专题11 复数
本章内容主要是复数的概念、复数的运算．引入虚数，这是中学阶段对数集的最终扩充．需要掌握复数的概念、弄清实数与复数的关系，掌握复数代数形式的运算(包括加、减、乘、除)，了解复数的几何表示．由于向量已经单独学习，因此复数的向量形式与三角形式就不作要求，主要解决代数形式．
【知识要点】
1．复数的概念中，重要的是复数相等的概念．明确利用“转化”的思想，把虚数问题转化为实数问题加以解决，而这种“转化”的思想是通过解实数的方程(组)的方法加以实现．
2．复数的代数形式：z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )．应该注意到a ，b ∈R 是与z ＝a ＋bi 为一个整体，解决虚数问题实际上是通过a ，b ∈R 在实数集内解决实数问题．
3．复数的代数形式的运算实际上是复数中实部、虚部(都是实数)的运算．
【复习要求】
1．了解数系的扩充过程．理解复数的基本概念与复数相等的充要条件．
2．了解复数的代数表示法及其几何意义．
3．能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．
【例题分析】
例1 m (m ∈R )取什么值时，复数z ＝(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 是(1)实数?(2)纯虚数?(3)零?
【分析】此类问题可以应用复数的定义加以解决．
解：(1)当m 2－5m －6＝0，即m ＝－1或m ＝6时，复数z 为实数；
(2)当，即m ＝4时，复数z 为纯虚数； (3)当，即m ＝－1时，复数z 为零． 【评析】本题主要考查实数、纯虚数的定义，需要对复数的实部、虚部加以研究．应该注意到复数的实部、虚部都是实数，解决复数的问题时实际上是在进行实数运算．这一点大家在后面的运算中更加能够体会到．
例2 判断下列命题的对错：
⎪⎩⎪⎨⎧=
/--=--06504322m m m m ⎪⎩⎪⎨⎧=--=--0
6504322m m m m
(1)复平面内y 轴上所有点的集合与纯虚数集是一一对应的；
(2)两个复数a ＋bi ＝c ＋di 的充要条件是a ＝c ，b ＝d ；
(3)任意两个确定的复数都不能比较大小；
(4)若z 1＋z 2∈R ，则z 1，z 2为共轭复数．
【分析】本题进一步考察数系的概念，大家在解决此类问题时一定要跳出实数这个圈子，考虑全面一些．
解：(1)错误．复平面内y 轴上的原点对应的是实数0，不是纯虚数．
(2)错误．复数a ＋bi 中并没有强调a ，b ∈R 这一条件，因此a ，b 不一定是复数的实部、虚部，例如：3i ＋4i ＝5i ＋2i ，此时，a ＝3i ，b ＝4、c ＝5i ，d ＝2，a ＝c ，b ＝d 不成立．
(3)错误．复数中的两个确定的实数是可以比较大小的．
(4)错误．z 1＝3＋4i ，z 2＝5－4i ，z 1＋z 2＝8∈R ，z 1，z 2不是共轭复数．
【评析】(4)中需要注意不能从两个复数运算的结果来判定这两个复数的范围；(3)中再次强调复数中对于实部和虚部必须加以明确；对于判断命题的正确与否的问题，错误的要能举出反例(一个即可)，正确的要能加以证明．错误的命题最好能够加以改正．
例3 计算下列各式的值：
(1) (2)(1＋2i )(3－4i )(2－i )；
(3)|(5＋12i )(3－4i )|．
【分析】这是本专题的重点，运算中要运用法则，还要观察题目本身的特点．
解：(1) (2)(1＋2i )(3－4i )(2－i )＝(3－4i ＋6i ＋8)(2－i )＝(11＋2i )(2－i )＝24－7i ．
(3)|(5＋12i )(3－4i )|＝|(5＋12i )||(3－4i )|＝
【评析】(1)中的变号问题不容忽视；(2)中不妨再把后两个括号先算，对结果加以验证；(3)中运用复数模的运算法则要比先运算再取模方便得多．复数的计算是高考中考察复数知识的重点，运算要准确，不要图快，最好从多个角度加以验证． );2
334()2()2131(i i i ---++.1)2
3121()34231()2334()2()2131
(i i i i i +=+-+-+=---++.65513431252
222=⨯=+⨯+
例4 已知复数z ＝1＋i ，表示z 的共轭复数，且az ＋2b ＝(a ＋2z )2，
求实数a ，b 的值．
【分析】利用复数相等的充要条件列出实数的方程或方程组是解决此类问题的一般方法． 解：∵z ＝1＋i ，∴＝1－i ，
∵∴，
∴(a ＋2b )＋(a －2b )i ＝(a 2＋4a )＋(4a ＋8)i ，
即：(a ＋2b )＋(a －2b )i ＝(a 2＋4a )＋(4a ＋8)i ，
∴ 解得 或 【评析】应注意到a ，b 是实数这一条件在本题中的作用，如果没有这个条件，那么a ，b 都要按照复数来求，问题就复杂多了．
习题11
1．1＋i ＋i 2＋…＋i 2008的值是( )
A ．0
B ．－1
C ．1
D ．i
2．复数z 1＝(a 2＋3)＋(－4a －3)i ，z 2＝(a －7)＋(a 2＋a )i ，若z 1＋z 2＝2＋i ，则实数a 的值为( )
A ．－3
B ．2
C ．1
D ．不存在 3．若复数的实部和虚部互为相反数，则b ＝( ) A ． B ． C ． D ．2
4．复数的共轭复数为( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ． D ． 5．若a 是实数，是纯虚数，则a ＝______． z z z ,)2(22z a z b az +=+22442z az a z b az ++=+⎩⎨⎧+=-+=+8
42422a b a a a b a ⎩⎨⎧-=-=12b a ⎩⎨⎧=-=.24b a )R (212∈+-b i
bi 232-32i
215+i 31035+-i 3
1035--i
i a +-1
6．复数，若，则|z 3|等于______． 7．复平面内，复数z ＝sin2＋i cos2对应的点所在的象限是______．
8．虚数z ＝(x －2)＋yi (x ，y ∈R )，若虚数的模｜z |＝1，则的取值范围是______． 9．已知复数i (m R )，当z 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数时，分别求m 的值或取值范围．
10．已知复数(3x ＋2y )＋5xi 与复数18＋(y －2)i 的共轭复数相等，求实数x ，y 的值．
11．已知函数，求f (1＋i )与f (1－i )的值．
i z i
i z 32,342321-=-+=213z z z =x
y )152(3
15822--+++-=m m m m m z ∈1
32)(2++-=x x x x f
专题11 复数参考答案
习题11
一、选择题：
1．C 2．D 3．B 4．A
提示：
(1)解：1＋i ＋i 2＋…＋i 2008＝ (2)解：z 1＋z 2＝(a 2＋3＋a －7)＋(－4a －3＋a 2＋a )i ＝2＋i ，
即：方程组无解． 二、填空题
5．1； 6．； 7．第四象限； 8． 提示：
(6)解： (8)解：∵，设 则k 为过圆(x －2)2＋y 2＝1上点及原点的直线斜率，作图如下，
.111112009=--=--i
i i i &⎩
⎨⎧=-==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--=-+41231332422a a a a a a a a 或或⇒51)].33,0()0,33[(Y -,25
4325)34(34)32)(34()32()32)(34(23213i i i i i i i i i i i i z z z +-=+=-=---=--+==⋅==+-=+-=5
125525|43||2543|||3i i z ⎩⎨⎧=
/=+-01)2(22y y x ,x y
k =
， 又∵y ≠0，∴k ≠0．∴ 三、解答题： 9．解：(1)当z 是实数时，有 (2)当z 是虚数时，有且． (3)当z 是纯虚数时，有 10．解：∵x ，y R ，∴
∵
11．解：∵ ∴ 3
333≤≤-k ].3
3,0()0,33[Y -
∈k .50301522=⇒⎩⎨⎧=
/+=--m m m m ⎩⎨⎧=
/+=/--0301522m m m 5≠⇒m 3-≠m ⎪⎩
⎪⎨⎧=⇒=++-=/--.303158015222m m m m m m ∈,)2(1818)2(i y i y --=+-.12
2)2(51823,5)23(18)2(⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧--==+∴++=+-y x y x y x xi y x i y ,1
32)(2++-=x x x x f ,5
221113)1(2)1()1(2i i i i i i f -=+=++++-+=+⋅+=-=+-+---=-5
221113)1(2)1()1(2i i i i i i f。