11
1000
1.03-1
970.87
22
2000
1.03-2
1885.19
33
3000
1.03-3
2745.43
44
4000
1.03-4
3553.95
55
5000
1.03-5
4313.04
例3.1答案
100张保单的未来赔付支出总现值 10001.03120001.03230001.033 40001.03450001.035 13468.48
趸缴净保费
A xE (Z ) vk 1k|q xvk 1kp xq x k
k 0
k 0
例3.3
张某50岁时购买了一份保额为100 000元的终 身寿险。已知：
lx 1000110x5
设预定利率为0.08 求这份保单的趸缴净保费。
例3.3答案
55
1 0 0 0 0 0 A50 1 0 0 0 0 0 v k 1 k p50 q50 k k0
第三章
人寿保险的 精算现值
本章结构
人寿保险的 精算现值
离散型寿险的精算现值 连续型寿险的精算现值
两类寿险精算现值之间的关系
本章学习目标
理解寿险精算现值的含义 熟悉离散型各险种寿险精算现值的计
算公式 熟练使用换算函数计算离散型各险种
的寿险精算现值 掌握离散型、连续型寿险精算现值之
间的关系
保费的分类-按保费缴纳的方式
例3.2答案
10000A1 40:3|
10000vq40v21|q40v32|q40
1
1
1
100001iq40(1i)2
p40q41(1i)3
p40p41q42
49.28(元 )
（二）终身寿险
给付函数
bK 11, K0,1,2 ，
给付现值随机变量
Z b K 1 v K 1 v K 1 ， K 0 ,1 ,2 ，
保险金给付相当于一个二项分布:即在n年末只有 只有两种可能,要么给付1,要么不给付,且给付的
概率为n p x .
给付函数:
0, K0,1, ,n1 bK11, Kn,n1,
给付现值随机变量
ZbK1vK1 0 v,n,
K0,1, ,n1 Kn,n1,
趸缴净保费
A1 x:n|
第一节 离散型寿险 的趸缴净保费
本节的主要目标
理解趸缴净保费的计算公式并熟练应用 掌握用换算函数计算各类离散型寿险趸缴净
保费
主要险种
n年期定期寿险 终身寿险 n年期生存保险 n年期两全保险 延期m年的终身寿险 延期m年的n年定期寿险 递增终身寿险 递减n年定期寿险 一般变额寿险
趸缴保费（一次性缴纳保费） 自然保费 (根据当年保险赔付成本确定的保
费，年龄越大，缴纳的越多) 均衡保费（定期缴纳保费）
人寿保险给付方式的分类
分为：连续型寿险和离散型寿险
连续型寿险：保险金在死亡后立即赔付，以连续 型未来寿命T(x)作为随机变量来计算期望值
离散型寿险：保险金在死亡的年末赔付，以离散 型未来寿命K(x)作为随机变量来计算期望值
平均每张保单的未来赔付现值（保单的精算现 值）为：134.68元。
基本符号
K(x)k ——x岁投保的人整值剩余寿命
bk+1——保险金在死亡年末给付函数 vk+1 ——贴现函数 zk+1 ——保险赔付金在签单时的现时值
zk1bk1vk1
E(ZK+1) ——寿险的精算现值（趸缴净保费）
计算原理
:
n
|
中n=1的趸缴净保费.
cx
vqx
1 1i
dx lx
是根据每一保险年度，每一被保险人当年年龄 的预定死亡率计算出的该年度的死亡纯保费。 随着年龄的增长而提高,即年龄越大，自然保费就 越高。在寿险实务中,一般不采用这种方式。
例3.2
某人在40岁时投保了3年期10 000元定期寿险， 保险金在死亡年末赔付。假设预定利率为5%， 以中国人寿保险业经验生命表（1990-1993年， 男女混合表），计算趸缴净保费。
vK1, K0,1, ,n1
趸缴Z净保bK 费1vK1 0,
Kn,n1,
n 1
n 1
A 1 E (Z ) x :n |
vk 1 k |q xvk 1 kp xq x k
k 0
k 0
趸缴净保费的变形公式
n1
lxA1x:n| vk1dxk k0
思考：该公式的含义？
自然保费
即
A
1 x
1 0 0 0 0 0 55 1 .0 8 (k 1) 5 5 k 1
k0
55 55 k
100 000
1
1
1
1 .0
8
56
55 1.08 1 1
1.08
22421.91(元 )
（三） n年期生存保险
被保险人生存至n年期满时,保险人在第n年末支 付保险金.
只有一个因素不确定:是否给付保险金,而保险金 给付的时间和数量可以预先确定.
它的实质是在统计意义上的收支平衡。是在大数场合下，收入 期望现时值等于支出期望现时值
精算现值（包含两层含义）：
保险赔付在投保时的期望现值 现值=趸缴净保费
由于赔付的不确定性源于人的死亡不确定，所以， 以连续型（离散型）未来寿命为随机变量，来求期 望值。
实务中，多采用连续给付的方式（被保人死亡到 保险金的赔付时间很短，计算时，把被保险人的 死亡和保险金的给付看作在同一时间发生，即认 为是立即赔付）
人寿保险给付上的两大特点
不确定性： 是否发生给付不确定 给付的时间不确定
给付发生在较长时间以后，其成本受利率 影响很大。
净保费的计算原理
收支平衡原理（精算等价原理）： 净保费的精算现值＝保险赔付的精算现值
E (Z ) bk1 vk1 Pr(K k ) k bk 1 vk 1 k | qx k bk 1 vk 1 k px qxk k
K的不同上下限，对应着不同的险种
（一）n年定期寿险
给付函数
1, K0,1, ,n1
bK10, Kn,n1,
保险金给付在签单时的现值随机变量
例3.1
100个40岁的人投保了1000元5年期定期寿险，死亡赔付在 死亡年年末。如果预定年利率为3%，各年预计的死亡人 数分别为1、2、3、4、5人。
每年的赔付支出及其折现值如表所示：
年份 年内死亡人数 赔付支出 折现因子 赔付支出现值
（1） （2）
(3)=1000×(2) (4)
(5)= (3) ×(4)