CB2 = BC = BD = a,∴ CB2= AD∴四边形 ADCB是平行四边形21B3则重叠部分△ CDE的面积是△ ABC面积的4(3) 如右图,由对称的性质得,∠3= ∠4, 2C3DA = DB31 4 AD B∴∠1 = ∠2又∵∠3+∠4=∠1+∠2∴∠4 =∠1∴AB3∥CD注意“角均分线 +等腰三角形”的基本构图,折叠前后图形之间的比较,找出相等的对应角和对应边19.在△ ABC中,已知∠ A=80°,∠ C=30°,现把△ CDE沿 DE进行不相同的折叠得△C′ DE,对折叠后产生的夹角进行研究:(1)如图( 1)把△ CDE沿 DE折叠在四边形 ADEB内,则求∠ 1+∠ 2 的和;(2)如图( 2)把△ CDE沿 DE折叠覆盖∠ A,则求∠ 1+∠ 2 的和;(3)如图( 3)把△ CDE沿 DE斜向上折叠,研究∠ 1、∠ 2、∠ C的关系.(1)依照折叠前后的图象全等可知,∠ 1=180° -2 ∠ CDE,∠ 2=180°-2 ∠CED,再依照三角形内角和定理比可求出答案;(2)连接 DG,将∠ ADG+∠AGD作为一个整体,依照三角形内角和定理来求;(3)将∠ 2 看作 180° -2 ∠ CED,∠ 1 看作 2∠CDE-180°,再依照三角形内角和定理来求.解:( 1)如图 (1)∠ 1+∠ 2=180° - 2 ∠ CDE +180° - 2A∠ CED D1C'C2EB图 (1)=360° - 2 (∠ CDE+∠CED)=360° -2 ( 180°-∠C)=2∠C=60°;(2)如图 (2)连接 DG,∠1+∠ 2=180° - ∠ C′ - (∠ ADG +∠AGD)=180° -30 °- ( 180°-80 °)=50°;(3)如图 (3)∠2- ∠ 1=180° - 2 ∠CED -(2∠CDE -=360° - 2 (∠ CDE + ∠ CED)=360° - 2 (180°-∠C)=2∠C所以:∠ 2 -∠ 1=2∠C.C'A1D 2GCE B图 (2)C' A 180°)1D2C E B图 (3)由于等腰三角形是轴对称图形,所以在折叠三角形时经常会出现等腰三角形20.观察与发现:将三角形纸片ABC( AB> AC)沿过点 A 的直线折叠,使得AC落在 AB边上,折痕为AD,张开纸片(如图①);在第一次折叠的基础上第二次折叠该三角形纸片,使点 A 和点 D 重合,折痕为 EF,展平纸片后获取△ AEF(如图②).小明认为△ AEF是等腰三角形,你赞成吗?请说明原由.实践与运用:(1)将矩形纸片 ABCD沿过点 B 的直线折叠,使点 A 落在 BC边上的点 F 处,折痕为BE(如图③);再沿过点 E 的直线折叠,使点 D 落在 BE上的点 D’处,折痕为 EG(如图④);再展平纸片(如图⑤).求图⑤中∠ α的大小.在第一次折叠中可获取∠EAD = ∠ FAD在第二次折叠中可获取EF是 AD的垂直均分线,则AD⊥EF∴∠ AEF = ∠AFE∴△ AEF是等腰三角形(1)由折叠可知∠AEB = ∠ FEB,∠ DEG = ∠ BEG而∠ BEG = 45° + ∠α由于∠ AEB + ∠ BEG + ∠DEG = 180°所以 45 ° + 2 ( 45° +∠α) = 180 °∠α = 22.5 °由于角均分线所在的直线是角的对称轴,所以在三角形中的折叠平时都与角均分线有关。

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