=
n 0
vt
t
pxuxt
dt
=
n 0
e
t t
pxuxt
dt
• v e ,δ 为利力。
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fT
(t)
F
' T
(t
)
s'
(x t s(x)
)
s(x t) [ s'(x t)] s(x) s(x t)
t pxxt
ln(1 i) 1 e
1 i
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5
人寿保险的性质
• 保障的长期性
– 这使得从投保到赔付期间的投资受益（利息） 成为不容忽视的因素。
• 保险赔付金额和赔付时间的不确定性
– 人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保 险人的生命状况。被保险人的死亡时间是一 个随机变量。这就意味着保险公司的赔付额 也是一个随机变量，它依赖于被保险人剩余 寿命分布。
– 假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经 验生命表进行拟合。
– 假定三：保险公司可以预测将来的投资收益 （即预定利率）。
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纯保费厘定原理
保费净均衡原则
– 净均衡原则，即保费收入的期望现时值正好 等于将来的保险赔付金的期望现时值。它的 实质是在统计意义上的收支平衡。是在大数 场合下，收费期望现时值等于支出期望现时 值.
31
n年定期保险的趸缴纯保费
• （x）投保连续型的保额为1单位元的n年定 期寿险，其有关函数:
bt= 1(t≤n)
0 (t>n)
vt= vt
ZT= 1*vT T≤n 0 T＞n
• 趸缴纯保费用 A 1x:表n] 示。
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1
• Ax:n]
• •
•
=E(ZT)=
n
0 zt fT (t)dt
• P48:例4.1.1
设生存函数 s( x) (01≤x<1x00),年
利率为0.1,计算:
100
1
A30:10 ]
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终身寿险
•
Ax
表示（x）投保终身寿险，保险金额为1
元，死亡时立即给付保险金的趸缴纯保费。
Z bT vT t≥vT 0
Ax =
0 zt fT (t )dt
=
x
=
zt fT (t)dt
0
=∑zk+1*p
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11
主要内容安排
• 死亡年度末给付的寿险（4.2） • 死亡即付的寿险（4.1） • 死亡即付和死亡年末给付的寿险
的精算现值的关系（4.3） • 利用转换函数计算趸缴纯保费（补充） • 变额寿险趸缴纯保费（4.4） • 离散型终身寿险趸缴纯保费的递推公式（补充）
n 1
v k 1 k | qx
k 0
A1 自然保费，是根据每一保险年度，每一被保险人当年 x:1 年龄的预定死亡率计算出来的该年度的死亡保险费。
A1 x:1
cx
vqx
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• 例:55岁的男性投保5年期定期寿险,保险 金于死亡年末给付, 按中国保险业经验生 命表CL1（2000-2003）和利率6%, 计 算：
20
两全保险的趸缴纯保费
• Ax:n] 表示（x）投保保险期限为n年，保 险金额为1元的两全保险的精算现值。
• （1）K • （2）Z= 1*vk+1 k=0,1,2 …n-1
1*vn k≥n
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（3）K、Z的分布律 k 0 1 2 … n-1 ≥ n Z v v2 v3 … vn vn P(K=k) qx 1|qx 2|qx … n-1|qx npx
m1
m
A1
| x:n]
vk 1 qx
vk 1 qx vk 1 qx
k m
k|
k 0
k|
k 0
k|
m n 1
m1
vk 1 pxqxk vk 1 pxqxk
k 0
k
k 0
k
A1 x:m n ]
A1 x:m ]
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延期m年的终身寿险 m| A表x 示(x)投保延期m年保险金额为1单
m | x:n]
1
1
x:m] xm:n]
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离散型的人寿保险模型 各种寿险趸缴纯保费计算公式小结
（P60）
• 定期寿险 • 终身寿险 • 两全保险 • 延期m年的终身 • 延期m年的定期 • 延期m年的两全
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4.1连续型的人寿保险模型（P46）
• 死亡即刻赔付 • 由于死亡可能发生在被保险人投保之后的任意
n 1
EZ
v k 1 k | qx
k 0
+ vn* npx
=
A1 x:n
]+
A1 x:n]
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• 例：设（35）购买离散型保额为10000 元的5年期两全保险，年利率i=6%,利用 附表1计算该保单的趸缴纯保费。
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延期寿险的趸缴纯保费
延期m年的n年定期人寿保险
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4.2 离散型的人寿保险模型（P56）
• 保险金死亡年末赔付 • 由于赔付时刻都发生在死亡事件发生的
当年年末，所以死亡年末赔付时刻是一 个离散随机变量，它距保单生效日的时 期长度就等于被保险人签约时的整值剩 余寿命加一。
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思路方法 • 引入随机变量K • 写出关于随机变量K的给付现值函数
• ZT= 0 T≤m
•
1*vT T＞m
m
|
A x
m zt fT (t)dt
m
e tt
pxuxt dt
0
e t t
pxuxt
dt
m 0
e t t
pxuxt dt
1
Ax Ax:m]
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P53： 例4.1.4 （1期寿险，保险
金额为1元，保险金在死亡时立即给付。趸缴
纯保费用 表示。 1 A m | x:n]
1
mn
m A | x:n] m zt fT (t)dt
mn 0
e t t
pxuxt dt
m 0
e t t
pxuxt
dt
1
1
Ax:mn] Ax:m]
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P52:4.1.9
40
• 若（x）投保延期m年的n年期两全保险，保 险金额为1元，死亡保险金在死亡时立即给付。 趸缴纯保费用 m| A x表:n]示。
0
e
t t
pxuxt
dt
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• 例题:4.1.2
• 设（x）投保连续型的保险金额为1元的终 身寿险，签单时其未来寿命T的密度函数
• fT (t) = 1/60 , 0<t<60 ，利力为δ。
•
0 , 其他
• 求趸缴纯保费。
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两全保险的趸缴纯保费
• Ax:n] :表示（x）投保n年期两全保险。若在n年内 死亡保险人立即给付1元，若生存满n年则在第n 年末支付满期保险金1元的趸缴纯保费。
• (1)保险金额为1000元的趸缴纯保费。
• (2)趸缴纯保费为1000元的保险金额。
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终身寿险的趸缴纯保费
• Ax 表示（x）投保保险金额为1元，保 险期限为终身，死亡年末给付的寿险的
趸缴纯保费。
Ax EZ
vk 1 k | qx
k 0
• 将上例定期寿险改为终身寿险
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时刻，所以死亡即刻赔付时刻是一个连续随机 变量，它距保单生效日的时期长度就等于被保 险人签约时的剩余寿命。
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连续型的人寿保险模型
基本思路: • 确定随机变量T(x)简写为T • 写出关于随机变量T的给付现值函数ZT • 精算现值=给付现值函数的期望
趸缴纯保费=E（ZT）
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• 则：ZT= 1*vT T≤n
vn T＞n
•
Ax:n]
=
E（ZT）= n
0
zt
fT (t)d+t
vn
p nx
•
=
1
1
Ax:n] Ax:n]
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延期寿险的趸缴纯保费 P52
•m | Ax:表示（x）投保延期m年的终身寿险，保 险金额为1元，保险金在死亡时立即给付的趸 缴纯保费，则：
A1
m | x:n]
表示（x）投保延期m年,保险期限为n年,保险金
为1元死亡年度末给付的寿险的趸缴纯保费。
（1）K
1, k=m,1,2,…m＋n-1
= bK 1 0, 其他
（2）给付现值函数Z
Z= 1* vk+1,k=m,1,2,…m＋n-1
0 , 其他
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m n 1
m n 1
E(Z ) bk 1vk 1k|qx
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定期寿险的趸缴纯保费
A1 x:n
表示（x）投保保险期限为n年，保险金额为
1单位元，死亡年度末给付的保险的趸缴纯保费。
（1）随机变量为K. k=0,1,2,…n-1,n,n+1......
bK=1 1,k=0,1,2,…n-1