签单时保险金给付现值随机变量为
Z
bv TT
0,
vn
,
T n T n
离散型
1
A x:n
表示 n年期生存保险的精算现值。
E nx
1
Ax:n E(Z )
方差为
Var(Z )
n年定期两全保险
定义
被保险人投保后如果在n年期内发生保险责任范围 内
的死亡，保险人即刻给付保险金；如果被保险人生
存至n年期满，保险人在第n年末支付保险金的保险。
1
2
30：10 |
30：10 |
0.0431
各种死亡即付趸缴纯保费的公式归纳
n
n
A 1 vt f (t)dt vt p dt
x: n| 0
T
0
tx
xt
Ax
vt p dt
0
tx
xt
m| Ax
m
vt
fT
t
dt
A A A m|
v f (t)dt 1
m1n t
1
x: n|
vK1, K 0,1, , n 1
Z
b K
v K
vn ,
K n, n 1,
表示n年期两全保险的精算现值。
方差为
A1 E x: n | n x
Var(Z )2A ( A )2
x
x
两全保险的趸缴纯保费
定义
被保险人投保后如果在n年期内发生保险责任范围内
的死亡，则在死亡年末给付保险金；如果被保险人
生存满n年，则在第n年末支付保险金的保险。
等价于n年生存保险加上n年定期寿险的组合。
基本函数关系
b 1, k 0,1, k
vk1, k 0,1, , n 1
v k
vn ,
k n, n 1,
xk
v l l v l k0
x
xk
n1
k 1
xk
k 0
x
其中
Var(Z ) E(Z 2 ) [E(Z )]2
n1
v 2(k1) p q
kx
xk
k 0
例6
55岁的男性投保5年期的定期保险，保险金额为
1000元，保险金在死亡年末给付，按中国人寿保险 业
经验生命表 （2000-2003年）非养老业务男表和利率
c x
根据每一保险年度，每一被保险人当年年龄的预
定死亡率计算出来的该年度的死亡纯保费。
c vq 1 dx
x
x 1i l
x
“均衡保费制”
终身寿险的趸缴纯保费
n年定期保险的趸缴纯保费
n1
v k1 p q
kx
xk
k 0
n n年定期寿险即成为终身寿险。
A 表示终身寿险的趸缴纯保费。 x
方差为 Var(Z ) E(Z 2 ) [E(Z )]2 2A ( A )2
等价于n年生存保险加上n年定期寿险的组合。
假定(x)投保n年定期两全保险，保额1元。
基本函v数t 关vv系tn
, ,
tn tn
bt 1 , t 0
zt
bt vt
vt , t n
v
n
,
tn
签单时保险金给付现值随机变量为
Z
bv TT
vT , vn,
T n T n
表示n年期两全保险的精算现值。
假定(x)投保延期m年的n年期两全保险，保额1元。
基本函数关系
0, t m
b t
1,
t
m
0, t m
z t
b t
v t
vt ,
mt mn
vt, m t m n
v t
vmn ,
t mn
vmn , t m n
A 表示延期m年的n年期两全保险的精算现值。
m| x : n|
看成是x岁的被保险人生存m年后，到x+m岁 时再获得一个n年期的两全保险。
Z
Z 1
Z 2
其中Z 1
vT 0,
, T n T n ,Z2
0, vn,
T n T n
A x:n
A1 x:n
A1 x:n
n 0
vt
tபைடு நூலகம்
px
xt dt
vn
n
px
方差？
方差
Var(Z ) Var(Z ) Var(Z ) Cov(Z , Z )
1
2
1
2
Var(Z ) Var(Z ) E(Z Z ) E(Z ) E(Z )
n年定期寿险的趸缴纯保费
基本函数关系
记 K(x) [T ] k 为被保险人的取整余命，则
保险金给付在签单时的现值随机变量为
vK1, K 0,1, , n 1
Z
b K
v K
0,
其他
A1 x:n
表示其趸缴纯保费。
则 n1
E(Z ) v k1 p q
kx
xk
k 0
方差为
n1
l d d k1 xk
6%计算趸缴纯保费。
A1
解： 55: 5|
1000
4
v d k1
55k
k 0
l 55
vd v2d v3d v4d v5d
1000 55
56
57
58
59
l
55
26.981 485(元)
注：
在符号 A1 中，令n 1, x: n|
A1 x: 1|
在人寿保险中又称为自然保费，或记作符号
A
m| x : n|
A A 1
x：m|
xm：n|
v p A m mx
xm：n|
例5（例1续）
设 S(x) 1 x , 0 x 100
100
i 0.1
计算
(2) Var(Z)
解：由例1已知
Var(Z ) 0.055 1
答案
(2) Var(Z ) 2
Var(Z) Var(Z ) Var(Z ) A1 A 1
mx：mn | T
x：m|
1
A x:n
vn p nx
A x:n
A1 x:n
A1 x:n
A A A m| x:n|
1
x：m|
xm：n|
4.2 死亡年末给付的人寿保险
死亡年末赔付的含义
指如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内 的死亡 ，保险公司将在死亡事件发生的当年年末 给予保险赔付。
由于赔付时刻都发生在死亡事件发生的当年年末， 所以死亡年末陪付时刻是一个离散随机变量， 它距保单生效日的时期长度等于被保险人签约时的 整值剩余寿命加一。 这正好可以使用以整值年龄为刻度的生命表所提供 的生命表函数。所以死亡年末赔付方式是保险精算 师在厘定趸缴保费时通常假定的理赔方式。
4.1.5 生存保险与两全保险的趸缴纯保费
n 年定期生存保险
定义
被保险人投保后生存至n年期满时，保险人在第n
年末支付保险金的保险。
假定: (x) 投保n年定期生存保险，保额1元。
基本函数关系
vt vn , t 0
vn , t n
1 , t n bt 0 , t n
zt
btvt
0
,
tn
1
2
1
2
1
2
其中Z 1
vT 0,
, T n ,
T n
0, T n
Z 2
vn,
T
n
Z Z 0
1
2
Var(Z
)
Var(Z 1
)
Var(Z 2
)
A1 x：n|
A1 x：n|
延期m年的n年期两全保险
定义 保险人对被保险人在投保m年后的n年期内发生保险
责任范围内的死亡，保险人即刻给付保险金；如果被保 险人再生存至n年期满，保险人在第n年末支付保险金 的保险。